Аффинные преобразования на плоскости

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Министерство промышленности и торговли Тверской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Тверской промышленно-экономический колледж

РЕФЕРАТ

Тема

Аффинные преобразования на плоскости

Выполнила Мурлыкина Ю.А.

студентка группы 3-43ПС

Проверила Курочкина В.А.

Тверь 2020 г.

Содержание

Введение

1. Геометрические преобразования

2. Аффинные преобразования на плоскости

3. Способы задания аффинного преобразования плоскости

4. Применение однородных координат

Список используемой литературы

Введение

Вывод изображения на экран дисплея и разнообразные действия с ним, в том числе и визуальный анализ, требуют от пользователя достаточной геометрической грамотности. Геометрические понятия, формулы и факты, относящиеся, прежде всего, к плоскому и трехмерному случаям, играют в задачах компьютерной графики особую роль. Геометрические соображения, подходы и идеи в соединении с постоянно расширяющимися возможностями вычислительной техники являются неиссякаемым источником существенных продвижений на пути развития компьютерной графики, ее эффективного использования в научных и иных исследованиях. Порой даже самые простые геометрические методики обеспечивают заметные продвижения на отдельных этапах решения большой графической задачи.

Прежде всего, необходимо заметить, что особенности использования геометрических понятий, формул и фактов, как простых и хорошо известных, так и новых более сложных, требуют особого взгляда на них и иного осмысления.

Теперь необходимо рассмотреть графическую реализацию 3-х мерных объектов, т.к. она тесно связана со свойствами объектов. Система координат экрана, как известно, является двумерной, поэтому на экране возможна эмуляция 3-х мерной системы координат, расположенной наиболее удобно для последующих расчетов. В дальнейшем все объекты считаются 3-х мерными, а отображение осуществляется с помощью набора функций разработанной библиотеки.

Одним из примеров реализации данного подхода может служить следующий:

Каждый объект, в простейшем случае, представляет собой параллелепипед и хранится в памяти размерами по трем осям. Также в его структуру входит набор специальных точек, отвечающих за соединение блоков в пространстве. В общем случае, это точка привязки и исходная точка. В целом, получается гибкая графическая модель, которая позволяет изменять размеры блоков практически мгновенно. Таким образом, появляется возможность осуществить простейший графический редактор трехмерных объектов. При этом все блоки будут изменяться, создавая общую графическую модель. Имея дело с графической моделью, можно реализовать вращение совокупности трехмерных объектов. Это осуществляется с помощью набора функций, которые производят вращение объектов. Для вращения каждого объекта существует алгоритм, который разбивает объект (в простейшем случае параллелепипед) на набор точек, каждая из которых вращается, используя простейшие преобразования в пространстве путем умножения матрицы радиус-вектора на матрицы преобразований в пространстве. Рассмотрим более подробно данный подход с формальной стороны.

1. Геометрические преобразования

Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетрия имеют то общее, что все они „преобразуют" каждую фигуру Fв некоторую новую фигуру F1. Поэтому их называют геометрическими преобразованиями.

Вообще, геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости указать новую точку A', в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана какая-либо фигура F, то множество всех точек, в которые переходят тонки фигуры Fпри рассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F., В этом случае говорят, что F' получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.

Пример. Симметрия относительно прямой l является геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке A найти соответствующую ей точку А', в этом случае заключается в следующем: из точки А опускается перпендикуляр АР на прямую lи на его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА' = АР.

Сложение геометрических преобразований

Предположим, что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем „первым", а другое - „вторым". Возьмем на плоскости произвольную точку А и обозначим через А' ту точку, в которую переходит А при первом преобразовании. В свою очередь точка А' переводится вторым преобразованием в некоторую новую точку А". Иначе говоря, точка А" получается из точки А при помощи последовательного применения двух преобразований - сначала первого, а затем второго.

Результат последовательного выполнения взятых двух преобразований также представляет собой геометрическое преобразование: оно переводит точку А в точку А". Это „результирующее" преобразование называется суммой первого и второго рассмотренных преобразований.

Пусть на плоскости задана какая-либо фигура F. Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F'. Вторым преобразованием эта фигура F' переводится в некоторую новую фигуру F''. Сумма же первого и второго преобразований сразу переводит фигуру Fв фигуру F".

Пример. Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки О1 а второе преобразование - симметрию относительно другой точки О2. Найдем сумму этих двух преобразований.

Пусть А - произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка A не лежит на прямой O1O2. Обозначим через А' точку, симметричную точке А относительно О1, а через A" - точку, симметричную точке A' относительно О2 . Так как О1O2 - средняя линия треугольника АА'А'' то отрезок АА" параллелен отрезку О1O2 и имеет вдвое большую длину. Направление от точки А к точке А" совпадает с направлением от точки О1 к точке О2. Обозначим теперь через МN такой вектор, что отрезки MNи O1 O2 параллельны, отрезок МN в два раза длиннее отрезка O1О2 и лучи МN и O1O2 имеют одно и то же направление. Тогда АА" = МN, т. е. точка А" получается из точки А параллельным переносом на вектор МN.

То же справедливо и для точки, лежащей на прямой O1О2.

Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно точки O1 и симметрии относительно точки O2 представляет собой параллельный, перенос.

2. Аффинные преобразования на плоскости

Для решения таких задач, как движение объектов и их частей, управления камерой применяются аффинные преобразования (АП).

Аффинные преобразования - это такие преобразования плоскости, которые всякую прямую переводят в прямую и сохраняют отношение, в котором точка делит отрезок.

