Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПЛАНЕМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

БАКАЛАВРА

по направлению подготовки 44.03.01. «Педагогическое образование»

профиль «Математика»

Дисциплина «Специальные вопросы геометрии»

Выполнил: студент

заочной формы обучения, 5 курса,

физико-математического факультета

Быковская Светлана Юрьевна

Воронеж 2020

Содержание

Введение

Глава 1. Векторы, операции над векторами

1.1 Основные понятия и операции над векторами

1.2 Координаты вектора

Глава 2. Векторный метод решения геометрических задач

2.1 Суть векторного метода решения геометрических задач

2.2 Примеры решения геометрических задач векторным методом

Заключение

Список литературы

вектор задача геометрический



Введение

Знание геометрии важно не только в школе, но и в повседневной жизни людей. В данной курсовой работе мы будем рассматривать векторный метод решения различных планиметрических задач.

Геометрия возникла из практических потребностей людей. При строительстве жилищ и изготовлении орудий труда у человека появилась необходимость уметь определять форму и размеры предметов. Известно, что уже около 4000 лет тому назад жители Древнего Египта и Вавилона обладали значительными запасами геометрических сведений. Первые доказательства геометрических фактов были представлены древнегреческим философом и математиком Фалесом Милетским. Позже знания о геометрии совершенствовались другими математиками.

На сегодняшний день знания о геометрии постоянно пополняются. Особое влияние на это оказывает компьютерная наука, которая играет большую роль в жизни современного человека.

Актуальность данной темы бесспорно высока в наше время. Векторы применяются не только в геометрии, но и других областях научных знаний: в физике, в строительном деле, в линейной алгебре. Нельзя забывать о том, что геометрия играет важную роль при решении различных задач. При этом применение векторов при решении геометрических задач рассматривается не как наиболее предпочтительный, а как один из возможных методов, который в некоторых случаях существенно облегчает решение задач.

Цель нашей работы состоит в рассмотрении векторного метода для решения планиметрических задач.

Задачи:

Проанализировать методическую литературу по теме исследования;

Раскрыть основные теоретические моменты;

Показать применение векторного метода решения планиметрических задач на практике.

Объектом исследования является методика изучения решения геометрических задач. Предметом исследования является векторный метод решения планиметрических задач.



Глава 1. Векторы, операции над векторами

1.1 Основные понятия и операции над векторами

Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками - его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой - второй (конец).

Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.

Рисунок 1 - Векторы

Вектор обычно обозначается символом , где А - начало, а В - конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.

Вектор единичной длины называют ортом.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарные; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .

Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).

Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:

1. (рефлексивность).

2. Из того, что , следует (симметричность).

3. Из того, что и , следует (транзитивность).

Рисунок 2. Сумма векторов

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец - в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. = (коммутативность);

2. (=, (ассоциативность);

3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что =0 (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ).

Вектор противоположный вектору обозначают (-.

Рисунок 3.Разность векторов

Определение: Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е. .

Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что для любого вектора .

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

Рисунок 4. Правило параллелограмма

Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением вектора на вещественное число л (скаляр) называется вектор , такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если л > 0 (л < 0).

Замечание: В случае, когда л = 0 или =0 произведение является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину . Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением , если л и м одного знака, и противоположно направлению , если л и м имеют разные знаки. Если же л или м равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2. (свойства дистрибутивности).

Построим треугольник OAB где и . Построим далее треугольник SPQ, где и . Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |л|. Ясно, далее, что и одинаково направлены, если л>0. Отсюда следует, что . Но и , а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарные. Допустим сначала, что знаки л и м одинаковы. Тогда векторы направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е. . Но и следовательно, в этом случае векторы и равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак л и м положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки л и м различны, и для определенности будем считать |л| > |м|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее . Но . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора. Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |л| = |м| и знаки л и м противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно.

Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число л такое, что = л

1.2 Координаты вектора

Понятие декартовой системы координат

Если вы находитесь в некоторой нулевой точке и размышляете над тем, сколько единиц расстояния нужно пройти строго вперёд, а затем - строго вправо, чтобы оказаться в некоторой другой точке, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. А если точка находится выше плоскости, на которой вы стоите, и к вашим расчётам добавляется подъём к точке по лестнице строго вверх также на определённое число единиц расстояния, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат.

С именем французского математика Рене Декарта (1596-1662) связывают прежде всего такую систему координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми. Помимо прямоугольной существует общая декартова система координат (аффинная система координат). Она может включать и не обязательно перпендикулярные оси. Если же оси перпендикулярны, то система координат является прямоугольной.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z<3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a;b) удовлетворяют уравнению (x - a)І + (y - b)І = RІ.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих осей называется осью Ox, или осью абсцисс, другую - осью Oy, или осью ординат. Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через Mx и My соответственно проекции произвольной точки М на оси Oxи Oy. Как получить проекции? Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Ox. Эта прямая пересекает ось Ox в точке Mx. Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy. Эта прямая пересекает ось Oy в точке My. Это показано на рисунке ниже.

Декартовыми прямоугольными координатами x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OMx и OMy. Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x=x₀-0 и y=y₀-0. Декартовы координаты x и y точки М называются соответственно её абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты x и y, обозначается так: M(x,y).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве.

Одну из указанных осей называют осью Ox, или осью абсцисс, другую - осью Oy, или осью ординат, третью - осью Oz, или осью аппликат. Пусть Mx, My Mz - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox, Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Ox. Эта плоскость пересекает ось Ox в точке Mx. Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy. Эта плоскость пересекает ось Oy в точке My. Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz. Эта плоскость пересекает осьOz в точке Mz.

Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OMx, OMy и OMz. Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x0 - 0, y = y0 - 0 иz = z0 - 0.

Декартовы координаты x, y и z точки М называются соответственно её абсциссой, ординатой и аппликатой.

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy, yOz и zOx.



Глава 2. Векторный метод решения геометрических задач

2.1 Суть векторного метода решения геометрических задач

Векторный метод - один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей.

Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.

Применение векторной алгебры к решению геометрических задач основано на следующих основных утверждениях.

Утверждение 1 (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): Два ненулевых вектора a> и b> коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число k?0, такое, что удовлетворяется следующее равенство

Утверждение 2: Если векторы a> и b> не коллинеарны, то любой вектор c>, компланарный с данными векторами можно представить в виде линейной комбинации и притом единственным образом:

Утверждение 3: Любой вектор d> в трехмерном пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам a>, b> и c>:

При решении задач векторным методом также применяются такие понятия, как сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятие скалярного произведения векторов.

Общая схема для решения геометрических задач векторным методом. При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой: Провести анализ условия задачи:

а) Выяснить в какой системе координат (двумерной или трехмерной) рассматривается данная задача;

б) Записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертеж по условию задачи. Перевести условие задачи и требования к векторному виду. Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи. Перевести полученный результат на геометрический язык.

Примеры типов задач, которые решаются векторным методом.

Приведем теперь примеры классических задач, решаемых с помощью векторного метода (Не приводя их решений).

· Задачи на доказательство параллельности.

· Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок.

· Задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой.

· Задачи на доказательство принадлежности четырех точек одной плоскости.

· Задачи на доказательство перпендикулярности. Задачи на вычисление длины отрезка.

· Задачи на нахождение величины угла.

· Задачи на вычисление площадей и объемов геометрических фигур.

2.2 Примеры решения геометрических задач векторным методом

Задача 1: В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD разделены в отношении 1:2 и 2:3 соответственно точками и . Разложить вектор по векторами. (Рис.1.)

Решение:

Используя правило сложение векторов, выразим векторы и через векторы и следующим образом:

;.

Векторы и коллинеарны векторам и соответственно, поэтому

, .

В четырехугольнике ABQP можно записать следующее соотношение:

.

Ответ: .

