Опуклі функції та деякі нерівності

Размещено на http://www.allbest.ru//

КУРСОВА РОБОТА

Опуклі функції та деякі нерівності



Елементи математичного аналізу займає значне місце у студентському курсі математики. Студенти опановують математичним апаратом, який може бути ефективно використаний при вирішенні багатьох математики, фізики, техніки. Мова похідної та інтеграла дозволяє строго формулювати багато законів природи. У курсі математики за допомогою диференціального й інтегрального числень досліджують властивості функцій, будуються їхні графіки, вирішують завдання на найбільше і найменше значення, обчислюють площі та обсяги геометричних фігур. Іншими словами, введення нового математичного апарату дозволяє розглянути низку завдань, вирішення яких не можна елементарними методами. Проте можливості методів математичного аналізу такими завданнями не вичерпуються. Багато традиційних елементарних завдань ефективно вирішуються за допомогою понять похідної та інтеграла. Нестандартне використання елементів математичного аналізу дозволяє глибше засвоїти основні поняття досліджуваної теорії. Тут доводиться підбирати метод рішення задачі, перевіряти умови його застосовності, аналізувати отримані результати. По суті, часто проводиться невелике математичне дослідження, в процесі якого розвивається логічне мислення, математичні здібності, підвищується математична культура.

Для багатьох задач елементарної математики допускається як «елементарне», так і «неелементарне» рішення. Застосування похідної та інтеграла дає звичайно більш ефективне рішення.

Методи математичного аналізу використовуються не тільки для вирішення поставлених завдань, а й є джерелом отримання нових фактів елементарної математики.



1. ОПУКЛІ МНОЖИНИ

Кожен з нас має уявлення про опуклість плоских і просторових фігур. Так, із фігур, зображених на рис. 1, назвемо опуклими фігури 1 і 3, а не опуклими -- фігури 2 і 4. Проте, щоб застосовувати поняття опуклості в математичних міркуваннях, треба дати його чітке означення.

Рис.1

Перш ніж навести це означення, зробимо таке зауваження. У подальшому йтиметься переважно не про опуклі фігури (тіла), а про опуклі множини точок. Звичайно, кожну фігуру (тіло) можна розглядати як множину точок. Проте фігури, які вивчаються в елементарній геометрії, становлять порівняно вузький клас точкових множин (многокутники, многогранники, круглі тіла, кути на площині і в просторі тощо). Тому, наприклад, не кожен назве фігурою (тілом) множину всіх точок площини (тривимірного простору). Те саме можна сказати про множини точок площини, які на рис. 2 зображено заштрихованими областями, або про множину, що складається з кількох окремих точок.

Рис.2

Означення 1. Множина точок К називається опуклою, якщо вона разом з будь-якими своїми точками А і В містить усі точки відрізка, який сполучає точки А і В.

Опуклими множинами є, наприклад, трикутник, паралелограм, круг, еліпс (звичайно, разом із внутрішніми точками), смуга між двома паралельними прямими, довільний відрізок, промінь, пряма, півплощина, куля, паралелепіпед та ін. Множину, яка складається з однієї точки, вважають також опуклою за означенням (при цьому A = B).

Опуклими також є множини всіх точок площини, простору. Не опуклими є такі множини, як кільце, частина площини між двома прямими, що перетинаються, коло, куля з викинутим центром тощо. Скінченна множина різних точок площини або простору також не опукла.

Наводячи ці приклади, ми спиралися на поєднання наочних уявлень і наведеного означення. Якби треба було довести опуклість якої-небудь із цих множин, то слід було б вдатись до міркувань, характер яких проілюстровано на таких двох прикладах.

Приклад 1. Довести, що круг є опуклою множиною точок площини.

Доведення. Нехай К. -- розглядуваний круг із центром О і радіусом r (рис. 3). Сполучимо дві довільні точки А і В цього круга відрізком АВ. За умовою ОА ?r, ОВ ?r. Для доведення опуклості круга К треба показати, що будь-яка точка С відрізка АВ належить К, тобто що ОС ?r. Кути АСО і ВСО або обидва прямі, або один з них тупий. Нехай кут ВСО 290”. Тоді, за відомою теоремою (у трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона), ОС ?ОВ ?r, що й треба було довести.

Рис.3



Приклад 2. Довести опуклість півплощини.

Доведення. Нехай пряма l ділить площину на дві півплощини Р1 і Р2. (рис. 4).

Рис.4

Опуклість півплощини P1 означає, що для будь-яких точок А і В цієї півплощини всі точки відрізка АВ належать Р1. Проте цей очевидний факт зовсім не просто довести суто геометричними засобами, оскільки потрібна більш повна система аксіом, ніж та, що вивчається в шкільному курсі геометрії. Разом з тим, самий цей факт, звичайно, правильний. Як зазначено в шкільному підручнику з геометрії, якщо кінці якогось відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинається з прямою l; якщо ж кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинається з прямою l.

Звідси зрозуміло, що на відрізку АВ не може бути точок, які належать Р2. , оскільки тоді АВ перетинав би пряму l усупереч тому, що його кінці належать одній півплощиніР1 .

Зауваження. Тут йшлося про опуклість відкритої півплощини (тобто такої, що не містить точок прямої l). Проте опуклою є і замкнена півплощина, утворена приєднанням прямої l до Р1 чи P2. У подальшому півплощини вважатимемо замкненими.

Часто для дослідження опуклості множини точок доцільно застосовувати алгебраїчні засоби, а щоб перекласти задачу на алгебраїчну мову,-- використати метод координат. Для цього треба вміти виражати координати будь-якої точки відрізка через координати його кінцевих точок.

Лема. Нехай x1, x2 -- дійсні числа, причому x1 < х2. Число x задовольняє нерівність x1 ?х ? x2 тоді й тільки тоді, коли його можна подати у вигляді x =л1x1 + л2x2, де л1 , л2-- деякі невід'ємні числа такі, що л1 + л2 = 1.

Доведення. Запишемо очевидну тотожність

х=х1 + х2

і введемо позначення:= л1, = л2. При х1 ? х ? х2 матимемо: л1 ? 0, л2 ? 0 і л1 + л2 = 1. Отже, кожне числа х є [ х1; х2 ] можна подати у вигляді х = л1x1 + л2x2, де л1 ?0, л2 ?0, л1 + л2 = 1.

Навпаки, якщо х = л1x1 + л2x2 , л1 ? 0 , л2 ? 0 і л1 + л2 = 1 , то х1 ? х тоді й тільки тоді, коли х1 ? л1x1 + л2x2 , тобто(1- л1) x1? л2x2 або л2x1 ? л2x2 . Оскільки x1< x2 і л2?0, то остання нерівність справедлива. Аналогічно x? x2 , тоді й тільки тоді, коли л1x1 + л2x2 ? x2, тобто л1x1?(1- л2)х2 або л1x1? л1x2, а ця нерівність справджується. Таким чином, будь-яке число виду х = л1x1 + л2x2 задовольняє подвійну нерівність х1 ? х ? х2 , що й треба було довести.

