Наближення базової системи масового обслуговування із повторними викликами за допомогою урізаних моделей

Прищепа О.В., асистент, Яцковець Я.П., спеціаліст прикладної

математики (Національний університет водного господарства та

природокористування, м. Рівне)

Наведено результати експериментальних досліджень, обраховані стаціонарні ймовірності та знайдені функціональні характеристики.

The results of experimental calculations are resulted, stationary probabilities are shortchanged and functional descriptions are found.

Поява та неперервне вдосконалення обчислювальної техніки стало однією із причин перетворення науки в цілому та математики зокрема. Змінилися технології наукових досліджень, значно розширились можливості теоретичних досліджень, прогнозу складних процесів, проектування інженерних конструкцій. Розв'язання важливих науково-технічних проблем стало можливим завдяки застосуванню математичного моделювання і обчислювальних методів, що призначені для комп'ютерів. Зараз можна стверджувати, що з'явився новий спосіб теоретичного дослідження складних процесів, що допускають математичний опис, - обчислювальний експеримент, тобто дослідження наукових проблем засобами обчислювальної математики.

В цій роботі ми торкнулися однієї із фундаментальних задач математичного моделювання - задачі обчислення і порівняння характеристик в системах масового обслуговування.

В рамках нашої роботи розглядалися питання наближення урізаними моделями масового обслуговування базові моделі.

Система масового обслуговування - це така система, в якій у випадкові моменти часу надходять вимоги на обслуговування, та обслуговуються за допомогою наявних в системі каналів обслуговування.

Прикладами систем масового обслуговування є:

· станції технічного обслуговування автомобілів;

· персональні комп'ютери, що обслуговують заявки або вимоги на вирішення тих, чи інших задач;

· відділи податкової інспекції, яка займається прийомом та перевіркою поточної звітності підприємств;

· телефонні станції;

· аеропорти та інші.

Отже, основними елементами моделі масового обслуговування є вимога (клієнт, заявка на обслуговування) та обслуговуючі прилади (сервіси, канали обслуговування, або засоби обслуговування). Слід зазначити, що в системах із одним приладом поняття обслуговуючого приладу та обслуговуючої системи є синонімами. Отже, система масового обслуговування - це об'єкт, в якому виконується послідовність елементарних операцій.

Мета роботи - дослідити урізані моделі системи масового обслуговування із повторними викликами, реалізувати програмний продукт для визначення основних функціональних характеристик.

Актуальність роботи полягає у необхідності визначення найкращої моделі, яка б відображала всі властивості базової та дозволяла визначати всі функціональні характеристики.

Об'єктом дослідження є стохастичні системи із повторними викликами, методами дослідження є визначення стаціонарних ймовірностей та основних функціональних характеристик систем масового обслуговування.

Нехай маємо систему масового обслуговування з повторними викликами.

Будемо вважати, що початкова вимога досягається за допомогою пуассонівського процесу інтенсивністю . Система має c однотипних приладів, час є незалежним і показниково розподіленим з параметром . Коли надійшла вимога на обслуговування, і є вільний прилад, то вона одразу ж обслуговується і залишає систему. У протилежному випадку вимога стає в чергу та утворює незалежне від інших вимог джерело повторних викликів. Джерела повторних викликів формують чергу. Кожна вимога повторно звертається до приладу через деякий час, який є показникові розподіленим із параметром . Вимоги, що формують джерела повторних викликів, постійно опитують систему на наявність вільного приладу. При наявності вільного приладу, в момент повторного виклику, вимога надходить до системи та обслуговується після чого залишає систему, коли прилад зайнятий, то стан системи не змінюється. Час обслуговування не залежить від того чи вимога надійшла з вхідного потоку, чи з черги.

Стан системи в момент часу описується двовимірним процесом , де - кількість зайнятих приладів, - кількість джерел повторних викликів. Зазначимо, що є марківським процесом із фазовим простором .

Розглянувши інфінітезимальні характеристики для двовимірного ланцюга Маркова з неперервним часом отримаємо стаціонарні характеристики

,; (1)

, (2)

та умову нормування . (3)

масовий стаціонарний ймовірність обслуговування

Систему масового обслуговування без обмежень на кількість джерел повторних викликів можна проводити на основі наступних імовірнісних характеристик:

1) - середня кількість зайнятих приладів;

2) - середня кількість джерел повторних викликів;

3) - середній час очікування первинного виклику до обслуговування (тобто середнє значення часу від надходження первинного виклику до початку обслуговування);

4) - ймовірність втрати первинних викликів.

Алгебраїчна система (1)-(3) в загальному вигляді простого розв'язку не має, тобто стаціонарні ймовірності для системи масового обслуговування з повторними викликами без обмежень визначити не можна. Отже, для проведення аналізу систем потрібно розглядати урізані моделі, за допомогою яких можна наближувати базову модель системи масового обслуговування.

Розглянемо урізану систему масового обслуговування , яка складається з однотипних приладів, час є незалежним і показниково розподіленим з параметром . У цій моделі, на противагу головній моделі, кількість джерел повторних викликів обмежена певним числом М . На вході системи маємо пуасонівський потік вимог з інтенсивністю .