Задача 2: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти координаты четвертой вершины D. (Рис. 2.)

Решение:

Запишем вектор и найдем координаты векторов = (-2;-4;2), = (3;2;3) и = (1;-2;5). Зная координаты точки В(3;2;1) - начала вектора , находим координаты точки D(4;0;6).

Ответ: (4;0;6).

Задача 3: Векторы компланарны. Найти координаты вектора , длина которого равна, если он перпендикулярен вектору и.

Решение:

Вектор компланарен неколлинеарным векторам и тогда и только тогда, когда существуют такие числа , что . В координатной форме это равенство имеет вид . Условие перпендикулярности векторов и запишем в виде , откуда

Т. к. длина вектора = равна и , поэтому и

Ответ:

Задача 4: Доказать, что точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7), D(3;1) служат вершинами трапеции. Найти длину средней линии этой трапеции.

Решение:

По известным координатам точек А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) вычисляем координаты векторов , . Замечаем, что одноименные координаты векторов и пропорциональны, а координаты векторов и непропорциональны. Таким образом, точки А, В, С, D служат вершинами трапеции, а отрезки ВС и AD являются вершинами трапеции ABCD.

Вычислим длину средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме

оснований. Значит, ,

, , откуда .

Ответ: .

Задача 5: На координатной плоскости точки А(0;0) и В(1;2) являются вершинами правильного треугольника. Вычислить координаты вектора, образующего тупой угол с осью абсцисс, если С - третья вершина треугольника. (Рис. 3.)

Решение:

По условию задачи ?. Запишем скалярное произведение векторов и в виде .

С другой стороны, ? = . Значит, . Т. к. , то получаем уравнение:

Находим, что . Т. к. вектор образует с осью абсцисс тупой угол, то х < 0 и y > 0. Тогда имеет координаты .

Ответ: .

Задача 6: На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ = 2СМ. Точки K и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что AK = 2CK и BL = 3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM? (Рис. 4.)

Решение:

Обозначим .

Пусть (в силу коллинеарности векторов). Т. к. . Тогда . С другой стороны, . Таким образом, . В силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, получаем систему уравнений:

Ответ: 3:4.

Задача 7: В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник АВС. Пусть М - произвольная точка окружности. Чему равна сумма ? (Рис. 5.)

Решение:

Пусть О - центр описанной окружности.

==

Покажем, что. В самом деле:

.

Таким образом, =.

Ответ: .

Задача 8: Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеют длину а, точка М - середина ребра CD. На ребрах SA и BC взяты соответственно точки E и F так, что AE:AS= =BF:BC. Найти наименьшую возможную длину отрезка EF и при этом условии найти угол между прямыми EF и SM. (Рис. 6.)

Решение

Обозначим .

Выразим через векторы :

Получили, что . Находим скалярный квадрат вектора, используя, что

Видим, что имеет наименьшую длину тогда, когда выражение х²-х+1 принимает наименьшее значение, т. е. в вершине параболы: . Тогда . В этом случае E и F - середины AS и BC соответственно.

Найдем

;

Ответ:

Задача 9: Все ребра правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину , М - центр грани АВВ₁А₁. На прямой ВС₁ взята точка N так, что отрезок MN перпендикулярен прямой СА₁. Найти длину MN. (Рис. 7.)

Решение:

Обозначим за Р середину АС;

Выразим вектора через :

;

.

=+=

.

По условию задачи , где :

Получаем, что . Найдем скалярный квадрат вектор , используя, что , , : . Таким образом, .

Ответ: .

Задача 10: Дана замкнутая ломаная ABCDEFA. Точки M, N, P, Q, R, S - соответственно середины звеньев AB, BC, CD, DE, EF, FA. Доказать, что векторы MQ, RN и PS компланарны. (Рис. 8.)

Решение:

Выберем произвольную точку О. Тогда получим,

,,,,,;

,,.

Видим, что , т. е. выполняется условие компланарности векторов.