Зауважимо, що подання х у вигляді х= л1x1 + л2x2 рівносильне тому, що точка х ділить відрізок [ х1; х2 ] у відношенні , тобто , = тоді й тільки тоді, коли х= л1x1 + л2x2 , де л1 ? 0, л2 ? 0 і л1 + л2 = 1.

За допомогою цієї леми можна виразити координати точок відрізка через координати його кінців у одновимірному випадку. Розглянемо двовимірний випадок.

Нехай A(х 1; y1), В(x1 ; y2) -- будь-які різні точки координатної площини. Візьмемо на відрізку АВ деяку точку C(x ; y). Вона ділить відрізок АВ у певному відношенні. Легко показати, що в тому самому відношенні проекції точки С ділять проекції відрізка АВ за ортогонального проектування на довільну вісь. Отже, х ділить відрізок з кінцями x1 , x2, у тому самому відношенні, в якому y ділить відрізок з кінцями y1 , y2. Таким чином, будь-яка точка відрізка АВ має координати: x = л1x1 + л2x2 , y = л1y1 + л2y2 , де л1 ? 0, л2 ? 0 і л1 + л2 = 1; і навпаки, точка з такими координатами належить відрізку АВ.

Аналогічний результат матимемо і в тривимірному випадку, тобто під час розгляду точок і відрізків у просторі. Більш того, цей результат можна безпосередньо узагальнити на випадок n-вимірних просторів, де n > 3. Такі абстрактні простори широко використовуються під час побудови математичних моделей явищ і процесів у механіці, фізиці, економіці, біології і, звичайно, в самій математиці.

Тепер означенню опуклої множини можна надати, так би мовити, алгебраїчної форми. Зробимо це для точкових множин на площині, тобто для двовимірного випадку.

Означення 2. Множина К точок площини називається опуклою, якщо вона разом з будь-якими точками A(x1 ; y1) i B(x2 ; y2) містить усі точки С(л1x1 + л2x2; л1y1 + л2y2), де л1 ? 0, л2 ? 0 і л1 + л2 = 1.

Згідно з означенням 1, опуклість точкової множини є її внутрішньою властивістю, вона не залежить від вибору системи координат. Означення 2 також не залежить від вибору координатної системи на площині (хоч у ньому фігурують координати деяких точок). Справді, за переходу до іншої координатної системи координати точок множини К, звичайно, зміняться, але властивість опуклості, як і раніше, визначатиметься тим, що разом з довільними двома точками А(; ), В( ; ) вона міститиме всі точки C(л1+ л2; л1 + л2 ), де л1 ? 0, л2 ? 0 і л1 + л2 = 1. Це випливає з наведених вище виразів для координат довільної точки відрізка через координати його кінців.

Аналогічне означення опуклої множини можна сформулювати й для тривимірного і взагалі n-вимірного простору. Можливість розглядати опуклі множини в абстрактних багатовимірних просторах, де наочні геометричні уявлення безпосередньо незастосовні, є однією з важливих переваг алгебраїчної форми означення. Ми обмежимося розглядом одно- і двовимірних опуклих множин.

Приклад 1. Довести опуклість півплощини.

Доведення. Нехай пряма l ділить площину на дві півплощини Р1 і Р2. Виберемо систему координат так, щоб пряма I збігалася з віссю абсцис, а розглядувана півплощина, наприклад Р1, була верхньою, тобто містила точки з невід'ємними ординатами. Нехай A(x1 ; y1) i B(x2 ; y2)

-- будь-які точки з Р1. Тоді y1 ? 0, y2 ? 0. Доведемо, що С(л1x1 + л2x2; л1y1 + л2y2)є Р1, тобто що л1y1 + л2y2 ? 0. Це очевидно, оскільки л1 ? 0, л2 ? 0 і y1 ? 0, y2 ? 0.

Опуклі множини мають чимало цікавих і важливих властивостей. Розглянемо одну з них.

Теорема 1. Перетин довільного числа опуклих множин є опуклою множиною.

Доведення. Якщо взяти будь-які точки А, В, які належать перерізу множин, то вони належать і кожній з цих множин (адже переріз -- це сукупність точок, кожна з яких належить усім заданим множинам). Оскільки задані множини опуклі, то відрізок АВ належить кожній з них, а тому й їх перерізу. Отже, переріз опуклих множин (незалежно від їх числа) задовольняє означення 1 опуклої множини.

Нескладно показати, що багато плоских фігур можна розглядати як перетин кількох півплощин. Так, трикутник АВС (рис. 5) є перетином трьох півплощин, утворених прямими АВ, АС, ВС. Оскільки кожна з півплощин - опукла множина, той трикутник - опукла множина.

Рис.5

Аналогічними будуть міркування і для паралелограма, для довільного правильного многокутника тощо. Фактично будь-який опуклий плоский многокутник (плоский многокутник, який лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, яка містить його сторону) можна розглядати як перетин скінченного числа півплощин, тому він є опуклою множиною.

2. ОПУКЛІ ФУНКЦІЇ

a) Загальне означення

Введемо поняття опуклої функції, спираючись на поняття опуклої множини. При цьому розглядатимемо тільки функції однієї змінної, кожна з яких задана на деякому проміжку (a ; b). Таку функцію вважатимемо опуклою, якщо множина всіх точок площини, які лежать над її графіком або на самому графіку, опукла. З метою конкретизації цього поняття введемо такі означення.

Означення 1. Надграфіком функції f, заданої на проміжку (б;b), називається множина Г, усіх точок М(x;y) площини, координати яких задовольняють умови: x є (а, b), у ? f(x).

Означення 2. Функція f, задана на проміжку (a; b), називається опуклою на цьому проміжку, якщо її надграфік Г, є опукла множина.

Приклад 1. Будь-яка лінійна функція y = mx + n, задана на всій числовій осі (-?; ?), -- опукла. Справді, надграфіком цієї функції є півплощина, тобто опукла множина. Зауважимо, що лінійна функція y = mx + n, задана на сегменті [a;b], також опукла, бо її надграфік Г; є перетином двох опуклих множин: півплощини Р і смуги П (рис. 6).

рис.6 рис.7

Приклад 2. Функція y =l х l, задана на всій oсі (-?;?), опукла, бо її надграфіком є прямий кут зі сторонами l1 i l2 (рис. 7).

Нехай надграфіком функції y = f(x) є опукла множина (рис. 8).

