Принципы (аксиомы) механики

Условия сохранения покоя материальной точки

Как все точные науки, механика базируется на недоказуемых постулатах, вытекающих из опыта и называемых аксиомами. Являющиеся плодом размышлений многих поколений исследователей, аксиомы механики были окончательно сформулированы Исааком Ньютоном в 17 веке и поэтому носят его имя. Основные законы Ньютона наглядно демонстрируются в фильме http://www.youtube.com/watch?v=iH48Lc7wq0U&feature=related

1. Принцип инерции Галилея

Существует система отсчета, называемая «инерциальной», в которой изолированная точка сохраняет состояние покоя (или прямолинейного равномерного движения).

Изолированной называется абстрактная точка, не взаимодействующая с другими точками.

До Галилея считалось, что для равномерного движения (телеги) нужна сила.

Все законы механики формулируются и справедливы только в инерциальной системе отсчета.

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

2. Основной принцип (второй закон Ньютона)

Ускорение материальной точки пропорционально действующей

на нее силе и обратно пропорционально массе точки

Следствие: В инерциальной системе отсчета покой точки может быть нарушен только действием силы F .

3. Принцип внутренней аддитивности (третий закон Ньютона).

Свойства внутренних сил.

Силы взаимодействия двух точек равны по модулю, противоположны

по направлению и лежат на прямой, проходящей через точки.

Силы взаимодействия точек тела называются внутренними (индекс i).

Следствие- Свойства внутренних сил Внутренние силы парны, значит их главный вектор и главный момент равны нулю.

(2)

4 Принцип внешней аддитивности (правило сложения сил)

Ускорение точки, вызываемое действием системы сил равно ускорению, вызываемому силой называемой равнодействующей. Говорят, что равнодействующая эквивалентна системе сил

Для двух сил принцип дает правило параллелограмма (Рис.1):

{F₁ F₂} ~ F = F₁ + F₂

Следствие 1: Второй закон Ньютона можно обобщить на случай действия нескольких сил

Следствие 2: Необходимое и достаточное условие сохранения покоя точки есть равновесие сил, приложенных к точке

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Таким образом, в покое остается не только изолированная точка, но и точка под действием системы сил, сумма которых равна нулю.

Необходимость условия (4) означает, что если точка находится в покое, то условие (4) выполнено. При этом среди сил должны быть неизвестные, которые можно найти из уравнения (4). Так, силы, действующие на люстру, удовлетворяют условию (4), поскольку люстра находится в покое. Из двух сил, действующих на люстру нам известна только сила тяжести люстры. Из соотношения (4) мы находим, что натяжение троса равно по модулю и противоположно по направлению силе тяжести люстры.

Достаточность означает, что если все силы заданы, то с помощью (4) можно проверить останется ли точка в покое. Скажем, мы знаем, что к точке приложены две силы. Составив их сумму (4), мы поймем, что равновесие возможно только при парности сил.

Внешние силы любой покоящейся механической системы уравновешены.

Рассмотрим покоящуюся механическую систему: счетное множество взаимодействующих между собой и с миром материальных точек с массами (Рис.2)

На точку системы действуют неизвестные внутренние силы со стороны других точек системы. Их равнодействующую обозначим . Равнодействующую внешних сил со стороны точек, не принадлежащих системе, обозначим Ввиду покоя условия

с необходимостью выполнены.

Исключим неизвестные внутренние силы. Суммируя (5) по k, и учитывая, что главный вектор внутренних сил равен нулю, получаем

Векторно умножив слева (5) на радиус-вектор точки r_k, после суммирования получим второе условие

Таким образом, для любой покоящейся системы, в том числе и для твердого тела с необходимостью выполнены условия равновесия внешних сил

(6)

которые соответствуют отсутствию перемещения и поворота системы как твердого тела.

В статике изучают неподвижное тело. Чаще всего его неподвижность обеспечена другими неподвижными телами, на Рис.3 С₁ С₂ С_{2 ,} называемыми связями (Рис.3). Силы, действующие на тело со стороны связей, называются реакциями связей.

Кроме реакций связей, со стороны удаленных тел (Т_о)на тело Т действуют силы, называемые нагрузкой. Они считаются известными, поскольку могут быть вычислены по законам физики.

Основной задачей статики является определение реакций связей по заданной нагрузке.

Ввиду покоя тела, условия (6) выполнены при любой нагрузке, и становятся уравнениями для определения реакций связи:

Перенесем известные силы направо, и запишем уравнения в виде:

Здесь индексом ^R обозначены искомые реакции связей, а индексом ^а - нагрузка.

