Исследование функции одной переменной

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование функции одной переменной

Исследование функции одной переменной y = f(x) является типичной задачей математического анализа. Как правило, это исследование проводится с целью определения координат характерных точек графика функции (точек экстремумов, перегибов, особых точек) и асимптот функции. Покажем выполнение такого исследования средствами пакета КМ.

Пример 2.11: Определите экстремумы, точки перегиба и асимптоты функции

= .(2.35)

Решение:

1) Задаем исследуемую функцию и строим ее график в форме, позволяющей составить полное представление о наличии экстремумов, точек перегиба и асимптот функции (см. рисунок 2.15а).

2) Для определения экстремумов функции находим ее первую производную p=p(x) и точки, в которых она обращается в нуль (см. рисунок 2.15б)

(2.36)

а б

Рисунок 2.15

В рассматриваемом случае функция p=p(x) - отношение полиномов, т.е. дробно-рациональная функция. Нули такой функции совпадают с корнями полинома числителя. Для их вычисления используем команду polyroots.

Примечание: В общем случае определение нулей производной выполняется путем решения уравнения р(х)=0, как это было показано в разделе 2.1.

Таким образом, производная p(x) равна нулю в трех точках:

.

Как следует из рисунка 2.15, xe1 и xe3 - абсциссы точки максимума и, соответственно - минимума функции; xe2 - абсцисса точки перегиба (см. ниже). Ординаты точек максимума и минимума функции соответственно равны

т.е.

т.е.

3) Для определения точек перегиба функции находим ее вторую производную d=d(x) и координаты точек, в которых она обращается в нуль

Для определения ее нулей также используем команду polyroots

.

Вычисляем координаты точек перегибов:

.

На рисунке 2.16а показан график второй производной функции. На рисунке 2.16б этот график показан в окрестности точки xp3=4,09, так как на рисунке 2.16а график в этой области не просматривается.

Видно, что в окрестностях всех точек xp1, xp2 и xp3 вторая производная меняет знак и, следовательно, это - точки перегиба функции y=f(x).

а б

Рисунок 2.16

4) Определяем коэффициент наклона k и коэффициент смещения b наклонной асимптоты по формулам

,

что дает

Таким образом, имеется наклонная асимптота .

Из рисунка 2.15 видно, что также имеется вертикальная асимптота х=-1. Горизонтальных асимптот нет.

а б

Рисунок 2.17

На рисунке 2.17а показан график функции с указанием на нем результатов исследования. На рисунке 2.17б показан график, иллюстрирующий характер приближения функции y=f(x) к наклонной асимптоте =x в окрестности правой точки перегиба. Видно, что асимптотическое приближение графика функции к этой асимптоте происходит снизу.

Ответ:

1) экстремумы: максимум (-1,924; -2,565), минимум (1,114; 1,486).

2) точки перегиба: (0; 2), (0,612; 1,741), (4,09; 4,06).

3) асимптоты: вертикальная x=-1; наклонная y=x.

Исследование функции двух переменных

В настоящем разделе рассматривается исследование функции двух переменных z=f(x,y) в заданной области G. Подобное исследование обычно сводится к построению графика и карты линий уровней функции, вычислению координат точек экстремумов и седловых точек, а также определению наибольшего и наменьшего значений функции в заданной области.

При проведении такого исследования нужно учитывать следующее:

1) Функция двух переменных z=f(x,y), дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области G, может иметь экстремум (максимум или минимум) только лишь в так называемых стационарных точках, т.е. в таких точках области G, где производные функции px(x,y)=df(x,y)/dx и py(x,y)=df(x,y)/dy равны нулю. Поэтому расчет координат стационарных точек сводится к определению вещественных корней системы алгебраических уравнений

px(x,y) = 0 py(x,y) = 0,(2.37)

принадлежащих области исследования функции G. Эта задача решается так, как показано в разделе 2.2.

2) Не всякая стационарная точка является точкой экстремума функции. Заключение о наличии экстремума функции в рассматриваемой стационарной точке (х0,у0) и определение его типа (минимум или максимум) выполняются одним из трех способов.

Первый способ основан на анализе знаков вторых производных функции

в рассматриваемой стационарной точке (при х=х0, у=у0) и соответствующего знака так называемого дискриминанта D

.

Если D>0, то в рассматриваемой стационарной точке функция имеет:

- минимум, если А>0, или С>0;

- максимум, если А<0, или С<0.

Если D?0, то заключение о наличии экстремума и поведении функции в окрестности рассматриваемой стационарной точки требует дополнительных исследований.

Второй способ основан на исследовании приращений функции z=f(x,y) в достаточно малой окрестности рассматриваемой стационарной точки (х0,у0). Для этого удобно ввести следующую функцию dz = dz(t)

(2.39)

одной переменной t, изменяющейся в интервале .