рис.8

Проведемо відрізок, що сполучає довільні точки графіка A(x1 ; f(х1)) тa В(x2 ; f(x2)). Будь-яка точка С(xс; ус) цього відрізка належить надграфіку (внаслідок його опуклості), а тому лежить не нижче за відповідну точку D(xd,yd) графіка, тобто хc = xd, уc = уd. Згідно з лемою, маємо:

xc = xd = л1x1 + л2x2, yc= л1f(x1) + л2f(x2), де л1, л2 ? 0, л1 + л2 = 1.

Отже, для опуклої на проміжку (a;b) функції f справджується нерівність

f(л1x1 + л2x2) ? л1f(x1) + л2f(x2), (2.1)

де л1, л2 ? 0, л1 + л2 = 1, х1,х2 - довільні точки з (a,b). (2.2)

Виявляється, що й навпаки: якщо виконуються умови (2.1), (2.2), то надграфік функції f на відповідному проміжку є опуклою множиною. Справді, нехай точки А(x1 ;у1), В(x2 ; y2) належать надграфіку Г, функції, заданої на (a;b), і виконуються умови (2.1), (2.2). Тоді y1 ? f(x1) і y2 ? f(x2). Візьмемо на відрізку АВ довільну точку С(л1x1 + л2x2; л1y1 + л2y2), л1, л2 ? 0, л1 + л2 = 1. Враховуючи умови (2.1), (2.2), дістанемо:



yc = ; л1y1 + л2y2 ? л1f(x1) + л2f(x2) ? f(л1x1 + л2x2) = f(xc).

Це означає, що точка С належить надграфіку Г . Таким чином, означенню опуклої функції можна надати такої «алгебраїчної» форми:

Означення 3. Функція f, задана на проміжку (a;b), називається опуклою на цьому проміжку, якщо для будь-яких чисел х1, х2 з (a,b) і довільних невід'ємних чисел л1,л2 таких, що л1 + л2 = 1, справджується нерівність (2.1).

Приклад 3. Функція у = x2, задана на проміжку (-?;?), опукла на цьому проміжку. Справді, f(л1x1 + л2x2) ? л1f(x1) + л2f(x2) тоді й тільки тоді, коли (л1x1 + л2x2)2 ? л1 + л2, тобто коли

2 л1 л2 x1 x2 ? (л1 - ) + (л2 - = л1 л2()

Якщо л1 л2 = 0, то остання нерівність, очевидно, справедлива. Якщо л1 л2 > 0, то, поділивши обидві частини цієї нерівності на л1 л2, дістанемо справедливу нерівність 2 x1x2 ? .

Доведення опуклості більш складних функцій за допомогою нерівності (2.1), взагалі кажучи, непросте. Доведемо, наприклад, опуклість функції y = 2х на (-?;?).

Зрозуміло, що функція f, опукла на проміжку (a;b), опукла також на будь-якому проміжку, що міститься в (a;b), і навпаки, іноді з опуклості функції на проміжках, що містяться в (a;b), можна зробити висновок про її опуклість нa (a;b). Так, якщо [an ; bn], n= 1, 2, ..., є послідовність числових сегментів, причому [аn; bn] (a;b) для довільного n і аn > a, bn > b для n > ?, то з опуклості f на кожному із сегментів [an ; bn] випливає опуклість цієї функції на інтервалі (а ; b). Справді, які б не були числа x', x" є(a, b), x' < х", знайдеться таке n, що a < аn < < х" < bn < b.

Таке n можна знайти, виходячи з поняття границі послідовності. Покажемо це для випадку скінченного проміжку (a; b). Hexaй е1 = x' - a > 0, е2 = b - х" > 0. Оскільки an > a, то знайдеться таке n1, що аn - a < е1, при n > n1, тобто аn - a < x' - а, звідки аn < x'. Аналогічно знайдеться таке n2, що х" <bn, при n > n2. Залишається вибрати довільне n, яке більше за n1 I n2.

Таким чином, x', x" є[аn ;bn ], і внаслідок опуклості f на [аn ; bn ]

f(л1 x' + л2 x" ) ? л1f(x') + л2f(x") при довільних додатних л1, л2 , для яких л1 + л2 = 1. Оскільки точки ч', ч" є (a; b) довільні, то робимо висновок, що f опукла на (a; b).

З наведених міркувань випливає, зокрема, що опуклість f на довільному сегменті [1; n] (n -- натуральне число) зумовлює опуклість f на проміжку [1; ?).

Означення опуклої функції було введено на основі опуклості її надграфіка. При цьому може виникнути питання: а чому б не розглянути й підграфік функції? Виявляється, що такий шлях також приводить до важливого і корисного поняття, а саме до поняття угнутої функції.

Означення 4. Підграфіком функції f, заданої на проміжку (а;b), називається множина Г усіх точок М(x;y) площини, координати яких задовольняють умови х є (а; b), у ? f(x).

Означення 5. Функція f, задана на проміжку (а; b),називається угнутою на цьому проміжку, якщо її підграфік Г є опукла множина.

Прикладом угнутої функції може бути функція f(x) = на сегменті [-1; 1]. Очевидно, що будь-яка лінійна функція угнута (тобто лінійна функція одночасно опукла й угнута).

Означення 6. Функція f, задана на проміжку (а; b), називається угнутою на цьому проміжку, якщо для будь-яких чисел x1, x2 є (а; b) і довільних невід'ємних чисел л1, л2 для яких л1 + л2 = 1, справджується нерівність

f(л1x1 + л2x2) ? л1f(x1) + л2f(x2) (2.3)

Міркуючи, як і в разі опуклої функції, легко показати, що означення 5 і 6 рівносильні.

Природно, що між опуклими й угнутими функціями існує тісний взаємозв'язок. Якщо f опукла (угнута) на проміжку (а; b), то функція g = -f -- угнута (опукла) на цьому проміжку. Це випливає із зіставлення геометричних означень 2 і 5 (з урахуванням того, що графіки функцій f і -f -- симетричні відносно осі абсцис), а також із зіставлення «алгебраїчних» означень 3 і 6, оскільки

f(л1x1 + л2x2) ? л1f(x1) + л2f(x2) -f(л1x1 + л2x2) ? л1(-f(x1)) + л2(-f(x2)).

Тому можна обмежитися вивченням тільки опуклих (тільки угнутих) функцій; доведення угнутості якоїсь функції f можна замінити доведенням опуклості функції -f, а будь-яка властивість, встановлена для опуклих функцій, може бути сформульована й для угнутих функцій. Зауважимо, що графік опуклої функції іноді називають «опуклим донизу» а графік угнутої функції -- «опуклим догори».

Надалі розглядатимемо в основному опуклі функції. Разом з тим, деякі твердження або приклади формулюватимемо «мовою» угнутих функцій, якщо таке формулювання більш природне.

