Приемы решения алгебраических неравенств

Размещено на http://www.allbest.ru/

БУ ВО «Сургутский государственный педагогический университет»
Ханты-Мансийский Автономный округ - Югра АО

Приемы решения алгебраических неравенств

Мугаллимова Светлана Ринатовна

канд. пед. наук, старший преподаватель

Чебанова Елена Ильинична студентка

Изучению неравенств уделяется особое внимание в области элементарной математики, поскольку именно алгебраические неравенства являются математическими моделями очень многих физических или иных учебных задач, поэтому методы их решения в большинстве случаев вызывают затруднения. К числу изучаемых алгебраических неравенств относят:

1) линейные неравенства;

2) квадратные неравенства;

3) рациональные и дробно-рациональные неравенства;

4) иррациональные неравенства;

5) показательные и логарифмические, сводящиеся к алгебраическим.

Для решения вышеперечисленных неравенств существуют разные методы решения среди которых графический и аналитический методы, метод равносильных преобразований на основе свойств числовых функций. Достаточно универсальным методом решения неравенств является метод интервалов, поскольку его можно применять для целого класса неравенств. Методом интервалов решают неравенства, приведенные к виду или , ( или

Метод интервалов основан на том, что непрерывная на промежутке функция может менять знак только в тех точках, где ее значения равно нулю (но может и не менять) [5].

Алгоритм метода интервалов [4]:

1. Найти область определения функции и промежутки, на которых непрерывна.

2. Найти нули функции значения , при которых Нанести на числовую ось найденные промежутки и нули.

4. Определить интервалы знакопостоянства и в каждом из них поставить, найденный подсчетом знак.

5. Выписать ответ.

Рассмотрим пример применения данного метода для решения неравенства

1. Функция непрерывна каждой точке своей области определения (это дробно-рациональная функция). .

2. Найдем точки, в которых наша функция , т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: . В результате получили точки , и .

3. Нанесем на числовую ось найденные промежутки и нули.

4. Найдем знак правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем . Например, Тогда получим:

Расставляем остальные знаки. В точке , уравнение четное, следовательно, знак остается без изменений в точке , нечетное, знак функции изменяется на противоположный.

5. Вернемся к нашему исходному неравенству , следовательно, нам необходимо записать в ответ интервалы отмеченные знаком плюс.

Ответ:

Существуют различные приемы решения алгебраических неравенств, основанные на применении метода интервалов. Ниже покажем некоторые из них и приведем примеры их применения при решении алгебраических неравенств, представленных в нашей классификации.

Прием замены переменной

Мощным средством решения различных видов алгебраических неравенств является прием введения новой переменной, или «прием замены переменной». Данный прием необходимо применять в случае, если в исходном неравенстве неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой переменной и решить неравенство сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную[7].

Пример [Помилка! Невідомий аргумент ключа.]. Решить неравенство:

Решение. Данное показательное неравенство решается приемом замены переменной. Введем замену , тогда неравенство примет вид:

.

Приведем к общему знаменателю:

.

В результате преобразований получим квадратное неравенство . Для его решения применим графический метод решения. Поскольку ветви параболы направлены вверх. Для того, чтобы начертить эскиз графика (рис. 1) необходимо найти дискриминант трехчлена: , следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках: и .

Рис. 1

Поскольку нам необходимо взять только те значения , при которых квадратное неравенство принимает неположительные значения (знак неравенства ), то получаем .

Сделаем обратную замену: В результате получим два неравенства: и .

Решим первое неравенство:

.

Решим второе неравенство:

Ответ: .

Прием разложения многочлена на множители

Разложить многочлен на множители - это значит преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей [7]. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки. Данный прием является достаточно универсальным, поскольку его можно применять для решения алгебраических неравенств любого вида. К примеру, рассмотрим решение показательного неравенства с его применением.

Пример [2]. Решить неравенство: .

Решение. Представим в виде произведения множителей: . Запишем исходное неравенство в виде . Вынесем за скобку, получим и преобразуем, получившееся неравенство:

,

.

Воспользуемся свойством и запишем:

Получили рациональное неравенство решение которого сводится к применению метода интервалов.

Введём функцию . Найдем точки, в которых , т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: В результате получили , . Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки функции на каждом из получившихся интервалов (рис. 2).

Рис. 2

Поскольку нам необходимо взять только те значения , при которых функция равна нулю или принимает отрицательные значения, то получаем .

Ответ: .

Прием возведения обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень неравенство математика интервал алгебраический

Данный прием, как правило, применяется для решения иррациональных неравенств. В основе преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень [7]. При решении таких неравенств необходимо следить затем, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому необходимо учитывать область определения неравенства и область возможных значений решения.

Пример [3]. Решить неравенство: .

Решение. Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то возводить обе части неравенства без определенных условий в квадрат нельзя. Необходимо рассмотреть два случая: и . Следовательно, неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему: Покажем решения каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 3).

