Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

БАКАЛАВРА

по направлению подготовки 44.03.01. «Педагогическое образование»

профиль «Математика»

Дисциплина «Числовые системы»

Выполнил: студент

заочной формы обучения, 5 курса,

физико-математического факультета

Быковская Светлана Юрьевна

Воронеж 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

дробь цепной рациональный конечный

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

1.1 Представление рациональных чисел цепными дробями

1.2 Подходящие дроби. Их свойства

ГЛАВА II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

2.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь

2.2 Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

дробь цепной рациональный конечный



ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Математика -- одна из древнейших наук, и ее первые шаги связаны с первыми же шагами человеческого разума. Она возникла в трудовой деятельности людей. Развиваясь, математика все точнее и точнее решала те сложные задачи, которые ставила перед человеком сама жизнь. В трудное положение в 17 веке попала торговля, все производство, экономика стран. Для мореплавателей нужны были точные карты, для купцов быстрые и правильные расчеты без обмана, для строительства станков, кораблей, храмов и жилищ - выверенные до 1мм чертежи. Производство развивалось, а неумение быстро и с большей точностью производить расчеты буквально тормозило развитие науки и техники. Жизнь ставила перед учеными задачу упростить вычисления, увеличить их точность и скорость. Этим требованиям удовлетворяли десятичные дроби.

Целью исследования является изучение понятия «Периодические десятичные дроби»

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить литературу по теме исследования.

2. Рассмотреть правильные конечные и бесконечные цепные дроби.

3. Рассмотреть свойства подходящих дробей.

4. Увидеть равенство понятий периодической десятичной дроби с бесконечной цепной дробью.

5. Закрепить полученные знания, путем практического применения.



ГЛАВА I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

1.1 Представление рациональных чисел цепными дробями

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

,

где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

,

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что - целое число, а , …, - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

,

Согласно последнему обозначению имеем:

Числа , , …, называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было .

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при :

так что представление можно удлинить:

например, (2, 3, 1, 4, 2) = ( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному .

Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью , если .

Пусть с условием , . Тогда , так что . Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно и так далее. Если , то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , например , то получим , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

З а м е ч а н и я :

В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, .

При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример: , а так как , то .

Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5); .

1.2 Подходящие дроби. Их свойства

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача - обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

или

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Заметим, что ==. Считается, что подходящая дробь имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в , если в первой заменить выражением .

Имеем ,

,

, …,

при этом принимается, что , , , , , и так далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где , имеем:

(1), причем

(2)

(3)

Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму .

Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:

				…				…
				…				…
				…				…

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).

	2	2	1	3	1	1	4	3
	2	5	7	26	33	59	269	866
	1	2	3	11	14	25	114	367

Подходящие дроби () равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .

Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для =(2, 3, 1, 4, 2)

.

А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

Теорема 1. При k=1, 2, …, n выполняется равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о: Проведем индукцию по k:

При k=1 равенство справедливо, так как .

Пусть это равенство верно при некотором k=n ().

Докажем справедливость равенства при k=n+1.

,

то есть равенство верно при k=n+1.

Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k().

Теорема 2. Числитель и знаменатель любой подходящей дроби - взаимно простые числа, то есть всякая k-подходящая дробь несократима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем .

Пусть , то есть , тогда из равенства следует, что делится на без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть .

Теорема 3. При

()

()

Д о к а з а т е л ь с т в о: Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на .

Получаем , , что и требовалось доказать.

Докажем второе соотношение.

.

Теорема 4. Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=.

Д о к а з а т е л ь с т в о: , , так что и положительны.

Соотношение () (*) показывает, что и все следующие знаменатели , , …, положительны. При , поскольку тогда , из (*) получаем: , что и требовалось доказать.

Теорема 5. Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби - убывающую последовательность:

;

.

Две подходящие дроби и , у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.

Теорема 6. Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной дроби.

Д о к а з а т е л ь с т в о: По уже доказанному выше свойству имеем:

.

Если k - четное, то

Если k - нечетное, то

Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.

Теорема 7. Расстояние между двумя соседними подходящими дробями .

Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как , то , что и требовалось доказать.



ГЛАВА II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

2.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь.

(1)

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.

Для иррационального числа указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.

