Основы оптимизации материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. История становления и развития теории оптимизации

2. Постановка задач оптимизации

3. Содержательная и формализованная постановка задачи

4. Переход от содержательной к формализованной постановке задачи

Заключение

Список литературы

Введение

Научно-техническая революция (НТР) сделав человека во много раз сильнее, дает возможность создавать новые различные перспективные объекты технологии, процессы, машины, оборудование и др. Вместе с тем она ко многому обязывает и прежде всего обязывает принимать правильные, обоснованные решения. Просчеты и даже не очень правильные решения приводят к напрасной трате времени и ресурсов.

Однако обоснование решений требует обстоятельных расчетов и значительных умственных усилий. Современная НТР в отличие от усиливает возможности людей главным образом не физические, а умственные, интеллектуальные. Такой «умственный» рост становится возможным благодаря применению современных методов моделирования процессов и привлечению технических средств.

Современные ЭВМ обладают огромной памятью и способны производить сложнейшие вычисления с фантастической скоростью - до нескольких сот миллионов операций в 1 с. До широкого распространения ЭВМ решение производственных задач методами математического моделирования вручную, требовало много времени, подчас запаздывало, надобность в нем отпадала. ЭВМ ускоряет решение сложных задач.

Методы математического моделирования в сочетании с ЭВМ являются в настоящее время незаменимым инструментом инженера и исследователя, без грамотного применения которого невозможно проникнуть в существо процесса или явления, найти правильное решение. Однако необходимо иметь в виду, что выработка решений с помощью методов моделирования и ЭВМ в полной мере зависит от того, насколько правильно сформулирована производственная задача, насколько точна и доброкачественна исходная информация.

1. История становления и развития теории оптимизации

Термин «оптимум» был введен в XVIII веке Готфридом В. Лейбницем и в основном рассматривался в применении к теологии - учению о религиозных догматах и религиозной культуре и их необходимости для человека.

В переводе с латинского термин «optimus» означает наилучший. Его связывают с именем богини Опы (богиня плодородия, урожая и богатства). Она - жена бога времени Сатурна и мать Юпитера (хранителя римского государства). В одной руке она держит рог изобилия (мифический источник благ), а в другой - символ измерения и решения - весы.

Лейбниц в своей философской теории излагал соображения о существующем мире как об оптимуме. Это переводилось как наилучший из всех возможных миров. Однако в философском учении Лейбница нет понятия допустимости. Но «наилучшее» может быть и недопустимым. Впоследствии его идеи взяты на вооружение философским течением «философский оптимизм».

Исторически выявлено несколько математических закономерностей, лежащих в основе теории оптимизации.

XVII век - Пьер Ферма установил закономерность, заключающуюся в том, что при приближении к точкам максимума и минимума скорость функции падает до нуля.

Ещё раньше практики-землеустроители использовали основные положения оптимального проектирования:

* кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая;

* кривая заданной длины, ограничивающая максимальную площадь, - окружность.

XVIII век - работы Даниила Бернулли, Леонарда Эйлера, Жозефа Л. Лагранжа, посвященные вариационному исчислению. Позже этими же задачами в XIX веке занимались Карл Вейерштрасс и Карл Г. Якоби.

Первыми, подробно изученными задачами поиска экстремума были задачи линейного программирования. Еще в 1820 г. Жозеф Фурье и затем Л.В. Канторович (1939 г.), Джордж Б. Данциг (1947 г.) сформулировали задачу линейного программирования и предложили метод ее решения - направленного перебора смежных вершин.

Так к средине XX века произошло разделение теоретических разработок и практических нужд. Это несоответствие продолжалось вплоть до создания ЭВМ в конце 40-х годов прошлого столетия. После создания в 1947 г. Д. Данцигом симплекс-метода и появления первых ЭВМ были сформулированы и решены тысячи прикладных задач. Несколько позже Р. Веллманом был разработан метод динамического программирования, который позволял решать задачи для систем, характеристики которых зависят от времени. Также существенный вклад в математическое программирование и оптимальное управление внес Л.С. Понтрягин, разработав раздел вариационного исчисления. Так к 70-м годам XX века в основном был сформирован раздел прикладной математики - теория и методы оптимизации.