Нерівності (2.1) і (2.3) перетворюються в рівності при x1 = x2, а також при л1 л2 = 0. Ці рівності можуть перетворитися в тотожність (вона справджується для будь-яких чисел x1, x2, є (а,b) і довільних невід'ємних л1, л2 таких, що л1 + л2= 1) тоді й тільки тоді, коли f є лінійною функцією на (а; b). Справді, така тотожність означає, що кожна точка будь-якої хорди графіка функції збігається з відповідною точкою самого графіка, тобто графік прямолінійний. Якщо розглядувана тотожність справджується для x1, x2, не з усього проміжку (a, b), а з деякого проміжку (a1; b1) є (a; b), то графік функції f має прямолінійну частину (для значень аргументу з проміжку (a1; b1). З наведених міркувань випливає також, що єдиною функцією, яка одночасно опукла й угнута на проміжку (a; b), є лінійна функція.

У деяких випадках у класі опуклих функцій доцільно виділяти так звані строго опуклі функції. Функція f, задана на проміжку (а; b), називається строго опуклою на цьому проміжку, якщо для

будь-яких різних точок x1, x2 є(a; b) і довільних л1, л2 є(0;1) таких, що л1 + л2 = 1, справджується строга нерівність.

f(л1x1 + л2x2) < л1f(x1) + л2f(x2) (2.4)

Аналогічно можна означити строго угнуту функцію. Для строго опуклої (строго угнутої) функції будь-яка хорда її графіка (крім кінцевих точок)лежить над (під) відповідною дугою графіка. З геометричних міркувань зрозуміло, що опукла (угнута) функція є строго опуклою (строго угнутою), якщо її графік не містить жодного прямолінійного відрізка. Так, з наведених вище прикладів опуклих функцій на (-?;?) функція y = x2 строго опукла, а функція y= |x| -- ні.

b) Опуклість неперервних функцій

Виявляється, що для важливого і досить широкого класу функцій властивість опуклості можна означити простіше, ніж за допомогою умов (2.1), (2.2). Тим самим істотно спрощується й перевірка існування властивості опуклості (угнутості) для конкретних функцій із цього класу.

Йдеться про так звані неперервні функції. Образно кажучи, неперервна функція характеризується тим, що її графік можна накреслити, не відриваючи олівця від паперу; такий графік називають неперервною кривою.

Існує ряд рівносильних між собою означень неперервної функції. При цьому вихідним є означення неперервності функції в певній точці, а неперервність функції на проміжку (а; b) означає нeперервність її в кожній точці цього проміжку.

З різних можливих означень неперервності функції в точці наведемо таке означення.

Означення. Функція f, задана на проміжку (а; b), називається неперервною в точці хо є (а; b), якщо в точці xo існує

границя функції f і ця границя дорівнює значенню функції в цій точці:

(3.1)

Із цього означення, зокрема, випливає таке твердження. Якщо функція f задана і неперервна на проміжку (a; b), хо -- довільна точка цього проміжку, a xn -- послідовність чисел з (a; b), яка збігається до хо, то

(3.2)

Співвідношення (3.2) безпосередньо випливає з (3.1) і з того, що за умовою

Майже всі функції, які розглядаються в шкільному курсі, є неперервними на відповідних проміжках. Так, цілі раціональні функції (многочлени), показникова функція y =ах, тригонометричні функції y = , y = неперервні на всій числовій осі (-?; ?). Ірраціональні функції виду у = , логарифмічна функція у = , обернені тригонометричні функції неперервні на проміжках, які є областями існування цих функцій (наприклад, у = при непарному m неперервна на всій осі, при парному m -- на проміжку [0; ?), y = lg х неперервна на проміжку (0; ?). Дробово-раціональні та тригонометричні функції

y= tg х = , y = ctg х =

неперервні на довільних проміжках, які не містять коренів знаменника (наприклад, функція ctg х неперервна на будь-якому проміжку, що не містить чисел виду xk = k, де k -- ціле).

Результат арифметичних операцій над неперервними функціями (крім ділення на функцію, яка набуває нульового значення в деяких точках розглядуваного проміжку, а також утворення складеної функції f(x)), якщо (x) неперервна на даному проміжку, а f(u) -- на відповідному проміжку значень u = ц(x), знову є неперервна функція (це стосується, наприклад, функцій у = x2 + ; y = нa пpoміжку (-?; ?)).

Отже, тому в подальшому обмежимося розглядом тільки неперервних функцій.

У чому ж полягає спрощення означення опуклої функції в тому випадку, коли ця функція неперервна на розглядуваному проміжку? Відповідь на це запитання дає таке твердження.

Теорема 3.1. Для того щоб неперервна на проміжку (а; b) функція була опуклою на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких чисел x1 , х2 є(a; b) справджувалася нерівність

(3.3)

Отже, якщо у випадку довільної функції f, заданої на проміжку (a; b), для встановлення її опуклості треба перевіряти справедливість нерівності (2.1) при всіх можливих x1, x2 є(a, b) і будь-яких л1, л2 таких, що л1, л2 ? 0 , л1 + л2 =1, то в разі неперервної на (a, b) функції досить перевірити тільки справедливість нерівності (3.3) при всіх x1, x2 є (a; b). Легко побачити, що нерівність (3.3) є окремим випадком нерівності (2.1), який дістаємо в нерівності (2.1) при л1 = л2 =

З погляду геометрії нерівності (2.1) і (3.3) різняться тим, що згідно з нерівністю (2.1) будь-яка точка хорди з кінцями A( х1 ; f(x1)), B(x2 ; f(х2 )) лежить не нижче відповідної точки, тобто точки з тією самою абсцисою, графіка функції, що ж до нерівності (3.3) -- то це та сама умова (2.1), але тільки для єдиної пари відповідних точок хорди і графіка, а саме -- для точок з абсцисою (тобто для середини хорди АВ і відповідної точки графіка). Зрозуміло, що перевірка умови тільки для однієї (середньої) точки відрізка[х1; х2] (при довільних фіксованих x1, x2 є (а; b) набагато простіша, ніж для всіх точок цього відрізка.

Проілюструємо це на прикладі функції y = 2х. Ця функція неперервна на всій числовій осі. Внаслідок теореми 3.1, для встановлення опуклості функції на (-?;?) досить перевірити, що для будь-яких чисел x1, x2

Ця нерівність справедлива, оскільки записавши її у вигляді, дістанемо, що ліва частина - це середнє геометричне, а права -- середнє арифметичне додатних чисел . Як бачимо, завдяки наведеній властивості неперервних функцій довести опуклість функції y = 2х зовсім просто.