В проекциях на оси x,y,z два векторных условия (7) дают шесть алгебраических уравнений относительно реакций связей, которые можно записать в матричном виде

(8)

Здесь х - столбец искомых реакций связей, у - столбец известной нагрузки, А - матрица системы, определяемая структурой связей. В статике рассматриваются только определимые связи, число неизвестных которых равно числу уравнений, а определитель матрицы отличен от нуля.

(9)

В этом случае уравнения (8) имеют однозначное решение, а при отсутствии нагрузки решение является нулевым. Это значит, что все реакции определимых связей исчезают при отсутствии нагрузки. Это свойство служит признаком определимости связей.

Из однозначности решения уравнений (8) вытекает, что нагрузки и с одинаковыми главными векторами и моментами вызывают одинаковые реакции. Такие нагрузки называются статически эквивалентными. Обозначают

Отсюда следует теорема Пуансо: Любая нагрузка {F} статически эквивалентна одной силе , равной главному вектору нагрузки, и приложенной в произвольной точке О тела, и паре сил с моментом , равным главному моменту нагрузки относительно точки О. Это так, поскольку главные векторы и моменты систем одинаковы.

Если в теле есть точка А, относительно которой главный момент нагрузки равен нулю , то нагрузка имеет равнодействующую , проходящую через точку А. Поэтому равномерно и линейно распределенные нагрузки интенсивности q (Рис.2) имеют равнодействующие Q.

Из теоремы Пуансо вытекает также, что силу в твердом теле можно перемещать вдоль линии действия, а пару сил перемещать и изменять как угодно, не изменяя вектора ее момента. При этом реакции опор не изменятся.

Силы реакции (Рис.3) тоже распределены по некоторым площадкам контакта тела со связью. Из шести уравнений равновесия найти их распределение невозможно. Но можно найти эквивалентные им силу и момент реакции.

Самой «сильной» связью является глухая заделка, когда, например, стержень забетонирован в стену (Рис.4). Такая связь полностью фиксирует стержень при любой нагрузке.

Распределенные по заделанной части стержня реакции связи приводятся по теореме Пуансо к произвольно направленным силе и моменту реакций. Таким образом, при нагружении стержня возникают 6 неизвестных: по 3 составляющих силы и момента вдоль декартовых осей. При отсутствии нагрузки ,

Более слабые связи с меньшим числом неизвестных получают из глухой заделки путем снятия ограничений на перемещение или поворот вокруг одной из осей. Например, вставив стержень в гладкое отверстие, снимем ограничение на перемещение стержня вдоль и вращение вокруг его оси. Соответственно исчезнут составляющие силы и момента реакций вдоль стержня. Полученная связь называется скользящей заделкой. В ней возникает уже только 4 неизвестных.

Ясно, что скользящая заделка не может обеспечить покой тела под действием произвольной нагрузки. Значит, потребуются дополнительные связи, дающие еще две неизвестные.

Всего неизвестных в пространстве всегда должно быть 6. Подробнее о связях будет сказано на практических занятиях.

Скалярные условия равновесия частных систем сил.

а) Произвольная пространственная система сил

Хотя соотношения механики имеют векторный характер, все вычисления обычно ведутся в скалярной форме. Переход к скалярной форме осуществляется проектированием векторных соотношений на оси координат. Векторные условия равновесия V=0, Mo=0 в проекциях на декартовы оси координат дают шесть скалярных уравнений:

б) Пространственная система сходящихся сил.

Сходящейся называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Главный момент такой системы относительно точки пересечения сил О равен нулю M_o= 0. Поэтому уравнения моментов в (10) тождественно удовлетворены, и остается три уравнения:

в) Пространственная система параллельных сил

Направим ось z параллельно силам. Тогда главный вектор V будет параллелен z, а главный момент Мо, будет принадлежать плоскости x y. Три условия в (10) тождественно удовлетворены и остается 3 уравнения:

г) Плоская система сил.

В произвольной точке О плоскости сил (Рис.6) построим систему координат xОу так, чтобы плоскость ху совпала с плоскостью сил. Главный вектор системы V лежит в плоскости xOy, а главный момент M_o ей перпендикулярен. Следовательно, три уравнения в (10) тождественно удовлетворены, и для равновесия системы достаточно потребовать

I) (13)

Можно показать, что справедливы еще две формы уравнений равновесия для плоской системы сил:

II) () не перпендикулярно (14)

III) (ABC- не на одной прямой) (15)

Размещено на Allbest.ru