Решение граничных обратных задач теплопроводности на основе параметрической оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение граничных обратных задач теплопроводности на основе параметрической оптимизации

Рассматривается граничная обратная задача теплопроводности (ОЗТ), сформулированная в экстремальной постановке, как задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами при ограничении множества управляющих воздействий до класса непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций. С использованием параметризации управляющих воздействий задача сводится к негладкой задаче математического программирования, решение которой осуществляется на основе специального метода, учитывающего альтернансные свойства искомых экстремалей.

Ключевые слова: обратная задача теплопроводности, специальные задачи математического программирования, параметрическая оптимизация, альтернансный метод, кусочно-параболическая аппроксимация.

Типовая граничная ОЗТ, состоящая в восстановлении граничных условий по определенной информации о температурном поле, в большинстве случаев является некорректной задачей в исходной постановке, не обладающей свойством устойчивости решения по отношению к вариациям исходных данных [1, 2]. Эффективным подходом к решению граничной ОЗТ является формулировка задачи в экстремальной постановке и последующее использование численных методов оптимизации [1].

Рассматривается линейная одномерная модель нестационарного процесса теплопроводности, заданная однородным уравнением Фурье в относительных единицах при краевых условиях третьего рода:

Здесь - температурное поле, зависящее от безразмерного времени (число Фурье) и пространственной координаты ; - безразмерный критерий Био, выражающий теплофизические свойства материала; - температура рабочего пространства печи, рассматриваемая в качестве сосредоточенного управления на границе тела , подчиненная ограничению

принадлежности заданному множеству соответствующих управляющих воздействий.

Задана температурная зависимость в некоторой фиксированной точке . Требуется восстановить температуру рабочего пространства печи , минимизирующую невязку между заданной и точным решением краевой задачи (1), (2), соответствующим .

Для оценки этой невязки предлагается использовать ошибку равномерного приближения результирующего температурного поля к требуемому на заданном временном интервале [3, 4].

Для объекта (1), (2) необходимо найти подчиненное ограничению (3) управляющее воздействие , обеспечивающее на заданном интервале выполнение условия

Для получения условно-корректной постановки ОЗТ, не требующей применения при решении специальных методов регуляризации, необходимо рассмотреть задачу (1)-(4) на компактном множестве физически реализуемых достаточно гладких функций [2].

Для этого достаточно осуществлять поиск в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций, в соответствии с чем за управление вместо принимается его вторая производная [5] , подчиненная типовому ограничению

.

параметрический теплопроводность задача

Соответственно, связь искомой температуры печи с новым управлением осуществляется по соотношениям

Далее, на основании известных условий оптимальности систем с распределенными параметрами [3, 4], применяемых к сформулированному функционалу (4), возможно установить структуру управляющего воздействия, параметризовав его вектором, содержащим, в том числе, априори неизвестные значения [5].

В этом случае используется описание объекта (1), (2) в виде бесконечного ряда

(8)

разложения температурного поля по собственным функциям тепловой задачи [3, 4], где собственные числа определяются решением уравнения .

Уравнение (8), дополненное условиями (6), (7), приводит к следующей постановке задачи.

Для объекта управления (6)-(8) требуется найти подчиненное ограничению (5) управляющее воздействие , при котором на заданном интервале достигается минимаксное соотношение

. (9)

Можно показать, используя стандартную процедуру принципа максимума Понтрягина, что новое управляющее воздействие представляет собой кусочно-постоянную функцию времени, поочередно принимающую только свои предельно допустимые значения [5]. В соответствии с этим искомое оптимальное управление определяется числом и длительностями знакочередующихся интервалов постоянства

,

где .