Доведення теореми 3.1. Оскільки для опуклої функції нерівність (3.3) справджується (вона є окремим випадком нерівності (2.1)), то досить довести достатність умови (3.3) для опуклості неперервної функції. Інакше кажучи, треба з нерівності (3.3) для неперервної функції f на (a, b) вивести нерівність (2.1).

Спочатку покажемо, що для довільних x1, x2 є (а; b) і будь-яких раціональних чисел r1, r2 з (3.3) випливає нерівність

(3.4)

де r1 , r2 ? 0 і r1 + r2 = 1. Потім доведемо, що з нерівності (3.4) для неперервної функції випливає нерівність (2.1), де л1, л2 -- будь-які дійсні числа такі, що л1, л2 ? 0 і л1 + л2 = 1. При цьому слід зазначити, що властивість неперервності функції f використовується тільки на другому етапі доведення, а нерівність (3.4) випливає з (3.3) для будь-якої функції f.

І етап. Покажемо, що коли f задовольняє нерівність (3.3) при будь-яких x1, x2 є (a; b), то вона задовольняє й нерівність

(3.5)

для довільного натурального n і будь-яких чисел x1, x2,..., xn є (a; b).

При n = 2 нерівність (3.5) перетворюється в (3.3).

Нехай тепер n = 4. Застосовуючи нерівність (3.3) двічі, маємо, що для довільних x1, x2, x3, x4 xn (a, b)

Використовуючи тепер метод математичної індукції, легко показати, що нерівність (3,5) справджується для довільного n, яке є степенем числа 2, тобто n =2m, де m -- натуральне число. Справді,

f ? f ?

Нехай нерівність (3.5) справджується при n = 2m. Тоді вона справджується і при n =2m+1, бо

f ? =

Отже, нерівність (3.5) справджується для будь-яких великих чисел n виду n = . Щоб довести справедливість цієї нерівності для будь-яких натуральних n, можна застосовувати цікавий варіант методу математичної індукції -- «спуск» від n до n-1. Так, покажемо, що коли нерівність (3.5) справджується при деякому n ? 2, то вона справджується й при n-1. Якщо це твердження виконуватиметься, то тоді з нерівності (3.5), яка справедлива для чисел виду n = , випливатиме справедливість цієї нерівності для будь-яких натуральних n.

Отже, нехай n -- натуральне число, для якого справджується нерівність (3.5) при будь-яких x1, x2,..., xn (a; b). Застосуємо цю нерівність до чисел x1, x2,..., xn+1,y де x1, x2,..., xn+1 - будь-які числа з (a; b), а у - їхнє середнє арифметичне, у =

У цьому випадку у належить проміжку (a; b), оскільки середнє арифметичне не більше за найбільше і не менше за найменше з даних чисел. Тому

f(y) = f

Виконавши прості арифметичні операції, дістанемо:

aбо

oо й треба було довести. Отже, нерівність (3.5) доведено. Тепер легко довести нерівність (3.4) для будь-яких раціональних чисел і , причому i 0, + = 1. Нехай = , де p -- натуральне

число або 0, q -- натуральне число. Тоді = i

ІІ етап. Використаємо той факт, що будь-яке дійсне число л можна розглядати як границю деякої послідовності раціональних чисел , наприклад послідовності десяткових наближень числа л з недостачею чи з надлишком.

Нехай -- довільні числа з (a; b), л1-- будь-яке число з [0; 1], а л2 =1-л1. Візьмемо послідовність раціональних чисел, збіжну до л1 (при цьому завжди можна вважати, що (a; b), згідно з нерівністю (3.4) для довільного n

(3.7)

Перейдемо тут до границі при спираючись на відому властивість границь числових послідовностей, за якою ця нерівність зберігається і для границь послідовностей, які утворюють праву і ліву частини нерівності (3.7).

Дістанемо:

При маємо:

Тому, використовуючи неперервність функції f у точці (а, b), дістанемо:

що й треба було довести.

Зауваження. 1. Існують значно коротші доведення теореми 3.1, проте вони спираються на більш глибокі властивості неперервних функцій, які в елементарному курсі математики не вивчаються.

2. Немає потреби доводити нерівність (3.4) для всіх раціональних чисел . Як видно з етапу ІІ доведення, важливо тільки, щоб нерівність (3.4) було доведено для такого класу раціональних чисел, де будь-яке дійсне є границею послідовності чисел із цього класу (такий клас чисел називають щільним у [0; 1]). За такий клас можна взяти двійкові дроби виду (р -- натуральне число, яке не

перевищує ). Тоді досить обмежитися доведенням нерівності (3.5) для чисел виду n = : Отже, друга частина доведення етапу 1 не обов'язкова. Проте вона дає змогу ознайомити читачів із цікавим варіантом методу математичної індукції, який застосовується в багатьох задачах.

c) Опуклість диференційованих функцій

Розглянемо тепер ще вужчий клас опуклих функцій, а саме диференційованих (або навіть двічі диференційованих) функцій на відповідних проміжках.

Нагадаємо, що функція однієї змінної х називається диференційованою в точці , якщо вона задана в деякому околі точки і в цій точці існує похідна функції f, тобто існує

(5.1)

Функція f(x) двічі диференційована в точці , якщо її похідна існує в усіх точках x деякого околу точки і диференційована (як функція змінної x) в точці , тобто якщо в точці існує друга похідна функції

Функція диференційована (двічі диференційована) на проміжку (а; b), якщо вона диференційована (двічі диференційована) в кожній точці цього проміжку. При цьому в кінцевій точці проміжку (якщо вона належить цьому проміжку) потрібна одностороння диференційованість, тобто існування границі (5.1) за умови, що

Клас диференційованих функцій вужчий за клас неперервних функцій, бо кожна функція, диференційована на проміжку, є неперервною на цьому проміжку, але обернене твердження, взагалі кажучи, не справджується. Наприклад, неперервна на всій осі, але не диференційована на будь-якому проміжку, який містить точку x = 0, бо в цій точці вона не має похідної (не існує границі (5.1)). З геометричної точки зору диференційованість функції f у точці рівносильна існуванню у відповідній точці графіка дотичної до цього графіка. Рівняння цієї дотичної має вигляд

(5.2)

Графік функції y = |x| у точці x=0 має так звану кутову точку, в якій дотична (граничне положення січної) не існує.

Диференційовані функції досліджують на опуклість чи угнутість за допомогою похідних, що в багатьох випадках спрощує розв'язування задач і доведення тверджень.