График этой функции наглядно показывает величину и знак приращений функции z=f(x,y) на границе круговой -окрестности радиуса с центром в рассматриваемой стационарной точке (х0,у0). Величина радиуса -окрестности должна быть достаточно малой с тем, чтобы исключить попадание в эту окрестность соседних стационарных точек. Обычно принимают =(2…3) TOL, где TOL - значение системной переменной, определяющей установленную точность вычислений (по умолчанию TOL=0,001).

Функция z=f(x,y) в рассматриваемой стационарной точке имеет:

- минимум, если dz(t) > 0;

- нестрогий минимум, если ;

- максимум, если dz(t) < 0;

- нестрогий максимум, если ;

- седло, если dz(t) - знакопеременная функция.

Третий способ основан на построении и анализе графиков сечений функции в окрестности найденной точки.

3) Экстремум функции называется внутренним (локальным), если соответствующая стационарная точка расположена внутри области G, или - граничным, если эта точка лежит на границе области. Различают также обычный (описанный выше) и условный экстремумы.

Условным экстремумом функции z = f(x,y) называется экстремум этой функции, достигаемый при условии, что переменные х и у связаны уравнением связи (для обычного экстремума х и у - независимые переменные)

.

Если это уравнение описывает границу области G, то условный и граничный экстремумы функции совпадают друг с другом.

Отыскание условного экстремума функции можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа

,

где - неопределенный постоянный множитель.

4) Следует различать экстремум функции (максимум или минимум) от ее наибольшего и наименьшего значений. Последние достигаются во внутренних стационарных точках области G, или на границах этой области.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области G необходимо:

1) найти стационарные точки, расположенные внутри области и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области (на линиях, образующих границу области);

3) из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Пример 2.12: Изобразите график и линии уровня функции двух переменных

= (2.40)

В заданной области (см. рисунок 2.18,а). Опишите поведение функции в этой области: укажите координаты локальных экстремумов и седловых точек, если они есть, определите наибольшее и наименьшее значения функции в этой области.

Решение: экстремум polyroots координата множитель

1) С помощью функции CreateMesh строим график (см .рисунок 2.19а) и карту линий уровня (см. рисунок 2.19б) исследуемой функции в прямоугольной области, накрывающей заданную область G (см. рисунок 2.18б)

а б

Рисунок 2.18

Примечание: рисунок. 2.18 создается с помощью любого графического или текстового редактора (даже из Word) и встраиваются в рабочее поле пакета КМ с помощью буфера обмена данных.

2) Для выделения на внешнем фоне граничной области задаем «функцию-пьедестал» области , строим ее график (см. рисунок 2.20а) и карту линий уровня (см. рисунок 2.20б)

а б

Рисунок 2.19

а б

Рисунок 2.20

3) Задаем исследуемую функцию в заданной области, строим ее график (см. рисунок 2.21а) и карту линий уровня (см. рисунок 2.21б)

а б

Рисунок 2.21

4) Проводим исследование функции в заданной области.

4.1) Определяем координаты стационарных точек

Символьное решение не всегда дает все корни. Поэтому для вычисления координат стационарных точек используем численное решение. При этом каждое начальное приближение берем из рисунка 2.21б

4.2) Наносим стационарные точки из на исследуемую область (см. рисунок 2.22а). Задаем уравнения верхней и нижней границ исследуемой области и строим ее график (см. рисунок 2.22б)

Из рисунка 2.21б видно, что точка (xc1,yc1) - точка минимума, точка (xc2,yc2) - седловая точка. В этих точках соответственно имеем

т.е.

т.е.

Точка (xc3,yc3) выходит за границы области (см. рисунок 2.22а).

а б

Рисунок 2.22

5) Проводим исследование функции на границе области.

5.1) Задаем уравнение границы области в параметрической форме и строим ее график (см. рисунок 2.22,б)

Примечание: при выполнении п. 5.1 используются следующие правила:

1) участок границы области, представляющий собой кривую y=f(x), заданную на интервале , в параметрической форме записывается в виде

xg(t) = t, yg(t) = f(t),

где ;

2) участок границы области, представляющий собой отрезок прямой, проходящей через точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2), в параметрической форме записывается в виде

, ,

где и - значения параметра , соответствующие началу и концу отрезка.

Задаем значения исследуемой функции на границе области и строим их график (см. рисунок 2.23)

5.2) Затем с помощью рисунка 2.23 и команды Minerr определяем наибольше и наименьшее значения функции на границе области

Рисунок 2.23

6) Определяем наименьшее и наибольше значения функции в заданной области.

Наименьшее значение функция имеет в ранее найденной точке локального минимума, т.е . Наибольшее значение функция имеет на границе при , т.е. .

Ответ: Функция (1) в области G имеет локальный минимум z_min=0 в точке (0;0) и седло zs=1,82 в точке(2,029;0). Наибольшее и наименьшее значения функции соответственно равны znb=3,543 (в точке (1,909; -1,781) и znm=0 (в точке (0;0)).

Размещено на Allbest.ru