Совместная оценка, фильтрация и управление в динамических системах
Модель изменения вектора состояния задана линейным дифференциальным уравнением. Исследование стохастической задачи оптимизации, для решения которой применимы совместные стандартные детерминированные методы. Ковариационная матрица шума наблюдений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.03.2020 |
| Размер файла | 39,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Совместная оценка, фильтрация и управление в динамических системах
Дмитрий Ефимов
С классической точки зрения считается, что математическая задача решена, если это решение выражено формулой. Однако подставить числа в формулу -- это вовсе не простая задача. Ключ для понимания и овладения этой проблемой следует искать в способе рассуждения, при котором новые результаты выводятся логическим путем от общих положений к частным выводам. Линейная теория фильтрации и предсказания определяет основу для сравнения реального и желаемого поведения динамических систем в движении. Следовательно, задача в теории самонастраивающихся систем в процессе стабилизации и регулирования движением состоит в изучении свойств дифференциального уравнения. Рассмотрим эти свойства на примере двух независимых математических подходов.
Первый подход изложим на основе теоретических принципов Гаусса -- Винера -- Калмана.
Модель изменения вектора состояния задана линейным дифференциальным уравнением
(1)
где -- состояние системы,
-- шум системы,
и -- известные матрицы.
Наблюдению и обработке доступны значения аддитивной смеси линейного преобразования вектора состояния и шума наблюдения
, (2)
где -- вектор наблюдения,
-- вектор шума наблюдения,
-- известная матрица измерений.
Алгоритм фильтра имеет вид [20]
, (3)
-- оптимальная оценка состояния.
Подставим (2) в (3), получим
. (4)
Для определения ошибки фильтрации вычтем (4) из (1)
. (5)
Введем обозначения
,
.
С учетом независимости всех векторов, входящих в значение (5), и принимая во внимание особенность введенных обозначений, получим
. (6)
Дифференцируя (6) по и приравнивая результат нулю, получим
. (7)
Подставляя (7) в (6), получим дисперсионную матрицу минимальной ошибки
(8)
Второй подход рассмотрим на основе совместного решения системы уравнений Гамильтона -- Эйлера -- Лагранжа -- Бюси.
Требуется определить значения , которые минимизируют критерий качества
(9)
при ограничении
. (10)
Это стохастическая задача оптимизации, для решения которой применимы совместные стандартные детерминированные методы. Для соотношений (9) и (10) Гамильтониан системы примет вид
(11)
(12)
Проведя операции дифференцирования в (9) и (11) в соответствии с (12) с учетом того, что все значения матриц и векторов есть функции времени, получим
. (13)
Подставляя (13) в (10)
(14)
и далее
, (15)
. (16)
Соотношения (11) -- (16) являются условиями экстремума. Обозначим решение двухточечной краевой задачи (13) -- (16), через
и
Учитывая, что двухточечная краевая задача линейна, решение можно получить различными методами. Если использовать метод прогонки, то решение может быть представлено по аналогии с (16) в виде
(17)
которое справедливо на всем интервале , где и подлежат определению. Дифференцируя (17) и учитывая (14) и (15), получим
или
Таким образом, если потребовать, чтобы , удовлетворяли уравнениям с условием минимума дисперсии, то
(18)
(19)
и тогда (17) становится тождеством.
Сравнивая выражения (8) и (19), (3) и (18) с учетом (7) убеждаемся в их абсолютном тождестве.
Нельзя изучать эти удивительные и совершенно различные теории, не испытывая временами странного чувства, как будто в уравнениях и формулах есть своя собственная жизнь, как будто они умнее нас, умнее даже основоположников этих теорий, как будто получаем от них больше, чем было в них вложено сначала. И действительно, при мы имеем
Функцию можно вычислить, интегрируя назад уравнение
(20)
начиная с , тогда как уравнения (18), (19) интегрируются вперед. Зная , из формулы (13) можно найти а из формулы (17) найдем .