Теорема 5.1. Для того щоб диференційована на проміжку (a; b) функція f була опукла на цьому проміжку, необхідно й достатньо, щоб справджувалася нерівність

(5.3)

Доведення. Необхідність. Нехай нерівність (5.3) справджується. Покажемо, що тоді функція f опукла. Виберемо довільні (a; b) і покладемо с = . Згідно з нерівністю (5.3),

Додавши почленно ці нерівності, дістанемо:

Оскільки . Отже, для довільних з (a; b) справджується нерівність

Відповідно до теореми 3.1 це означає, що f опукла на (а; b) (вона неперервна, бо диференційована на цьому проміжку).

Достатність. Нехай f опукла на (a; b), -- довільні точки з (a; b). Тоді для довільного маємо

aбо

Звідки

Уведемо позначення. Тоді

Оскільки за умовою f диференційована в точці x1 , то існує границя лівої частини цієї нерівності при (тобто по суті при ), яка дорівнює похідній у точці x1.

Здійснюючи цей граничний перехід і враховуючи допустимість граничного переходу в нерівностях, дістаємо:

що рівносильне нерівності (5.3).

Теорему доведено.

Таким чином, умова (5.3) є характеристичною ознакою опуклості для диференційованої функції, і тому її можна взяти за означення опуклості. Доцільно, однак, надати цьому означенню геометричної форми.

Геометричний зміст теореми 5.1 полягає в тому, що графік опуклої (диференційованої) функції лежить не нижче дотичної, проведеної до цього графіка в будь-якій точці, і, навпаки, диференційована функція, графік якої має задану властивість, є опуклою.

Справді, проведемо в будь-якій точці графіка функції f дотичну l (рис. 9).

Рис.9

Її рівняння, згідно з (5.2), має вигляд

Тому в будь-якій точці x2 розглядуваного проміжку тобто

Остання нерівність за теоремою 5.1 рівносильна опуклості функції f.

Враховуючи геометричний зміст нерівності (5.3), нескладно побачити, що ця нерівність перетворюється в рівність для довільних (б; b) тільки тоді, коли f є лінійна функція.

Отже, означення опуклості диференційованої функції набуває такого вигляду.

Означення 1. Функція f, визначена і диференційована на проміжку (а; b), називається опуклою на цьому проміжку, якщо її графік лежить не нижче дотичної до графіка, проведеної в довільній його точці.

Для угнутої функції справджується нерівність, обернена до нерівності (5.3), а означення угнутості диференційованої функції формулюється аналогічно.

Зауваження. Означення опуклості, аналогічне означенню 1, можна сформулювати не тільки для диференційованої, а й для будь-якої (неперервної) функції. Звичайно, при цьому вже не можна говорити про дотичну, проведену до графіка в довільній його точці. Проте виявляється, що для опуклості істотною є не та властивість прямої l, що вона дотична до графіка в даній точці, а та, що вона є, як кажуть, опорною для нього в цій точці. Це означає, що пряма і проходить через дану точку графіка і лежить не вище від нього на розглядуваному проміжку (отже, весь графік лежить по один бік від опорної прямої).

Якщо функція f диференційована і опукла, то, згідно з доведенням теореми 5.1, через кожну точку її графіка можна провести опорну пряму, яка збігається з прямою, дотичною до графіка в цій точці. І навпаки, якщо дотична в кожній точці графіка диференційованої функції має властивості опорної прямої, то ця функція опукла.

Легко довести, що через кожну точку графіка диференційованої функції можна провести тільки одну опорну пряму, а саме -- дотичну. А як бути в тому випадку, коли розглядувана функція не диференційована на даному проміжку, тобто коли її графік містить точки, в яких дотична не існує?

Якщо в кожній точці графіка можна провести хоч одну опорну пряму (в тих точках, де функція не диференційована, опорна пряма вже не може бути дотичною!), то функція, як і раніше, опукла. Щоб пояснити це, розглянемо рис. 12, але тепер пряму l вважатимемо не дотичною, а опорною прямою. Якщо -- будь-які точки з (a; b), а , то внаслідок властивостей опорної прямої, проведеної через точку , точки і , а тому й точка D (середина хорди), лежать не нижче відповідних точок графіка, тобто

Оскільки точки довільні і функція f неперервна, то можна твердити, що f oпукла на (a; b).

Справедливе й обернене твердження. Якщо неперервна функція f опукла на (a, b), то в кожній точці її графіка можна провести хоча б одну опорну пряму.

Отже, для будь-якої неперервної функції f дістаємо ще одне означення опуклості, рівносильне означенням 2 і 3.

Означення 2. Функція f, задана і неперервна на проміжку (а; b), називається опуклою на цьому проміжку, якщо через кожну точку її графіка можна провести хоча б одну пряму, яка лежить не вище графіка (опорну пряму).

Аналогічне означення можна сформулювати й для угнутої функції. При цьому пряма, яка проходить через дану точку графіка і лежить не нижче від нього, також називається опорною.

Насправді термін «опорна пряма» застосовується звичайно не для графіків функцій, а до плоских фігур (множин). Так називають пряму, яка проходить через точку межі (контур) розглядуваної фігури так, що ця фігура лежить по один бік від неї (тобто в одній з двох пiвплощин, утворених опорною прямою). Для широкого класу точкових множин на площині справедливе означення опуклості, рівносильне означенню 1.

Означення 3. Множина К точок площини називається опуклою, якщо через кожну точку її контуру можна провести хоча б одну опорну пряму.

Для многокутників точками контуру є вершини і внутрішні точки сторін. Для опуклого многокутника опорними прямими, що проходять через внутрішні точки сторін, є прямі, які містять ці сторони, а через вершини, які є фактично кутовими точками, можна провести безліч опорних прямих (рис. 10, a).

Рис.10

Якщо многокутник не опуклий, то завжди знайдуться такі точки контуру, через які не можна провести жодної опорної прямої, наприклад точка В (рис. 10, б). Саме ця відмінність між опуклими й не опуклими многокутниками покладена в основу шкільного означення.

Для круга опорними прямими в точках кола, що утворює контур круга, є дотичні (це відповідає ситуації, яку ми мали для диференційованих функцій).

Продовжимо розгляд умов опуклості диференційованих функцій. На практиці часто під час дослідження опуклості функцій користуються такою теоремою.

Теорема 5.2. Для того щоб диференційована на проміжку (a; b) функція f була опуклою на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна була не спадною функцією на (a; b).

Зауважимо, що тут йдеться про так звані замкнуті і зв'язні множини. Всі фігури, які визначаються в планіметрії, включаючи й необмежені (промені, кути та ін.), належать до цього класу, якщо тільки контур фігури вважати належним цій фігурі.

Доведення. Необхідність. Нехай диференційована функція f опукла на (а; b), a -- будь-які точки цього проміжку, причому

Згідно з теоремою 5.1, маємо:

Враховуючи, що , дістаємо:

Отже, при для довільних (а, b), тобто не спадна функція на (a; b).

