Теория систем массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория систем массового обслуживания

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику.

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы -- систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок, вообще говоря, также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

СМО делят на два основных типа (класса): СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами. По этому признаку обслуживание заявки может быть организовано по принципу "первая пришла -- первая обслужена", "последняя пришла -- первая обслужена" (такой порядок может применяться, например, при извлечении для обслуживания изделий со склада, ибо последние из них оказываются часто более доступными) или обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки). Приоритет может быть как абсолютным, когда более важная заявка"вытесняет" из-под обслуживания обычную заявку (например, в случае аварийной ситуации плановые работы ремонтных бригад прерываются до ликвидации аварии), так и относительным, когда более важная заявка получает лишь "лучшее" место в очереди.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния  S1,S2,…,Sn можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы -- марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0  вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0  и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S  -- счетчик в такси. Состояние системы в момент t  характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t0 счетчик показывает S0. Вероятность того, что в момент t>t0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S1, зависит от S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t0.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S  -- группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность того, что в момент t>t0 материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой -- так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние -- стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей -- понятием потока событий.

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью л -- частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: л(t)=л. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение суток, скажем, в часы пик. Обращаем внимание на то, что в последнем случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно отличаться друг от друга, но среднее их число будет постоянно и не будет зависеть от времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени ф1 и ф2  -- число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени Дt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название "простейший" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям лi (i=1,2,…,n) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью л, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.

л=?i=1nлi. Рассмотрим на оси времени Ot  простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.

Рис.1

математический обслуживание магазин

Можно показать, что для простейшего потока число т событий (точек), попадающих на произвольный участок времени ф, распределено по закону Пуассона Pm(ф)=((лф)^m/m!)e^?лф, для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: a=у2=лф.

В частности, вероятность того, что за время ф  не произойдет ни одного события (m=0), равна P0(ф)=e?лф. Найдем распределение интервала времени T между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока. Вероятность того, что на участке времени длиной t  не появится ни одного из последующих событий, равна P(T?t)=e?лt, а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины T, есть F(t)=P(T<t)=1?e?лt.

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения, т.е. ц(t)=F?(t)=лe?лt.

Распределение, задаваемое плотностью вероятности или функцией распределения, называется показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины a=у=1л и обратно по величине интенсивности потока л.

Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время ф, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (T?ф): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка T.

Другими словами, для интервала времени T между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для "отсутствия последействия" -- основного свойства простейшего потока.

Для простейшего потока с интенсивностью л вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Дt хотя бы одного события потока равна согласно PДt=P(T<Дt)=1?e?лДt?лДt.

Заметим, что эта приближенная формула, получаемая заменой функции

e?лДt лишь двумя первыми членами ее разложения в ряд по степеням Дt, тем точнее, чем меньше Дt).

На первичное развитие теории массового обслуживания оказали особое влияние работы датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929).

Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются - показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.

Система обслуживания считается заданной, если известны:

1) поток требований, его характер;

2) множество обслуживающих приборов;

3) дисциплина обслуживания (совокупность правил, задающих процесс обслуживания).

Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи, различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции и т.п.

Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявок продолжается какое-то случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:

- среднее время обслуживания;

- среднее время ожидания в очереди;

- среднее время пребывания в СМО;

- средняя длина очереди;

- среднее число заявок в СМО;

- количество каналов обслуживания;

- интенсивность входного потока заявок;

- интенсивность обслуживания;

- интенсивность нагрузки;

- коэффициент нагрузки;

- относительная пропускная способность;

- абсолютная пропускная способность;

- доля времени простоя СМО;

- доля обслуженных заявок;

- доля потерянных заявок;

- среднее число занятых каналов;

- среднее число свободных каналов;

- коэффициент загрузки каналов;

- среднее время простоя каналов.

Для облегчения процесса моделирования используют классификацию СМО по различным признакам, для которых пригодны определенные группы методов и моделей теории массового обслуживания, упрощающие подбор адекватных математических моделей к решению задач обслуживания в коммерческой деятельности.

СМО с ожиданием -- в общем случае многоканальная система в которую поступает поток заявок с интенсивностью л; интенсивность обслуживания м (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):

--канал свободен; --канал занят, очереди нет;

-- канал занят, одна заявка стоит в очереди;

--канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди;

-- канал занят, k заявок стоят в очереди.

Граф системы показан на рис. 1.2. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны л, а справа налево --м. Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево -- поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность м (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

Рис.2 Одноканальная СМО с ожиданием

Изображенная на рис. 1.2 схема представляет собой схему размножения и гибели. Используя общее решение (1.1)--(1. 4), напишем выражения для предельных вероятностей состояний:

или с использованием:

Последняя строка в (1.2) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р; откуда получаем:

в связи с чем предельные вероятности принимают вид:

Выражение (1.4) справедливо только при< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m + 2, и в этом случае

Определим характеристики СМО: вероятность отказа, относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди, среднее число заявок, связанных с системой ,среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Средняя длина очереди. Найдем среднее числозаявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R -- числа заявок, находящихся в очереди:

С вероятностьюв очереди стоит одна заявка, с вероятностью-- две заявки, вообще с вероятностьюв очереди стоят k - 1 заявок, и т. д., откуда:

(1.7)

Поскольку, сумму в (1.7) можно трактовать как производную поот суммы геометрической прогрессии:

Подставляя данное выражение в (1.7) и используяиз (1.4), окончательно получаем:

Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку, где-- среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить. Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью) или 1 (с вероятностью 1 -), откуда:

и среднее число заявок, связанных с СМО, равно

Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностьюканал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностьюона придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени(среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностьюв очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно, и т. д.

Если же k = m + 1, т. е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m заявок в очереди (вероятность этого), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

если подставить сюда выражения для вероятностей (1.4), получим:

Здесь использованы соотношения (1.7), (1.10) (производная геометрической прогрессии), а такжеиз (1.4). Сравнивая это выражение с (1.10), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначимматожидание случайной величины -- время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очередии среднего времени обслуживания. Если загрузка системы составляет 100 %, очевидно, , в противном же случае

Размещено на Allbest.ru