В зависимости от вкладываемого физического смысла выражения (8) и (19) имеют названия:
1. нелинейное дифференциальное уравнение корреляционной матрицы ошибки оптимальной линейной оценки, называемое корреляционным уравнением;
2. нелинейное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ковариационная матрица вектора ошибок;
3. нелинейное дифференциальное уравнение дисперсионной матрицы минимальной ошибки;
4. нелинейное дифференциальное уравнение типа Риккати минимальной ошибки.
Различные подходы получения выражения (8), (19) можно найти в работах [3, 4, 10, 11, 19, 20], изучение которых создает общий колорит этой проблемы. линейное дифференциальное уравнение матрица
Если объединить результаты, полученные в этой статье, с результатами, полученными в работе [9], то получим критерий качества, отражающий явно телеологический принцип [6], [15].
(21)
Реальная история системы обращает эту величину в минимум, а дифференциальное уравнение оптимальной оценки состояния принимает вид
(22)
,
,
где
-- матрица формирования допустимых оптимальных значений параметров фазового пространства процесса управления на всем интервале интегрирования [9];
-- решение дисперсионного уравнения, по формуле (8) или (19);
-- матрица, представляющая линейный оператор преобразования вектора состояния фазовых координат в вектор функций, указывающий скорость их изменения;
-- матрица стабилизационного преобразования параметров вектора функций скорости изменения фазовых координат;
-- матрица ограничений на параметры оптимального управления [9];
-- ковариационная матрица шума наблюдений;
-- матрица формирования внутренних допустимых максимальных значений параметров фазового пространства на интервале интегрирования;
-- ковариационная матрица шума системы;
{U*(t) E | t0 t tf } -- оптимальное управление по замкнутому контуру;
-- фазовая траектория, соответствующая оптимальному принципу управления;
-- фазовая траектория, соответствующая стохастическому принципу управления;
-- совместная фазовая траектория, соответствующая телеологическому принципу управления;
-- совместный вектор функций, указывающий скорость изменения фазовых координат, соответствующий телеологическому принципу управления.
Заключение
Выражения (21) и (22) в совокупности с работами [7, 8] представляют собой расширенное понятие о линейной задаче с квадратичным функционалом, где учитываются совместная оценка состояния, фильтрация, предсказание и управление в подвижных динамических системах.
Библиографический список
Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968. - 764с.
2. Белман Р. Процессы регулирования с адаптацией. - М.: Наука, 1964. - 360с.
3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. - М.: Мир, 1972. - 544с.
4. Bucy R.S. Two-point boundary value problems of linear Hamiltonian Systems, -- J. SIAM. Appl. Math. Vol. 15, N 6, November, 1967, Printed in USA p.p. 1385-1389.
5. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series, with Engineering Applications. -- The Technology Press and Willy, New York, 1949. 163p.
6. Данилов Ю.А. Джон фон Нейман. - М.: Знание, 1990. - 64c.
7. Ефимов Д.К. Задача о совместном стремлении избежать столкновение двух воздушных судов по принципу максимаксимума // Методы и модели автоматизации процессов УВД: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л., 1989. С.50-56.
8. Ефимов Д.К. Правила разведения конфликтующих воздушных судов в пространстве и их совершенствование.// Теория и практика совершенствования системы УВД: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л., 1990. С.49-54.
9. Ефимов Д.К. Внутренние качества принципа максимума в задачах управления воздушным движением по минимуму энергии. // Проблемы рациональной организации воздушного движения: Межвузовский тематический сборник научных трудов / ОЛАГА, Л., 1991. С.38-45.
10. Kalman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control Bol. Soc. Mat. Mex. Vol. 5, 1960, p.p. 102-119.
11. Калман Р.Е., Бюси Р.С. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания. -- Техническая механика, том 83. Серия Д.N1. Март 1961, с.123-141.
