Прогнозирование верхней границы критерия качества в задаче оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прогнозирование верхней границы критерия качества в задаче оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева

Предложен основанный на использовании теорем сравнения метод прогнозирования верхней границы критерия качества в задаче оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева.

Сложно представить область науки или техники, где бы не использовались динамические системы и не изучались их модели в форме дифференциальных уравнений или гибридных автоматов. Метод анализа динамических систем, базирующийся на исследовании траекторий систем [1], - один из наиболее активно развивающихся в последнее время. Известный вариант такого подхода предусматривает построения области достижимости динамической системы [2].

Понятие области достижимости предоставляет удобный язык, на котором могут быть описаны различные задачи теории управления. Если известны области достижимости, то можно легко оценить возможности управления. Например, часто возникает такой вопрос: можно ли перевести систему в некоторое предписанное состояние в предписанный момент ? Для ответа на этот вопрос достаточно проверить, принадлежит ли вектор области достижимости. Предположим, что решается более общая задача о приведении системы в заданное терминальное многообразие в момент . Ясно, что решение этой задачи эквивалентно выяснению того, пересекается ли многообразие с множеством достижимости. Зная области достижимости, мы можем проанализировать, как решение этих задач зависит от момента времени и множества . Пусть, наконец, необходимо решить задачу оптимального быстродействия. Эта задача состоит в приведении системы на заданное множество за кратчайшее время, что имеет и теоретическое значение, и практический интерес. С точки зрения областей достижимости вопрос состоит в следующем: требуется найти такое минимальное время , чтобы область достижимости в этот момент пересекалась с заданным множеством.

Эти примеры подчеркивают полезность использования областей достижимости в теории и практике управления. К сожалению, за исключением очень узкого класса систем, точное вычисление областей достижимости невозможно. Приближенные численные методы построения множеств достижимости [3], [4], особенно для систем большой размерности, сложны в вычислительном плане и не обладают требуемой точностью.

Предлагаемая модернизация этого метода позволяет сканировать пространство состояний системы, используя лишь некоторые из возможных траекторий. При этом удается получить информацию, которая позволяет делать некоторые заключения относительно всех возможных вариантов поведения системы или интересующих нас качественных ее характеристик. В основе рассматриваемого метода лежат теоремы сравнения. Эти теоремы играют важную роль в исследовании различных классов задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такой подход носит также название метода дифференциальных неравенств [5] и является одним из наиболее эффективных в качественной теории дифференциальных уравнений. Порождаемые дифференциальными неравенствами суб- и суперрешения и являются теми траекториями, которые «несут» в себе нужную нам информацию о системе.

В качестве примера рассмотрим, как использование теоремы сравнения позволяет сделать прогноз верхней границы критерия качества в задаче оптимального по быстродействию управления при индукционном нагреве.

Процесс индукционного нагрева тонких цилиндрических оболочек может быть описан в относительных единицах одномерным неоднородным уравнением теплопроводности

со следующими краевыми условиями:

;

Здесь - относительное время; - относительная длина оболочки. Относительная температура окружающей среды считается нулевой, начальная температура нагреваемого тела также равна нулю. В соответствии с уравнением (4) поток тепловых потерь с торца при температуре пропорционален этой температуре. Необходимо определить управление - зависящую от времени функцию распределения внутренних теплоисточников по длине тела. С целью предельного повышения производительности управление должно обеспечивать перевод объекта (1) - (4) из начального состояния (2) в заданную область

за минимальное время

.

В (5), (6) - заданная требуемая относительная температура нагрева; - допустимое результирующее отклонение температуры в конце процесса от заданной, - время окончания процесса. Считается, что ограничения на температуру в ходе процесса нагрева не накладываются, а на само управление накладывается ограничение вида

Простейшим вариантом управляющего воздействия является одноинтервальное как по пространственной, так и по временной координате управление

.

Результаты численного исследования процессов одноинтервального управления (8) объектом (1) - (7) при различной интенсивности теплообмена в (4) представлены на рис. 1, 2. Характер расположения точек альтернанса результирующего температурного поля (рис. 2) свидетельствует о том, что перепад температуры в конце первого интервала не может быть уменьшен традиционными средствами сосредоточенного управления [6].

