Алгоритм общей классификации случайных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Алгоритм общей классификации случайных функций

Санкт-Петербург 2008

1. Функциональное назначение разработки, область применения, ее ограничения

Обобщенные модели преобразования и обработки информации достаточно наглядно подтверждают, что математическое описание динамических систем, информационных процессов и помеховых воздействий должно выполняться на основе теории случайных функций. Для того чтобы воспользоваться этой теорией, целесообразно, прежде всего, дать общее определение случайной функции и рассмотреть возможность предварительной “грубой” классификации таких функций. Подобный подход позволяет выделить основные классы вероятностных моделей и привести характерные примеры их практического использования.

В наиболее общем виде случайная функция формально определяется как семейство случайных переменных [1-3]

,

в котором - параметр, - пространство состояний переменной , - множество возможных значений параметра . Если из рассматриваемого семейства выбрать лишь одну функцию , то такую функцию принято называть выборочной функцией или отдельной реализацией.

Классификация случайных функций, как и любая классификация, существенно зависит от целей и содержания решаемых задач. Она может выполняться различными способами и по самым различным признакам. На данном этапе за основу классификации удобно взять общее определение случайной функции и путем конкретизации множеств и разделить все многообразие функций на самостоятельные классы (схема 1).

Разделение случайных функций по виду пространства состояний и виду параметрического множества сразу же разделяет эти функции и по характерному виду их реализаций . В задачах обработки и анализа информации такое деление необходимо, так как от вида реализаций существенно зависят и сами методы анализа.

Схема 1 Принцип общей классификации случайных функций

Выделим здесь несколько основных классов случайных функций (схема 2), модели которых наиболее часто используются в практических приложениях.

Схема 2. Характерный вид реализаций различных классов случайных функций

2. Случайные последовательности

Предположим, что в определении случайной функции пространство состояний является непрерывным скалярным множеством, параметр представляет собой время, а параметрическое множество - дискретное, т.е. - время, . Для случайной функции удобно при этом использовать обозначение , где . Называется такая функция непрерывной случайной последовательностью. В некоторых задачах ее называют также временным рядом или непрерывным случайным процессом с дискретным временем. Обычно в данном определении считается, что и при любых

Если предположить здесь, что пространство состояний не непрерывное, а дискретное множество, то функция будет называться дискретной случайной последовательностью.

В более общей ситуации [2, 3] можно рассматривать векторную последовательность , каждая компонента которой , сама является непрерывной или дискретной случайной функцией. В качестве иллюстрации на схеме 2 показан характерный вид реализаций наиболее распространенных типов случайных последовательностей.

3. Непрерывные случайные процессы

Если теперь предположить, что в общем определении случайной функции параметр - время, а пространство состояний и параметрическое множество являются непрерывными множествами, то полученная функция будет соответствовать определению непрерывного случайного процесса [1]. Как правило, представляет собой некоторый интервал временной оси, то есть . Значения случайных переменных могут быть при этом либо действительными (скалярными), либо комплексными, либо векторными. Соответственно, и исследуемые процессы будут называться скалярными, комплексными или векторными случайными процессами. На схеме 2 показан характер реализаций скалярного непрерывного случайного процесса , векторного двумерного и векторного трехмерного процесса . Составляющие компоненты , могут здесь рассматриваться как зависимые или независимые непрерывные скалярные случайные процессы.

4. Случайные точечные процессы

Точечные процессы представляют собой такую математическую модель, в которой пространство состояний - это дискретное множество точек. Обычно каждой точке ставится в соответствие какое-либо событие и тогда пространство интерпретируется как дискретное множество однородных событий. Если события происходят во времени, то параметр , и случайный процесс эквивалентен последовательности точек , соответствующих случайным моментам появления событий [2, 4]. Такие процессы обычно называются случайными потоками однородных событий. Описание последовательности событий , во многих задачах может быть выполнено и как описание целочисленного случайного процесса , характеризующего число событий (точек) на текущем интервале времени .

Модели точечных процессов допускают различные обобщения. Так, например, случайное множество точек можно рассматривать не только на временной оси , но и на плоскости или в каком-либо пространстве . В зависимости от содержания решаемых задач подобные модели могут рассматриваться как случайные точечные процессы или, в более общей ситуации, как случайные точечные поля, изменяющиеся и во времени, и в пространстве (схема 2).

5. Случайные поля

Если в общем определении случайной функции параметрическое множество имеет размерность , то такая функция называется случайным полем. В практических приложениях наибольший интерес обычно представляют пространственно-временные поля , для которых случайные переменные зависят от времени и координат пространства . Налагая определенные ограничения на пространство состояний случайной функции , можно выделить классы непрерывных и дискретных, скалярных и векторных случайных полей [3, 5].

На схеме 2 показан характер реализации наиболее простого непрерывного пространственно-временного случайного поля .

Конечно, следует подчеркнуть, что выделенные классы случайных функций не охватывают всего многообразия существующих типов вероятностных моделей. Однако подобная классификация разделяет случайные функции по виду их реализаций. Это позволяет частично систематизировать и обобщить различные по своему содержанию приложения теории случайных функций для задач обработки и анализа информационных процессов.

случайный скалярный последовательность поле

Список литературы

1. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. - М.: Мир, 1969.

2. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. - Киев: Наукова думка, 1983.

3. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С. Королюка. - М.: Наука, 1985.

4. Snyder D.L. Random Point Processes. - N.Y.: John Wiley, 1975.

5. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.

Размещено на Allbest.ru