Якщо надійшла вимога і є хоча б один прилад або хоча б одне вільне місце серед джерел повторних викликів, то вимога залишається в системі. Тобто якщо в момент надходження вимоги деякий прилад вільний, то вона відразу ж надходить на обслуговування і залишає систему. Якщо всі прилади зайняті, то вимога стає в чергу й утворює незалежне від інших вимог джерело повторних викликів. Кожна вимога повторно опитує прилад через показниково розподілений час з параметром . При відсутності вільних приладів і джерел повторних викликів вимога втрачається.

Стан системи може бути описаний двовимірним процесом , де - кількість зайнятих приладів, - кількість джерел повторних викликів за час t. Процес є марківським з фазовим простором . Використовуючи інфінітезимальні характеристики для двовимірного ланцюга Маркова з неперервним часом отримаємо стаціонарні характеристики.

,

, ,

, , ,

, ,,

,

та умову нормування

.

Виконуючи перетворення отримаємо функціональні характеристики:

,

,

де B(M) - блокуюча ймовірність в системі S(M), і N(M) - середнє число джерел повторних викликів у системі, Y(M) - середня кількість зайнятих приладів.

Оскільки стаціонарну ймовірність для базової моделі не можна знайти, то для наближення можна використати ще одну наближену модель.

Головна ідея числового наближення нескінченної системи S, яка не може бути обчислена безпосередньо, полягає в заміні її “обчислюваною” системою S'. Прямий метод урізання наближує систему S' обмеженою системою S(M), яка зв'язана числом джерел повторних викликів. Ця система очевидно “обчислювана” (оскільки система є обмежена). Нижче узагальнена урізана система наближається до певної відомої системи, яка є “обчислювана”. Факт, що ми наблизимо початкову (необмежену) систему деякою неомеженою системою забезпечить набагато вищу точність наближення.

Розглянемо урізану систему масового обслуговування , яка складається з однотипних приладів, час є незалежним і показниково розподіленим з параметром . На вході системи маємо пуасонівський потік вимог з інтенсивністю .

Якщо надійшла вимога і є хоча б один прилад або хоча б одне вільне місце серед джерел повторних викликів, то вимога залишається в системі. Тобто якщо в момент надходження вимоги деякий прилад вільний, то вона відразу ж надходить на обслуговування і залишає систему. Якщо всі прилади зайняті, то вимога стає в чергу й утворює незалежне від інших вимог джерело повторних викликів. Кожна вимога повторно опитує прилад через показниково розподілений час з параметром . При відсутності вільних приладів і джерел повторних викликів вимога втрачається. Порівнюючи з головною моделлю, що інтенсивно повторюється, система стає рівною нескінченності, як тільки число джерел повторних викликів перевищує рівень M. По суті справи це означає, що коли число вимог перевищує рівень M, то ці вимоги формують чергу, таким чином, що одна вимога в черзі одержить обслуговування, коли прилад стає вільним).

Процес (), де - це число зайнятих серверів і - це довжина черги в цій новій “урізаній” системі є процесом маркова з простором {0,1,…,c-1}Ч{0, 1, . . . , M}{c}ЧZ+. Використовуючи інфінітезимальні характеристики для двовимірного ланцюга Маркова з неперервним часом отримаємо стаціонарні характеристики.

0 ? i ?c, 0 ? j ? M-1 0 ? j ? M-1 0 ? i ? c-1

з нормалізуючим рівнянням

Виконуючи перетворення отримаємо функціональні характеристики:

де B(M) - блокуюча ймовірність в системі S(M), і середнє число джерел повторних викликів у системі є:

де N(M) - середнє число джерел повторних викликів в системі S(M).

Отже, в результаті роботи реалізовано такі завдання:

1) розглянули ланцюги Маркова та системи масового обслуговування;

2) розробити алгоритми знаходження стаціонарних ймовірностей та функціональних характеристик;

3) розробити програмний продукт, за допомогою якого можна було б проводити обчислювальні експерименти.

Із розглянутих прикладів можна зробити висновок, що для того, щоб покращити точність базової моделі систем масового обслуговування, потрібно розглянути урізані моделі. Але разом з тим можна побачити, що урізана модель систем масового обслуговування із повторними викликами дає кращі результати, аніж урізана модель систем масового обслуговування із повторними викликами .

Як відомо, значимість будь-якого проекту залежить від перспектив його розвитку. Щодо нашого проекту, то тут дослідження можна розвивати у таких напрямках:

1) узагальнення методики визначення функціональних характеристик у випадку інших урізаних моделей;

2) пошук визначення алгоритмів розв'язку стаціонарних ймовірностей.

Слід зауважити, що в об'єктно-орієнтовній моделі систем масового обслуговування, яка розроблена в цій роботі, закладено можливості, що дозволять легко реалізувати наступні етапи розвитку нашого проекту.

Література

1. Гихман И.И., Скороход А В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука., 1977. - 568 с.

2. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая сатистика. - К.: Вища шк., 1988. - 439 с.

3. Ивченко Г.И. Теория массового обслуживания. - М.: Висш. школа., 1982. - 244 с.

4. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: пер. с англ. /Под. ред. Коваленко И. Н., изд-ие2. - M.,1979. - 365 с.

5. Anisimov V.V. and J.R. Artalejo - Approximation of Multiserver Retrial Queues by Means Generalizad Truncated Models //Sociedad de Estadistica e Investigacion Operativa. - vol 10, pp. 51-66.

Размещено на Allbest.ru