Выражение

(где , ) (2)

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (), а числа - ее элементами или неполными частными.

Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части - процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа .

Пусть . Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть -3, которая меньше 1, представим в виде , где .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для видно, что =3+. Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае - смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь записывается в виде , а смешанная периодическая в виде .

Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k-го шага, будем иметь:

,

так что

(4)

.

Числа называются остаточными числами порядка k разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа .

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей:

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

, причем ;

, откуда следует несократимость подходящих дробей ;

.

Сравним теперь подходящую дробь и кусок разложения до остаточного числа . Имеем :

… …

… …,

откуда видно, что вычисление по формально производится таким же образом, как вычисление по с тем лишь отличием, что в первом случае заменяется на , а во втором заменяется на . Поэтому на основании формулы , можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения:

. (5)

По этой причине мы пишем также , хотя не является здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения

Теорема. Действительное число всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Из формулы (5) следует:

.

Но , , так что

() и () имеют одинаковый знак, а это значит, что находится между и ;

, то есть ближе к , чем к .

Так как , то , и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка - убывающую (в случае иррационального указанные последовательности являются бесконечными), то есть (в случае рационального ).

--------------------------------------

Учитывая то, что при , , вследствие чего , переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального сегменты , , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , … . Но так как принадлежит всем сегментам последовательности, то и совпадает с указанной точкой, так что .

Итак, мы имеем следующий важный результат:

бесконечная последовательность подходящих дробей , которая возникает при разложении иррационального , сходится к , колеблясь около него. Или: иррациональное действительное равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

2.2. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби

Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида с целыми коэффициентами.

Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями.

Число называется квадратической иррациональностью, если - иррациональный корень некоторого уравнения (1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

При таком , очевидно, будет a0, c0. Коэффициенты a, b, c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом . Корни уравнения (1) равны и , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , где P, Q - целые, а D (D>1) - целое неквадратное число.

Второй корень уравнения (1) будем называть иррациональностью, сопряженной с .

В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений , x-=0.

Примеры:

- квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения .

- квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения . Здесь P=-1, Q=-3, D=5.

не является квадратической иррациональностью.

Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид , где P, Q, D, причем D>1. Если бы мы имели =, то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что - рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и , а это не так.

Теорема. Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть - смешанная периодическая цепная дробь, то есть , где - чисто периодическая цепная дробь.

Обозначим подходящие дроби к и соответственно через и .

Так как , то, согласно формуле (5) из 1.1 этой главы, . Выполнив необходимые преобразования, получаем: .

Из этой формулы видно, что удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того, - число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом, - квадратическая иррациональность. Но по той же формуле , поэтому и является, очевидно, квадратической иррациональностью.

Докажем обратную теорему, которая носит имя Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Всякая действительная квадратическая иррациональность изображается периодической непрерывной дробью.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть - действительный иррациональный корень квадратного уравнения (1) с целыми коэффициентами a, b, c.

При разложении в непрерывную дробь получаем (2), где - остаток порядка k+1.

Подставляя выражение из (2) в (1), получаем

(3), где

(4)

Отсюда, во-первых, видно, что (5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что (6).

Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант уравнения (1), откуда следует, что он от k не зависит.

Идея доказательства в дальнейшем заключается в том, чтобы показать, что при данном коэффициенты , , ограничены по модулю.

Если этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число различных значений. Вместе с тем и число возможных уравнений (3) было бы конечным, хотя k пробегает бесконечное множество значений. Но в таком случае и остатки (которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь - периодическая.

Итак, докажем, что , и ограничены по абсолютной величине. Достаточно сделать это для , так как в силу соотношения (5), из ограниченности уже как следствие вытекает ограниченность , а в силу (6) - ограниченность .

Как известно из свойств подходящих дробей, или , где , откуда .

Поэтому из первого равенства (4) имеем:

Так как , то ,

, то есть и , а это и доказывает ограниченность .

Этим и завершается доказательство теоремы Лагранжа.

Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических иррациональностей:

при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена;

чисто периодическая цепная дробь получается тогда и только тогда, когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э. Галуа в 1828 году, он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке).

Примеры:

Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую цепную дробь x и найти соответствующую иррациональность x=((2, 6, 1)).