Задача 11: Даны четыре прямые AB, BC, CD и DA, не лежащие в одной плоскости. На этих прямых даны соответственно по две точки P₁ и P₂, Q₁ и Q₂, R₁ и R₂, S₁ и S₂, такие, что

.

Доказать, что .

Решение:

Из условия задачи:

Умножим второе уравнение системы на (- n) и сложим с первым, получим . Но по условию задачи точки A, B, C, D не лежат на одной плоскости, поэтому векторы некомпланарны, вследствие чего

.

Задача12: В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ грань ABCD -квадрат со стороной а; ребро АА₁ также равно а и образует с ребрами АВ и АD углы, равные . Найти длину диагонали BD₁ и угол между прямыми ВD₁ и AC. (Рис. 9.)

Решение:

Обозначим . Выразим векторы и через :

;

;

;

;

.

Ответ: ; .

Задача 13: Даны три луча DA, DB, DC, не лежащие в одной плоскости. Известно, что . Докажите, что луч DВ перпендикулярен биссектрисе DD₁ угла ADC. (Рис.10)

Решение:

Отложим от точки D на данных лучах единичные векторы , и . Тогда . Из условия, что , следует:

,

то есть . Так как DD₁- биссектриса угла АDC, то DD₁ коллинеарен и, следовательно, .



Заключение

При решении геометрических задач, кроме традиционных методов с использованием алгебры и тригонометрии, могут применяться и другие методы, в частности, векторный. Умение пользоваться векторами требует определённых навыков. Надо научиться переводить геометрические утверждения на векторный язык, а также, наоборот, векторные соотношения истолковать геометрически. Векторный метод, как и любой другой, применим не всегда. Умение заранее предвидеть, годится ли он для решения конкретной задачи или нет, вырабатывается опытом. Векторной исчисление появилось в начале 19 века и с того времени стало неотделимой частью всей геометрии. Векторное исчисление, как и другие научные знания, развивается по сегодняшний день.

Мы достигли цели, которая стояла перед нами. А именно, рассмотрели векторный метод, применяемый при решении планиметрических задач. В данной работе были выполнены все задачи. А именно, мы проанализировали методическую литературу по тебе исследования, раскрыли основные теоретические моменты, показали применение векторного метода решения планиметрических задач на практике.



Список литературы

1. Александров, А.Д. Гометрия: учеб. пособие / А. Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев. - Москва.: Наука, 1990. - 672 с.

2. Атанасян, Л.С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. - Москва: Просвещение, 2009. - 384 с.

3. Болтянский, В.Г. Преобразования. Векторы: пособие для учителей / В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. - Москва: Просвещение, 1964. - 303 с.

4. Зеленяк, О.П. Решение задач по планиметрии. / О. П. Зеленяк. -- Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008. -- 336 с.

5. Погорелов, А.В. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. - Москва: Просвещение, 2009. - 224 с.

6. Потоскуев, Е.В. Геометрия 10 класс.: учеб. для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - Москва: Дрофа, 2008. - 223 с.

7. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. / В. В. Прасолов. -- Москва: 2006. -- 640 с.

8. Саранцев, Г.И. О методике решения планиметрических задач.

9. Скопец, З.А. Геометрия: учебное пособие для 9 и 10 класс. средней школы. / В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодинский. - Москва: Просвещение, 1981. 

10. Энциклопедический словарь юного математика. / Москва:1989.

11. Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения/ Э.Г. Готман - М.: МЦНМО, 2006. - 160с.

12. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика - учеб. пособие для студентов физ.-мат. факт. пед. институтов. М.: Просвящение, 2000.

13. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. -- 4-е изд., дополненное -- М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2001 (эл. версия).

14. Программы средней общеобразовательной школы. Математика - М.: Просвещение, 2001.

15. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в ср. шк.: Учебное пособие - Вышей. школы., 1990.

16. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. /Под. ред. Блогодатских В.И. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

Размещено на Allbest.ru

...