Дjстатність. Нехай функція f диференційована і неспадна функція на (a; b) . Розглянемо допоміжну функцію

де c -- будь-яка точка з (a; b). Очевидно, що Оскільки неспадна функція на (a; b) , то такою ж є й функція .

Маємо = 0. Тому на проміжку [c, b) справджується нерівність, тобто неспадна на цьому проміжку. Крім того, на проміжку (a; c] справджується нерівність

тобто не зростаюча на цьому проміжку.

Зіставляючи ці факти, дістаємо, що для всіх x (a; b) справджується нерівність , що рівносильно

або

Оскільки остання нерівність справджується для довільних x і с з (а; b), то з теореми 5.1 випливає опуклість f на (а; b).

Теорему доведено.

Зауваження. У цьому доведенні було використано мінімальні відомості з аналізу (умови монотонності диференційованої функції на проміжку). Якщо застосувати теорему Лагранжа з диференціального числення (теорему про середнє), то доведення достатності умови можна скоротити.

Нехай -- довільні точки з (a; b), , а c -- будь-яка точка сегмента . За теоремою Лагранжа,

Як бачимо, , а тому за умовою теореми

або

(5.5)

Уведемо позначення

Тоді Отже, другу з нерівностей (5.5) можна записати у вигляді

Таким чином, функція f опукла на проміжку (a; b). Тут використано те, що c -- довільна точка з [x1,x2 ], а тому -- довільні невід'ємні числа, причому = 1.

Припустимо, що функція f двічі диференційована на проміжку (а; b) . З теореми 5.2 безпосередньо випливає така ознака опуклості.

Теорема 5.3. Для того щоб функція f, задана і двічі диференційована на проміжку (a; b), була опукла на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого x (б; b) справджувалася нерівність

(5.6)

Доведення. Досить скористатися відомим з елементів аналізу фактом: для того щоб диференційована на проміжку функція була не спадною на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна була невід'ємна в кожній точці проміжку.

Досить довести, що ця умова справджується тільки в усіх внутрішніх точках проміжку. Відповідно до цього в умові теореми 5.3 можна було б вимагати існування другої похідної та виконання нерівності 5.6 лише в інтервалі (a;b).

Застосовуючи наведену ознаку монотонності до функції і враховуючи твердження теореми 5.2, дійдемо висновку, що для опуклості f на (б; b) необхідно і достатньо, щоб на цьому проміжку справджувалася нерівність (5.6).

3. ОПУКЛІСТЬ ЯК ДЖЕРЕЛО НЕРІВНОСТЕЙ

Розглянемо низку прикладів.

1. Функція y = угнута. Дотична до графіка цієї функції в точці (1; 0) має рівняння . Гpapiк угнутої функції лежить не вище за дотичну, проведену до нього в будь-якій точці. Отже, при х > 0 виконується нерівність

(6.1)

Рівність в (6.1) досягається тільки при x = 1. Візьмемо додатні числа Покладемо З нерівності (6.1) маємо: Додаючи ці нерівності при i = 1, 2, ..., n, дістаємо:

Враховуючи, що, маємо з останньої нерівності, що

звідки і

(6.2)

Це відома нерівність Копі між середнім арифметичним та середнім геометричним кількох невід'ємних чисел.

(Ми довели нерівність Коші для додатних чисел . Проте вона виконується й тоді, коли хоча б одне із цих чисел дорівнює нулю.) Рівність у нерівності Коші досягається тільки тоді, коли при тобто при

Нерівність Коші є центральною в теорії нерівностей. Ми будемо не раз повертатися до неї.

Покладемо

З нерівності (6.1) маємо:

Додаючи ці нерівності при i = 1, 2, ..., n, маємо:

Оскільки та то

Ця нерівність називається нерівністю Коші з ваговими множниками При вона перетворюється у звичайну нерівність Коші (6.2).

2. Функція , де x ? 0, n -- натуральне число, опукла. Дотична до графіка цієї функції в точці (1; 1) має рівняння

Графік опуклої функції лежить не нижче від дотичної, проведеної до нього в будь-якій точці. Отже, при виконується нерівність

(6.3)

При цьому рівність досягається тільки при x = 1 або n = 1. Візьмемо додатні числа . Нехай

З нерівності (6.3) маємо:

Підставляючи сюди і додаючи всі ці нерівності, маємо:

.

Знову дістали нерівність Коші (6.2).

3. Розглянемо функцію Характер монотонності цієї функції залежить від значень величини 1 + a (рис. 11). Проведемо пряму через точки (0,1) та (1; 1+ a). Ця пряма має рівняння . Функція опукла. Справді,

Згідно з теоремою 4.1, графік цієї функції при х 1 лежить вище від прямої . Дістаємо нерівність при x ? 1 та . Звідси маємо, що при і натуральному n виконується нерівність , яка називається нерівністю Бернуллі.

Рис.11

З розглянутих прикладів бачимо, що опуклість (угнутість) функцій є джерелом нерівностей. Досить встановити факт опуклості або угнутості деякої функції, як відразу випливає багато нерівностей, які дістаємо, використовуючи геометричний зміст дотичних або хорд відповідного графіка.

4. Функція , де -- множина всіх цілих чисел, угнута. Візьмемо на графіку пієї функції точки і . Пряма АВ має рівняння .

Графік заданої функції лежить вище від графіка цієї прямої. Отже, при , виконується нерівність

5. Функція , де , опукла. Нехай . Згідно з теоремою 5.1, маємо:

Нехай f -- опукла на проміжку (a; b) функція, числа з цього проміжку утворюють арифметичну прогресію з різницею d. Згідно з теоремою 5.1,

, або

Покладаючи в останній нерівності та додаючи всі утворені нерівності, маємо:



Якщо функція f опукла і визначена на всій дійсній прямій, то, покладаючи в (6.6) , дістаємо:

(6.7)

Для угнутої функції треба в нерівностях (6.6) та (6.7) змінити зміст нерівності.

З'ясуємо, коли в нерівності (6.6) досягається рівність.

Зрозуміло, що в кожній з нерівностей

повинна досягатися рівність. Оскільки нерівність (5.3) стає рівністю тільки для лінійної функції f, то й кожна з розглядуваних нерівностей стає рівністю тільки для лінійної функції f. Отже, і в нерівності (6.6) рівність досягається тільки для лінійної функції f.

Зауваження. У подальшому за спеціалізації нестрогої загальної нерівності, як правило, діставатимемо строгу нерівність, бо звичайно вибиратимемо нелінійну функцію f. При цьому в кожному окремому випадку треба з'ясовувати: чому маємо строгу нерівність?