Решение: x=(2, 6, 1, x).

Составляем схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.

	2	6	1	x
1	2	13	15	15x+13
0	1	6	7	7x+6

Итак, , откуда получаем: .

Положительное решение этого уравнения дает искомую периодическую дробь.

((2, 6, 1))= - квадратическая иррациональность. Заметим, что >1, а - иррациональность, сопряженная с x - лежит в интервале (-1; 0).

Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую цепную дробь x=(3, (2, 1)) и найти соответствующую иррациональность.

Решение x=(3, y), где y=(2, 1, y). Составляем схему для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей y:

	2	1	y
1	2	3	3y+2
0	1	1	y+1

Следовательно, , . Так как y>0, то мы должны взять положительный корень этого уравнения . Поэтому для x имеем . Таким образом, искомая дробь (3, (2, 1))=. Для соответствующего квадратного уравнения имеем , откуда получаем: .



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие дробей имеет очень длинную историю, такую длинную, что никто не скажет, когда и кто придумал делить целые числа - дробить их на более мелкие части. Прошло не одно тысячелетие. Понадобились усилия многих математических умов древности и современности, чтобы учение о дробях попало на страницы наших учебников.

В данной курсовой работе нам удалось раскрыть все цели, и решить поставленную задачу. Тема дробей сама по себе очень интересна и многогранна. Дробить ее на мелкие главы и изучать это более углубленно можно до бесконечности. Даже на примере этой фразы, можно увидеть бесконечную цепную дробь, а если материал об этом когда-нибудь закончиться, то и конечную не сложно представить.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутова, Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинова. - Москва : МЦНМО, 2018. - 336 c.

2. Арнольд, И.В. Теория чисел / И.В. Арнольд. - Москва : Ленанд, 2019. - 288 c.

3. Вейль, Г. Алгебраическая теория чисел / Г. Вейль. - Москва : УРСС, 2011. - 224 c.

4. Егоров, В.В. Теория чисел: Учебное пособие / В.В. Егоров. - Санкт-Петербург : Лань, 2015. - 384 c.

5. Золотарев, Е.И. Теория целых комплексных чисел с приложением к интегральному исчислению / Е.И. Золотарев. - Москва : Ленанд, 2016. - 216 c.

6. Иванец, Х. Аналитическая теория чисел / Х. Иванец. - Москва : МЦНМО, 2014. - 712 c.

7. Краснов, М.Л. Вся высшая математика: Дискретная математика (теория чисел, общая алгебра, комбинаторика, теория Пойа, теория графов, паросочетания, матроиды) / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - Москва : КомКнига, 2014. - 208 c.

8. Ожигова, Е.П. Что такое теория чисел / Е.П. Ожигова. - Москва : Едиториал УРСС, 2010. - 176 c.

9. Острик, В.В. Алгебраическая геометрия и теория чисел. Рациональные и эллиптические кривые / В.В. Острик. - Москва : МЦНМО, 2011. - 48 c.

10. Острик, В.В. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые / В.В. Острик, М.А. Цфасман. - Москва : МЦНМО, 2005. - 48 c.

11. Петров, Н.Н. Математические игры: Игры-шутки. Симметрия. Игры "Ним". Игра "Цзяньшицзы". Игры с многочленами. Игры и теория чисел. Анализ с конца. Выигрышные стратегии / Н.Н. Петров. - Москва : Ленанд, 2017. - 208 c.

12. Рыбников, К.А. История математики: Подисциплинарное изложение: Геометрия. Алгебра и теория чисел. Математический анализ. Теория вероятностей и математическая статистика. Дискретная математика / К.А. Рыбников. - Москва : Ленанд, 2018. - 536 c.

13. Серовайский, С.Я. История математики: Эволюция математических идей: Теория чисел. Геометрия. Топология / С.Я. Серовайский. - Москва : Ленанд, 2019. - 224 c.

14. Сушкевич, А.К. Теория чисел / А.К. Сушкевич. - Москва : Вузовская книга, 2016. - 240 c.

15. Сушкевич, А.К. Теория чисел. Элементарный курс / А.К. Сушкевич. - Москва : Вузовская книга, 2007. - 240 c.

Размещено на Allbest.ru

...