2. Постановка задач оптимизации

В самом общем случае, решить оптимизационную задачу это значит найти наилучшее решение среди возможных вариантов решения.

Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией. Решение любой оптимизационной задачи основано на построении математической модели исследуемого объекта и проведении вычислительного эксперимента. Проведение вычислительного (компьютерного) эксперимента не с самим объектом, а с его моделью дает возможность эффективно исследовать его свойства в любых ситуациях. Основу вычислительного эксперимента составляет триада «модель--алгоритм--программа». Схема вычислительного эксперимента приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 Схема вычислительного эксперимента

На первом этапе эксперимента строится некий эквивалент объекта, его модель, отражающий в математической форме важнейшие свойства объекта. Второй этап -- разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью.

На третьем этапе создаются программы, реализующие алгоритмы на доступном компьютеру языке. Нахождение оптимальных значений параметров - это один из этапов вычислительного эксперимента, позволяющий выработать управляющее воздействие на объект исследования. Теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, позволяющих избежать полного перебора всех решений.

Методы оптимизации - это методы построения алгоритмов нахождения оптимального (минимального или максимального) значения некоторой функции.

3. Содержательная и формализованная постановка задачи

Решение оптимизационных задач (процесс оптимизации) лежит в основе всей инженерной деятельности. Эффективность метода оптимизации связана с одной стороны с умелым использованием основных результатов таких математических дисциплин, как:

· математический анализ;

· линейная алгебра;

· математическая логика и теория алгоритмов;

· функциональный анализ;

· дифференциальное исчисление.

С другой стороны, в инженерной практике размер оптимизационных задач достаточно велик, следовательно, велики и затраты времени реализации алгоритмов. Поэтому оптимизационные задачи ориентированы в основном на реализацию на ЭВМ. Ценность теории оптимизации состоит в её универсальности по отношению к различным классам задач. Оптимизационная задача может быть частью задачи решаемой в:

1. математической экономике: решение больших макроэкономических моделей, моделей предпринимательства и т.д.;

2. в автоматике: оптимальное управление, робототехника, фильтрация, управление производством;

3. в технике: оптимальное планирование информационных и компьютерных сетей, оптимизация структур и параметров технических систем;

4. в численном анализе: аппроксимация, регрессия, решение линейных и нелинейных систем управления и т.д.

Важнейшим элементом во всех этих задачах является формализованная (математическая) постановка задачи. При этом задачи различаются содержательной стороной. Рассмотрим ряд содержательных и формализованных задач оптимизации.

Пример 1. Аппроксимация статической характеристики термопреобразователей.

Термопреобразователь сопротивления служит для измерения температуры среды. Его действие основано на изменении сопротивления R чувствительного элемента (Pt, Cu, AlKa, CrCa и т.д.) от температуры измеряемой среды T. Эта зависимость получена экспериментально в виде пары чисел

(Ri ,Ti ), i =1,Їn

и представляет собой, так называемую, статическую характеристику датчика температуры и хранится в виде градуировочных таблиц ГОСТ 6651-84. Каждая из таблиц (а их реально используют более 10) содержит ориентировочно 1000 значений. Хранить подобные объемы данных нецелесообразно для любого технического средства, а в микропроцессорном контроллере невозможно. Поэтому используют аппроксимацию табличных данных в виде регрессионного управления. Известно, что величины R и T связаны функциональной зависимостью:

T (R,Їa)

где - вид функциональной связи; a- вектор неизвестных коэффициентов уравнения связи. Предполагаем, что структура регрессионного управления известна (полиномиальная, гармоническая и др.). Например, в случае использования полиномиального уравнения второго порядка, получаем аппроксимированные значения температуры:

TЇ=

Пример 2. Транспортная задача

В городе имеются два кирпичных завода и три потребителя их продукции - строительные фирмы. Известны и приведены в табл. 1. суточные объемы производства кирпича, суточные потребности в нем строительных организаций и стоимость перевозки 1 тыс. кирпичей от каждого завода к каждой строительной фирме.

Таблица 1. Исходные данные для транспортной задачи

Требуется составить план суточных перевозок кирпича таким образом, чтобы транспортные расходы были минимальны. Приведенные задачи различаются содержательной (описательной) постановкой задачи и имеют специфику конкретных прикладных областей. Важнейшим моментом теории оптимизации является переход от содержательной постановки задачи к формализованной, то есть математической.

