Основные вопросы геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода:

- один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник - окружность; треугольник - секущая прямая; треугольник - три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.),

- а второй - метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).

Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке.

1.Теорема Менелая

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1, В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Доказать:

1.

2. точки А1,С1,В1 лежат на одной прямой

Доказательство:

1. Пусть точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (1). Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В1А1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:

и

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем

, откуда ,

т.е. выполнено равенство (1).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1 - на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (1). Докажем, что точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой, то по доказанному а первом пункте

Сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству = , которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А1,В1 и С1 лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана.

Эта теорема (вместе с обратной) показывает закономерность, наблюдающуюся для отношений отрезков, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.

На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором - продолжения всех трех сторон треугольника.

Рис.1

Теорема 1. (Менелая) Пусть пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда

Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если

,

то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.

Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок - перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице.

Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут - получили противоречие.

Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая.

Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Рис.2

Решение. Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABMb и прямой McM(C):

.

Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья - . Поэтому второе отношение равно 2:1, что и требовалось доказать.

Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC?

Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая:



Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье , таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1.

Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы.

2.Теорема Чевы

Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(3)

Доказать:

1. (3)

2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке

Доказательство:

1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

и .

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

.

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

.

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O. Теорема доказана.

Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка

Рис.3

пересечения - внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда

.

Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z):

,

а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1:

.

Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы:

,

то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.

Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.

Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Рассмотрим соотношение

для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.

Решение задач.

Задача №1.

Условие:

В треугольнике АВС АD - медиана, точка О - середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

Найти:

АК:КС=?:?

Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает

две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая получаем



Задача №2.

Условие:

Пусть АD - медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два.

Найти:

Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р - точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти

отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем

Итак, .

Доказательства теорем.

Задача №3.

Формулировка: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Условие:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать:

Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 - медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О - точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая

Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что

Теорема доказана.

Задача №4.

Формулировка:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Задача №5.

Формулировка:

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать:

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть АН1, АН2, АН3 - высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b - х.

(ВН2)2 = с2 - х2 и (ВН2)2 = а2 - (b - х)2. приравнивая правые части полученных равенств, получаем с2 - х2 = а2 - (b - х)2, откуда х = .

Тогда b -x = b - = .

Итак, АН2 = , СН2 = .

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН2 и ВСН3, ВАН1 и САН1, получим АН3 = , ВН3 = и ВН1 = ,

СН1 = .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

3.Задачи для самостоятельного решения

теорема геометрический задача

Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:

1. Фамилия, имя, класс, профиль класса

2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный)

3. Данные о школе

4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.)

Рекомендуется решить не менее четырех задач.

М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной:

а) 3, 3, 5, 7,10, 14;

в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,

Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке.

М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки:

а) 3, 3, 5, 7,10, 14;

в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,

Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке.

Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника.

М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что:

а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке.

Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны.

М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи.

М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы.

Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.

Заключение

Замечательные теоремы Менелая и Чевы, сложные на первый взгляд, оказались просты и интересны. Они находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии. Но решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Я думаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление учеников. В результате проведенной работы, я узнал много интересного и познавательного, научился применять теоремы в решении задач. Я думаю, что данное исследование, проведённая мной, поможет мне в дальнейшем.

Список литературы

1.Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику

2.Геометрия, 7-9` авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др. (М.: 3.Просвещение, 1990 и последующие издания). Оно полностью соответствует программе углубленного изучения математики.

Размещено на Allbest.ru

...