Рассмотрим основные свойства аффинных преобразований:

1. Точки, лежащие на одной прямой, после преобразования лежат на одной прямой;

2. Пересекающиеся прямые остаются пересекающимися, а параллельные - параллельными;

3. При АП пространства пересекающиеся плоскости остаются пересекающимися, параллельные - параллельными, а скрещивающиеся - скрещивающимися;

4. При АП сохраняются отношения площадей двух квадратов на плоскости и отношение объемов двух кубов в пространстве.

Формула аффинного преобразования плоскости:

Пусть на плоскости фиксирована аффинная система координат . Преобразование плоскости называется аффинным, если координаты образа выражаются через координаты прообраза по формулам

(1)

где - невырожденная матрица (матрица аффинного преобразования), координатные столбцы образа и прообраза (координатные столбцы радиус-векторов и ) соответственно, - координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (1) подчеркивается зависимость матрицы преобразования и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (1) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование.

Замечания:1. Столбец в (1) определяет координаты образа начала координат. Действительно, подставляя координаты точки в (1), получаем координаты точки . Можно сказать, что при аффинном преобразовании начало координат переносится на вектор а = 00, координатный столбец которого равен .

2. Аффинное преобразование (1) в любой другой аффинной системе координат задается формулами того же вида.

Действительно, пусть известны: матрица перехода от старого базиса к новому базису и координатный столбец вектора переноса начала координат (рис.2.17).

Тогда по формуле имеем:

где и - координатные столбцы точек (радиус-векторов , и , ) в старой и новой системах координат.

Подставляя в (1), получаем:

с матрицей и координатным столбцом вектора переноса.

Таким образом, связь матриц одного и того же аффинного преобразования в разных базисах, а также координатных столбцов вектора переноса, имеет вид:

(2)

где - матрицы ( - координатные столбцы вектора переноса) аффинного преобразования в старом и новом базисах, a - матрица перехода от старого базиса к новому.

Способы задания аффинного преобразования плоскости

Первый способ. Чтобы задать аффинное преобразование плоскости по определению, достаточно указать систему координат и формулы (1), т.е. задать невырожденную матрицу преобразования и координатный столбец в (1).

Второй способ. Пусть на плоскости заданы две аффинные системы координат: старая и новая (рис.2.18). Тогда существует единственное аффинное преобразование плоскости, которое каждой точке ставит в соответствие точку , координаты которой в новой системе координат совпадают с координатами точки в старой системе координат.

геометрический афинный матричный плоскость прямая

Действительно, пусть - вектор переноса начала координат, - матрица перехода от старого базиса к новому базису . Тогда, учитывая, имеем . Подставляя (координаты образа в новой системе координат совпадают с координатами прообраза в старой системе координат), получаем аффинное преобразование вида (1) с невырожденной матрицей и столбцом . Существование аффинного преобразования доказано. Докажем единственность от противного. Пусть преобразование удовлетворяет тем же условиям, что и , но для некоторой (хотя бы одной) точки образы и не совпадают. Тогда в новой системе координат разные точки и будут иметь равные координаты (такие же, как координаты точки в старой системе координат ), чего быть не может (см. пункт 1 замечаний). Полученное противоречие доказывает единственность аффинного преобразования.

Таким образом, аффинное преобразование может быть задано указанием двух аффинных систем координат. Говорят, что аффинное преобразование задано переходом от одной аффинной системы координат к другой.

Третий способ. Аффинное преобразование плоскости вполне определяется образами трех данных точек, не лежащих на одной прямой, т.е. существует единственное аффинное преобразование, переводящее три точки , не лежащие на одной прямой, в три точки , также не лежащие на одной прямой.

В самом деле, заданные точки и порождают две аффинные системы координат и , где и - пары базисных (неколлинеарных) векторов, и тем самым однозначно определяют аффинное преобразование.

Применение однородных координат

Если рассмотреть параллельный перенос, то оказывается, что для его задания матрицы 2x2 уже недостаточно. Но его можно задать с помощью матрицы размера 3x3. Появляется вопрос, откуда взять третью координату у двумерной точки?

Определение. Однородные координаты - координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число.

Однородными координатами вектора (х, у) является тройка чисел (x', y', h), где х = х' / h, у = y'/h, а h - некоторое вещественное число (случай, когда h = 0 является особым).

Прим. Данные координаты не позволяют однозначно задать точку плоскости. Например, (1, 1, 1) и (2, 2, 2) задают одну и ту же точку (1, 1). Предлагается взять набор (x, y, 1), который будет описывать все точки плоскости.

Матрица преобразования для однородных координат имеет размер 3х3. Рассмотрим некоторые преобразования в однородных координатах.

Сжатие/растяжение

Это преобразование умножает соответствующие координаты точек на коэффициенты масштабирования по осям: (x, y) -> (a_x * x, a_y * y). Матрица преобразования запишется следующим образом:

[a_x 0 0 ]

[0 a_y 0]

[0 0 1]

Где a_x - растяжение по оси x, a_y - растяжение по оси y.

Прим. Можно заметить, что при отрицательных значениях коэффициентов сжатия/растяжения происходит отражение относительно соответствующих осей. Этот случай можно включить в данное преобразование, а можно вынести в отдельное, сказав, что коэффициенты масштабирования принимают только положительные значения.

Поворот

Матрица поворота 2x2 была подробно разобрана ранее. Теперь она дополняется строкой и столбцом:

[cos(phi) sin(phi) 0]

[-sin(phi) cos(phi) 0]

[0 0 1phi = п

эта матрица задает центральную симметрию относительно начала координат, которая является частным случаем поворота. Можно заметить, что такую симметрию можно задать с помощью преобразования сжатия/растяжения (допуская отрицательные коэффициенты масштабирования).

Параллельный перенос

Исходный вектор (x, y) переходит в (x + tx, y + ty). Матрица преобразования запишется следующим образом:

Размещено на allbest.Ru