Стоит отметить, что решение задачи оптимизации это всего лишь один этап в процессе формирования оптимального проекта для эффективного функционирования системы. Процесс инженерного проектирования циклический и включает следующие этапы, приведенные на рисунке 2.

Рисунок 2 Этапы инженерного проектирования

4. Переход от содержательной к формализованной постановке задачи оптимизации

Процесс включает ряд этапов, важнейшими из которых являются следующие.

1. Установить границы объекта оптимизации.

Границы объекта (системы) задаются пределами, отделяющими объект от внешней среды. Например, в задаче I мы не рассматривали процесс получения градуировочной таблицы. Однако при установлении границ должны быть уверены, что декомпозиция задачи не приведет к излишнему упрощению реального объекта.

2. Построение математической модели системы.

Для обоснования наиболее эффективных путей совершенствования или разработки какого-либо технологического процесса, выявления взаимосвязей между отдельными операциями и его оптимизации необходимо разработать модель.

Модель, как важнейший инструмент научного познания, является условно-абстрактным, или материальным образом реального объекта, замещающим его (реальный объект) в процессе исследования.

Структура модели включает основные уравнения материальных и энергетических балансов и уравнения, описывающие физические процессы в системе. Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые определяют область допустимых значений независимых переменных. Область допустимых значений определяет границы изменения характеристик объекта. Процесс построения математической модели - один из самых сложных этапов.

3. Выбор критерия оптимизации.

Зависит от решаемой задачи и может иметь экономический, точностной или надежностный характер. Независимо от характера критерия, наилучшему решению задачи оптимизации всегда соответствуют минимум или максимум его значения. Чаще всего критерий оптимальности носит экономическую оценку (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность и др.). Но если объект оптимизации является частью технологического процесса, то не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы устройства (технологические параметры и другие показатели качества продукции).

Основная задача при выборе критерия оптимизации - декомпозиция противоречивых целевых установок.

Например:

· минимум затрат (вложений при проектировании);

· минимум потребления энергии при эксплуатации;

· максимум надежности.

В таком случае, чаще всего выделяют главный критерий, а остальные - вводятся в ограничение задачи оптимизирования. Подобные задачи относятся к классу задач векторной оптимизации.

4. Формирование целевой функции.

На основании выбранного критерия оптимизации необходимо составить целевую функцию (функцию качества), представляющую собой математическую зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Например, в примере I критерием оптимальности является точность аппроксимации (разность [T-TЇ] ), а целевой функцией - квадрат расстояния L().

5. Построение оптимизационного алгоритма и решение экстремальной задачи. Этот этап собственно и представляет выбор или разработку алгоритма решения инженерной задачи с использованием средств вычислительной техники. математический оптимизация инженерный

Заключение

Моделирование стало эффективным инструментом решения задач анализа, оптимизации и синтеза систем, а также составной частью общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Практическая реализация возможностей математического моделирования существенно повышает эффективность инженерных разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов изделий, технологических машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике и технологиях передовых достижений фундаментальных наук. Отмеченные возможности математического моделирования еще далеко не исчерпаны, представляются достаточно перспективными и заслуживают детального рассмотрения. Принимая во внимание тенденции развития технического прогресса и возрастающие возможности вычислительной техники, дальнейшее развитие теории моделирования систем следует ожидать в направлении создания интеллектуальных самосовершенствующихся моделей, способных без участия разработчика изменять свою структуру и подстраиваться под требования новых задач.

Список литературы

1. Теория и методы оптимизации : учеб. пособие для академического бакалавриата / Е. А. Кочегурова. -- М.: Издательство Юрайт, 2016. -- 133 с. -- Серия : Университеты России

2. Советов, Б.Я. Моделирование систем / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - М. : Высшая школа, 2005. - 343 с.

3. Самарский, А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, Гл. ред. физ.-мат. лит., 2002.- 824 c.

5. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

6. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 c.

7. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 352 c.

8. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. -- М.: Мир, 1985. 509 c.

9. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. 334 с.

Размещено на Allbest.ru