цилиндрический нагрев индукционный

Если предельная точность не удовлетворяет технологическим требованиям к точности нагрева, т.е. , то задача (1) - (7) оказывается неразрешима средствами сосредоточенного управления. В качестве альтернативного варианта рассмотрим систему распределенного по длине изделия управления мощностью [7]. Эта система производит последовательный опрос температурных датчиков, фиксирующих температуру в различных точках нагреваемого тела. Когда температура в некоторой точке превышает уровень , осуществляется локальное снижение мощности в зоне расположения этого датчика до минимального уровня,

.

Были проведены расчеты процессов распределенного управления объектом (1) - (7) на основе алгоритма (9) в широком диапазоне изменения интенсивности теплообмена - параметра . Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 3-5. Из расчетов следует, что точность нагрева , обеспечиваемая управлением вида (9), в 1,6-11,3 раза превосходит предельную точность сосредоточенного управления. Если достигаемая в результате использования алгоритма (9) точность соответствует технологическим требованиям, этот закон управления может быть использован на практике. Но при этом возникает вопрос: как далек алгоритм (9) от оптимального?

Вопрос о сильной сходимости закона управления (9) и порождаемых им траекторий к оптимальным достаточно сложен [8] и не имеет существенного практического интереса, в отличие от вопроса о сходимости слабой (в смысле критерия качества). Выясним, каким предельно низким может быть значение критерия качества в задаче (1) - (7). Эта информация позволит дать некоторую грубую оценку максимально возможных потерь производительности в случае использования управления вида (9). Получим такую оценку с помощью леммы.

Лемма. Пусть решение задачи (1) - (7) существует, - решение системы (1) - (4) при , а - корень уравнения

.

Тогда справедливо неравенство

,

где - критерий оптимальности в задаче (1) - (7).

Доказательство: в условиях выполнения ограничения (7) - суперрешение системы (1) - (4). Поэтому, как следует из [5],

.

Если определить условием

,

то из (12), (13) вытекает, что при любом законе управления . Следовательно,

.

В работе [6] установлено, что функция , отражающая зависимость абсолютной погрешности нагрева от времени процесса, является строго убывающей. Из этого факта и соотношения (14) следует, что в интервале условие (5) не выполняется, т.е. оно может быть выполнено лишь при . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Опираясь на результаты леммы, получим величину предельно возможного уровня потерь критерия качества (6) в результате использования неоптимального закона управления (9). Результаты численного моделирования процессов управления приведены на рис. 6, 7. Время , при котором выполняется соотношение (10), в соответствии с расчетами меньше времени на 0,8-4,7 %. Это означает, согласно оценке (11), что значение критерия качества (6) может быть при уточнении закона управления (9) улучшено лишь на 0,8-4,7 %. Это позволяет сделать вывод о достаточно высоком быстродействии рассматриваемого алгоритма управления.

Библиографический список

1.Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R. Qualitative properties of trajectories of control systems: a survey. CRM-2203, August 1994. 32 p.

2.Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М. Наука, 1988. 320 с.

3.Kurzhanski A.B., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Optimization Methods and Software, Vol.17, Taylor & Francis, 2000. P. 177-237.

4.Girard A., Le Guernic C., Maler O. Computation of reachable sets of linear time-invariant systems with inputs. Hybrid Systems: Computation and Control, Vol.3927 of Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, 2006. P. 257-271.

5.Szarski J. Differential inequalities. Monografie Matematyczne, Tom 43, Warszawa, PWN, 1965. 256 p.

6.Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. 336 с.

7.А.с. № 1791965 СССР, МКИ3 Н 05 В 6/06. Индукционная нагревательная установка периодического действия / Г.Н. Рогачев. Опубл. 30.01.93, Бюл. №4.

8.Рогачев Г.Н. Алгоритмы и технические средства сосредоточенного и распределённого управления процессом индукционного нагрева: Автореф. дис… канд. техн. наук / Куйбышев, 1987. 17 с.

Размещено на Allbest.ru