Линейная алгебра
Определение внутреннего угла, уравнения высоты, уравнения медианы, точки пересечения высот треугольника. Построение кривых второго порядка. Решение системы алгебраических уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Использование модели Леонтьева.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.12.2019 |
| Размер файла | 845,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Кафедра: «Высшая математика»
Контрольная работа
По дисциплине «Линейная алгебра»
Вариант 9
Выполнил студент (Ф.И.О
Проверил доцент к.ф.-м.н. Жукова В.И.
Хабаровск 2018
Контрольная работа №1
Решение.
1) Найдем координаты вектора , длина стороны АВ равна .
2) Косинус угла А: .
Найдем , .
Тогда
рад.
3) Высота, проведенная через вершину С(-3;1) проходит перпендикулярно вектору , поэтому ее уравнение имеет вид: -3(х+3)=8(у-1)=0 или
3х-8у+17=0.
4) Пусть СМ - медиана, проведенная через вершину С, тогда М - середина АВ. Найдем , тогда
СМ: .
5) Найдем высоту, проведенную из вершины В перпендикулярно :
-7(х-10)+3(у-6)=0 или 7х-3у-52=0.
Точку пересечения высот найдем, решив систему уравнений:
.
6) Длину высоты, проведенной из С, найдем как расстояние от С до прямой АВ:
,
.
7) Так как прямая проходит через точку А параллельно ВС, то есть вектору , получим уравнение:
.
Сделаем чертеж:
Решение.
Выделим полный квадрат при переменной у:
- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (3;-2). Уравнение директрисы у=1/8.
Решение.
а) Косинус угла между ребрами АВ и AD определяется по формуле:
.
Найдем , .
, .
Тогда .
Тогда
б) Найдем площадь грани АВС по формуле: .
Найдем , тогда
, тогда .
в) Так как нормальный вектор к плоскости АВС , то
.
Тогда
г) Объем пирамиды .
.
Тогда .
Решение.
а)
б)
Запишем число z в тригонометрической форме:
, , ,
.
,
При .
При .
При .
Контрольная работа №2.
Решение.
Решение.
Найдем
Найдем .
, значит, существует.
. Составим .
; ; ; ;
; ; ; ;
.
, значит,
.
Тогда
Получим:
.
Решение.
1) Решим систему по формулам Крамера:
, , , ,
, , .
Ответ: .
2) Решим систему методом исключения неизвестных Гаусса:
Ответ: .
3) Решим систему матричным методом .
Найдем .
, значит, существует.
. Составим .
; ; ; ;
; ; ; ;
.
, значит,
. .
Ответ: .
Решение.
По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:
a11 = 10/100 = 0.1; a12 = 12/200 = 0.06; a21 = 16/100 = 0.16; a22 = 24/200 = 0.12;
|
0.1 |
0.06 |
|
|
0.16 |
0.12 |
Коэффициент прямых затрат (aij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
Полученная матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ?aij ? 1.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид: X = AX +Y
При увеличении валового выпуска отраслей Q1 и Q2 соответственно на 100 % и 50 % получим новый вектор валового выпуска . Вектор потребления соответствующий вектору Х1, найдём из уравнения баланса:
.
Изменения объёмов конечного продукта Q1 на 162 - 100 = 62 ед. или 62 %, Q2 - на 232 - 200 = 32 ед. на 16 %.
Конечное потребление отрасли Q1 станет равным 78*1,5=117, а отрасли Q2 станет равным 160*1,3=208. Получим новый вектор потребления .
Новый вектор валового выпуска найдем из уравнения баланса X = (B-1*Y), где В=E-A.
Вычисляем обратную матрицу В1:
Запишем матрицу в виде:
|
0,9 -0,06 -0,16 0,88 |
Главный определитель
?=(0.9*0.88-(-0.16*(-0.06)))=0.7824
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица.
|
BT= |
0,9 -0,16 -0,06 0,88 |
Найдем алгебраические дополнения матрицы BT.
BT11=(-1)1+10.88000000=0.88000000; BT12=(-1)1+2-0.06000000=0.06; BT21=(-1)2+1-0.16000000=0.16; BT22=(-1)2+20.90000000=0.90000000;
Обратная матрица.
|
0,88 0,06 0,16 0,9 |
|
B-1= |
1,125 0,0767 0,204 1,15 |
Таким образом, элементы каждого столбца bij показывают, сколько нужно затратить продукции каждой отрасли для производства только единицы конечного продукта j-й отрасли.
Найдем величины валовой продукции 2-х отраслей
Валовой продукт отраслей необходимо увеличить: Q1 - на 47,58 %, Q2 - на 163,07 %.
Решение.
Очевидно, что элементы матрицы А удовлетворяют условиям структурной матрицы торговли. Следовательно, существует собственный вектор, соответствующий собственному значению л =1.
Из уравнения (А-Е)Х=0 получим систему линейных уравнений:
Решаем систему методом Гаусса:
Учитывая, что сумма бюджетов равна 8000, получим:
Поэтому,
Таким образом, искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле соответственно равны:
...Подобные документы
Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Вычисление определителя, алгебраических дополнений. Выполнение действий над матрицами. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гауса. Определение плана выпуска химикатов на заводе. Составление экономико-математической модели задачи.
контрольная работа [184,8 K], добавлен 25.03.2014Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.
контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.
контрольная работа [168,7 K], добавлен 26.01.2010Определение типа кривой по виду уравнения, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Определение медианы, уравнения средней линии в треугольнике. Вопросы по линейной алгебре. Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы.
контрольная работа [97,5 K], добавлен 31.10.2010Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.
контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012