Интегрирование уравнений (6), (7) при кусочно-постоянном воздействии (10) приводит к кусочно-параболическому представлению управления:

Для определения рассмотрим подробно случаи , которых в большинстве практических ситуаций оказывается достаточно для аппроксимации исходной функции кусочно-параболическим представлением (11), т. к. ошибки восстановления оказываются уже достаточно малыми [5]:

(12)

Температурное поле в зависимости от вектора и подлежащих определению значений описывается выражениями, соответствующими решению краевой задачи (1), (2) для всех необходимых составляющих искомого управляющего воздействия (11) и

, (13)

Где

, (14)

, (15)

(16)

На основании (11)-(16) искомое управляющее воздействие и соответствующее ему температурное поле однозначно характеризуются вектором параметров , заданным теперь (при известном значении ) на замкнутом ограниченном множестве .

Подстановкой в (9) осуществляется точная редукция некорректной постановки ОЗТ (1), (2) к задаче параметрической оптимизации, точнее, к специальной негладкой задаче математического программирования (СЗМП):

Постановка данной СЗМП обусловлена специфическим характером процедуры параметризации. Во-первых, вектор искомых параметров имеет большую размерность, чем вектор длительностей интервалов управляющего воздействия [5], и, во-вторых, ограничения на производные управляющих воздействий приводят к тому, что вектор параметров содержит компоненты, имеющие новый физический смысл.

В общем случае на основе кусочно-параболической аппроксимации (11) можно восстановить искомую функцию на интервале фиксированной длительности с любой точностью при достаточно большом (вплоть до ) соответствующим выбором вектора параметров [2]. При этом для каждого значения конечномерного вектора сохраняется корректная постановка задачи, откуда следует возможность решения рассматриваемой ОЗТ с требуемой точностью последовательным решением ряда задач (17) при увеличении числа до величины , обеспечивающей минимаксное отклонение температурных распределений, соответствующее заданной погрешности.

Соответственно [3], [4] разность , определяемая вектором , в определенных условиях обладает свойствами чебышевского альтернанса, на основании которых на интервале достигаются знакочередующиеся максимальные по абсолютной величине значения, равные в точках , число которых на единицу превышает число искомых параметров . На основании этого свойства составляется замкнутая система соотношений для предельных разностей температур в этих точках относительно всех неизвестных. В общем случае возможны несколько типов пространственной конфигурации кривой погрешности аппроксимации температуры [5] в зависимости от расположения первой и последней точек экстремума на границах интервала или вне их.

В качестве примера было рассмотрено решение представленным способом граничной ОЗТ при экспоненциальном законе изменения управляющего воздействия на границе

Точное решение краевой задачи (1), (2), полученное при управляющем воздействии для температуры в точке контроля , имеет вид

. (19)

параметрический теплопроводность задача

Численным решением систем соотношений для различных значений из всех возможных вариантов формы распределения кривой на отрезке установлена конфигурация, соответствующая следующей системе уравнений:

где

Решение систем соотношений (20) дает оптимальную по критерию (17) кусочно-параболическую аппроксимацию сплайнами вида (11) идентифицируемой температуры рабочего пространства печи .

Получаемые при этом кривые погрешностей приближения температур и идентифицируемой температуры среды для случаев представлены на рисунке.

Максимальные отклонения температур убывают с ростом числа , в большинстве случаев удовлетворяя требуемой точности уже при . Погрешность восстановления температуры печи достигается преимущественно на границах интервала идентификации и также уменьшается с ростом числа интервалов постоянства .

Проведенные расчеты показывают возможность применения альтернансного метода для решения граничных обратных задач теплопроводности в экстремальной постановке с ограничениями на производные управляющих воздействий, для решения специальной негладкой задачи математического программирования с использованием параметризации идентифицируемого граничного воздействия.

Рис.

параметрический теплопроводность задача

Библиографический список

параметрический теплопроводность задача

1.Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

2.Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. - М.: Энергия, 1976. - 448 с.

3.Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. - М.: Металлургия, 1993. - 278 с.

4.Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. - 336 с.

5.Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. - 2002. - №5. - С. 144-155.

Размещено на Allbest.ru