Беручи з нерівності (6.7) дістаємо

Для угнутої функції маємо:



або

Зауваження. З останньої нерівності випливає розбіжність гармонійного ряду

Беручи , маємо із нерівності (6.7):

9. НЕРІВНІСТЬ ІЄНСЕНА ТА ЙОГО НАСЛІДКИ

опукла функція нерівність

a) Нерівність Ієнсена

Теорема 9.1. Якщо f -- опукла на проміжку (a; b) функція, a -- довільні числа із цього проміжку, , то

Доведення 1. Застосуємо метод математичної індукції.

1. n = 2. Нерівність (9.1) набуває вигляду

2.

що справджується для опуклої функції.

2. Нехай нерівність (9.1) виконується при будь-якомуn, яке менше за деяке k >2. Покажемо, що тоді ця нерівність виконується й для . Справді, нехай -- будь-які числа з (a; b). Maємо:

Де При цьому очевидно, що всі бо коли деякі , то нерівність (9.1) справджується за припущенням індукції (в ній кожна сума містить фактично менше ніж k доданків). Оскільки де , і функція f опукла , то

Враховуючи, що i , згідно з припущенням індукції, маємо:

З нерівності (9.2) дістаємо:

що й треба було довести.

Рівність y (9.1) досягається тільки для лінійної функції f або при Для угнутої функції f в (9.1) треба змінити знак нерівності на протилежний.

Нерівність (9.1) називається нерівністю Ієнсена, вона відіграє велику роль у теорії опуклих функцій. Наведемо ще одне доведення для випадку, коли f опукла і диференційована на (а; b) функція.

Нехай Зрозуміло, що

і тому функція f визначена в точці . Оскільки функція f опукла, то справджуються нерівності

тут . Додавши всі такі нерівності, маємо:

що й треба було довести. Покладаючи в нерівності (9,1) , дістанемо нерівність

Цю нерівність часто застосовують для доведення нерівностей зі шкільного курсу математики.

Теорема 9.2. Нехай f -- опукла на проміжку (a; b) функція,

Тоді

Доведення. Внаслідок опуклості функції f справджуються нерівності

Де враховуючи, що маємо:

Додаючи всі ці нерівності при , дістаємо:

ої функції f. Для угнутої функції f треба змінити знак нерівності на протилежний. З нерівностей (9.1) та (9.8) дістанемо подвійну нерівність

З'ясуємо геометричний зміст цієї подвійної нерівності. На дузі графіка опуклої функції f виберемо точки , відповідно з координатами (pис. 12).

Нехай де Зрозуміло, що

Позначимо точку, що відповідає точці , через . Тоді

Рис.12

Многокутник , опуклий, бо функція f опукла. Точка є опуклою комбінацією точок . Подвійна нерівність (9.10) геометрично означає, що

тобто точка В лежить усередині многокутника .

b) Нерівність Коші.

Поклавши в нерівності Ієнсена (9.1) , дістанемо

при Ми дістали нерівність Коші з ваговими множниками. Звідси при матимемо звичайну нерівність Коші

Зауважимо, що ми довели нерівність Коші для , але зрозуміло, що коли хоча б при одному , то нерівність Коші виконується, бо тоді

c) Нерівність Гельдера.

Теорема 10.1. Якщо , то

Доведення. Візьмемо опуклу функцію Згідно з нерівністю Ієнсена,

де

Для додатних чисел маємо: З нерівності (10.2) дістаємо:



У нерівності (10.3) покладемо , Якщо , то візьмемо . Матимемо:

Де і . Зазначимо, що при в нерівності Гельдера треба змінити знак, бо функція угнута і монотонно зростаюча, а функція опукла і монотонно спадна. Встановимо, коли в (10.1) досягається рівність. Оскільки в нерівності (10.2) рівність досягається тільки при , то в нерівності (10.1) рівність досягається тільки при

Звідки

де k -- стале число при всіх . При цьому кажуть, що послідовності пропорційні.

Нерівність (10.1) називається нерівністю Гельдера. Вона відіграє важливу роль у математичному аналізі. Поклавши в нерівності Гельдера p=2, дістанемо відому нерівність Коші-Буняковського

справедливу для будь-яких дійсних чисел

3. Нерівність Мінковського.

Теорема 10.2. Якщо то

Доведення. Доведемо спочатку такі нерівності:

Де і

Де

Розглянемо функцію . Маємо:

Отже, при функція f опукла, а при функція f угнута. Нехай . Згідно з нерівністю Ієнсена,

Де

Розглянемо випадок, коли Покладемо .Тоді з нерівності (10.8) маємо:

що й треба було довести. Нерівність (10.7) доводиться аналогічно. Рівність у нерівностях (10.6) та (10.7) досягається тільки тоді, коли тобто коли , та -- пропорційні послідовності.

Тепер у нерівності (10.7) введемо таку заміну:

Бо Маємо:

Отже, дістали нерівність (10.5). Нерівність (10.5), а іноді й нерівність (10.6), називають нерівністю Мінковського. При маємо:

Розглянемо геометричний зміст цієї нерівності. Візьмемо на координатній площині три довільні точки і знайдемо відстані між ними:

Згідно з нерівністю Мінковського (при p=2), маємо:



Рівність досягається в разі, якщо

тобто якщо точки лежать на одній прямій.

Нерівність (10.9) геометрично означає, що сума довжин двох сторін довільного трикутника не менше за довжину третьої сторони (рівність досягається тільки для «виродженого» трикутника, в якого всі вершини належать одній прямій). Тому нерівність (10.9) називають нерівністю трикутника. Загальна нерівність Мінковського (10.5) при n= 2 означає, що коли б відстань між точками координатної площини вимірювалася не звичайними формулами, прийнятими в евклідовій геометрії, а формулами виду

то і в такій «метриці» на площині справджувалася б нерівність трикутника

Цей результат широко використовується в математиці під час побудови так званих метричних просторів, окремим випадком яких є звичайний евклідів простір. Зауважимо, що оскільки натуральне число n довільне, нерівність Мінковського справедлива не тільки для площини (n =2), а й для тривимірного простору та абстрактних багатовимірних просторів, що їх вивчають у багатьох розділах сучасної математики.



Висновки

В цій курсовій роботі ми розглядали тему «опуклі функції та деякі нерівності». В цій темі я дізнався багато нового, і повторив пройдений матеріал раніше.

Дослідження курсової роботи привело мене до ознайомлення таких ознак: під графік, над графік, опуклість функцій.

Я думаю що ця тема є важливою, тому що ми дізнались більше про опуклість різних функцій, таких як: диференційовані і не перервні функції.

Взагалі ця робота приємно вразила мене своїми прошарками знання, хочеться все більше і більше викласти матеріалу, але він схожий, або з однієї ознаки випливає інша, за допомогою однієї теореми доводиться інша.

Размещено на Allbest.ru

...