Рис. 3

Следовательно,

Рассмотрим вторую систему:

.

Объединив полученные промежутки, получим

Прием логарифмирования при решении показательных неравенств

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы входящих в выражение . Такое преобразование называют логарифмированием. Следует учесть, что при знак неравенства сохраняется, при меняется [1].

Пример [11]. Решить неравенство:

Решение. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию . Т.к. то знак неравенства не изменится. Запишем:

Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем неравенство к виду:

Т.к. , неравенство примет вид

Используем прием замены переменной, обозначив .

Тогда

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Обозначим точки и на числовой оси (рис. 4):

Рис. 4

Решениями неравенства являются промежутки, на которых функция равна нулю или принимает отрицательные значения. Значит .

Вернемся к обратной замен. Получили . Представим левую и правую части неравенства в виде логарифмов с десятичным основанием:

Ответ: .

Прием потенцирования при решении логарифмических неравенств

Под потенцированием понимается переход от неравенства, содержащего логарифмы, к неравенству, не содержащему их: любой из знаков неравенства: и [1].

Пример [6]. Решить неравенство:

Решение. Запишем данное неравенство в виде Воспользовавшись приемом потенцирования и учитывая, что решим неравенство, равносильное данному:

Получившееся квадратное неравенство решим методом интервалов, воспользовавшись алгоритмом решения квадратных неравенств.

1. Поскольку ветви параболы направлены вверх.

2.

3. Обозначим корни квадратного трехчлена на оси (рис. 5):

Рис. 5

Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна: (.

Ответ: (.

Прием рационализации

Идея приема рационализации заключается в том, что показательное, логарифмическое или другое неравенство, содержащее монотонную функцию, сводится рациональному неравенству [9]. Итак, функция называется возрастающей, если для любых двух значений из области ее определения большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть если , то

Из определения следует, что для возрастающей функции

- если ;

- если ;

Следовательно, разности и имеют один и тот же знак. Аналогично для убывающей функции можно сделать вывод и всегда имеют противоположные знаки. Данные свойства используют при решении неравенств, содержащих в себе любые монотонные функции (показательные, логарифмические, иррациональные и другие).

К примеру, рассмотрим неравенство вида: .

Поскольку основание логарифма может быть больше или меньше 1, функции и могут как возрастать, так и убывать. Следовательно, знак неравенства сохранится или поменяется на противоположный.

Учитывая, что основание логарифма и , запишем совокупность двух систем [10]:

Преобразуем данную совокупность к равносильной системе:

Пример[3]. Решить неравенство:

Решение. Воспользуемся методом рационализации неравенства, запишем систему неравенств:

Полученную в результате преобразований, систему решим методом интервалов (рис. 6).

Рис. 6

Ответ:.

Таким образом, для решения того или иного вида алгебраического неравенства методом интервалов существует несколько приемов:

1) прием рационализации;

2) прием замены переменной;

3) прием разложения многочлена на множители;

4) прием возведения обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень;

5) прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенств;

6) прием логарифмирования при решении показательных и логарифмических неравенств.

Перечисленные приемы, на наш взгляд, успешно могут быть использованы школьниками при решении заданий ЕГЭ и заданий повышенной сложности.

Список источников

1. Гусев В. А. Математика [Текст]: Учебное пособие для учащихся средней школы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1988. 416 с.

2. Гущин, Д.Д. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс]: Образовательный портал. Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

3. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающихся во втузы [Текст]: Учебник для вузов / В.К. Егерев, В.В. Зайцев. М.: «Мир и образование», 2013. 608 с.

4. Звавич, Л.И. Алгебра в таблицах. 711 класс [Текст]: Справочное пособие / Л.И. Званевич, А.Р. Рязановский. М.: «Дрофа», 2012. 95 с.

5. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала [Текст]: Учебное пособие для 9 - 10 кл. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др. М.: Просвещение, 1987. 335 с.

6. Кочетков, Е.С. Алгебра и элементарные функции [Текст]: Учебное пособие для учащихся средней школы / Е.С. Кочетков..: «Просвещение», 1969. 179 с.

7. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: Учебник для обще-образоват. учреждений / А.Г. Мордкович. М.: «Мнемозина», 2010. 215 с.

8. Немченко, К.Э. Новейший полный справочник школьника: 5 - 11 классы [Электронный ресурс]: Справочное пособие.https://books.google.ru/books?id=EVCFAQAAQBAJ&pg=PA277&lpg=PA277

9. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры [Текст]: Учебное пособие для студентов вузов / Л.Ф. Пичурин. М.: «Просвещение», 1990. 248 с.

10. Цыпкин, А.Г. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы [Текст]: Справочное пособие для вузов / А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. М.: «Оникс», 2007. 640 с.

11. Шестакова, С.А. ЕГЭ 2017. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень) [Текст]: Справочное пособие для учащ. средней школы / С.А. Шестакова. М.:МЦНМО, 2017. 352 с.

Размещено на Allbest.ru