12. Калман Р.Е., Фалб П.Л., Арбиб М.А. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971. - 400с.
13. Калман Р.Е Идентификация систем с шумами. - Успехи математических наук, 1985, т. 40, вып. 4(244), с. 27-41.
14. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. - Изд. 2-е. М.: Наука, 1974. - 120с.
15. Von Neumann J. The Role of Mathematics in the Sciences and in Society. Graduate Alumni, Tune 1954; Collected Works, Vol. VI, pp. 477-490.
16. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1981. - 208с.
17. Портер У. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука, 1971. - 556с.
18. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976. - 392с.
19. Полак Э. Численные методы оптимизации. - М.: Мир, 1974. - 376с.
20. Сейдж Э. П., Уайт Ч.С., III. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 1982. - 392с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Методика экспериментального определения кривых разгона объекта управления по каналам регулирования и возмущения для напорного бака. Динамические характеристики объекта управления, математическое описание динамики линейным дифференциальным уравнением.
лабораторная работа [277,7 K], добавлен 14.12.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Нахождение матрицы. Исследование функции и построение ее графика. Определение площади фигуры, ограниченной прямой и параболой.
контрольная работа [209,0 K], добавлен 14.03.2017Алгоритм решения задач по теме "Матрицы". Исследование на совместность системы линейных алгебраических уравнений, пример их решения по правилу Крамера. Определение величины угла при вершине в треугольнике, длины вектора. Исследование сходимости рядов.
контрольная работа [241,6 K], добавлен 19.03.2011Поиск оптимальных значений некоторых параметров в процессе решения задачи оптимизации. Сравнение двух альтернативных решений с помощью целевой функции. Теорема Вейерштрасса. Численные методы поиска экстремальных значений функций. Погрешность решения.
презентация [80,6 K], добавлен 18.04.2013Сущность глобального вектора приоритета альтернатив по данным матрицам. Анализ собственного вектора матрицы, этапы создания диагональной матрицы. Расчет глобального вектора приоритетов альтернатив с условием согласованности матриц парных сравнений.
контрольная работа [241,9 K], добавлен 05.06.2012Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 16.08.2010Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.
презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.
контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013Моделирование входного заданного сигнала, построение графика, амплитудного и фазового спектра. Моделирование шума с законом распределения вероятностей Рэлея, оценка дисперсии отсчетов шума и проверка адекватности модели шума по критерию Пирсона.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 25.11.2011Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.
курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010Собственные значения и вектора матрицы. Применение итерационного метода вращений Якоби для решения симметричной полной проблемы собственных значений эрмитовых матриц. Алгоритмы решения задач и их реализация на современных языках программирования.
курсовая работа [321,6 K], добавлен 15.11.2015Особенности построения вектора А, удовлетворяющего заданному множеству условий и ограничений, если даны величины упорядоченных множеств. Характеристика алгоритма перебора вектора А и оценка его временной сложности. Анализ графического изображения вектора.
курсовая работа [164,1 K], добавлен 11.03.2010Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Понятие экспоненциального фильтра, который в аналоговом варианте представляет собой апериодическое звено и описывается соответствующим дифференциальным уравнением. Ознакомление с аналоговым и дискретным вариантами реализации фильтра с данными параметрами.
лабораторная работа [42,1 K], добавлен 15.11.2010Особенности нахождения связи между величинами (функциями). Понятие, сущность, свойства и характерные особенности дифференциальных уравнений, а также анализ их разрешимости. Характеристика и методика решения задачи Дидоны, ее графическое изображение.
курсовая работа [897,4 K], добавлен 02.04.2010Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.01.2010Графический и симплексный методы решения ОЗЛП. Построение функции цели, образующая совместно с системой ограничений математическую модель экономической задачи. Нахождение неотрицательного решения системы линейных уравнений. Решение транспортной задачи.
лабораторная работа [322,9 K], добавлен 10.04.2009Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).
презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011
