Типовые задачи анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Типовые задачи анализа

К типовым задачам анализа, рассматриваемым в этой главе, относятся расчет корней алгебраического уравнения и системы алгебраических уравнений, исследование функции одной или нескольких (двух) переменных, разложение функции в ряд Тейлора и ряд Фурье, вычисление производных и интегралов, а также решение типовых прикладных задач математического анализа. Эти задачи часто встречаются при проведении инженерных расчетов.

Решение алгебраических уравнений

Большинство задач, встречающихся в практике инженерных расчетов, сводится к вычислению корней так или иначе заданного уравнения. Поэтому изучение способов решения этой задачи средствами пакета компьютерной математики (КМ) имеет важное практическое значение.

Алгебраическое уравнение обычно можно привести к виду f(x)=0, в частности уравнение f1(x)=f2(x) равносильно уравнению f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x). Значение переменной x, подстановка которого в уравнение обращает его в тождество, называется корнем уравнения. Уравнение может иметь один или множество корней, которые, в свою очередь, могут быть действительными (вещественными) или комплексными (мнимыми).

Расчет вещественных корней уравнения f(x) = 0

Как отмечалось в предыдущем материале, для вычисления корня х=kor уравнения f(x)=0 в пакете КМ можно использовать следующие команды и программные модули: алгебраический уравнение интеграл

- команду root x : = np kor : = root(f(x),x),

- блок Given - Find x : = np Given kor : = Find(x),

- блок Given - Minerr x : = np Given kor : = Minerr(x) .

Переменной x перед использованием этих команд необходимо присвоить числовое начальное приближенное значение . Это значение используется в качестве начального приближения к искомому корню и его выбор влияет на решение, если уравнение имеет несколько корней.

Факт наличия нескольких вещественных (действительных) корней устанавливается по результатам просмотра графика функции y=f(x) и определения числа пересечений этого графика с осью абсцисс. По завершение расчетов рекомендуется проверить правильность вычисления корней подстановкой их значений в уравнение f(x)=0. При правильном расчете это уравнение должно обращаться в тождество в рамках заданной точности вычислений, которая определяется значением системной переменной TOL (по умолчанию TOL=0.001).

Во многих случаях можно получить точное решение уравнения с помощью символьного процессора пакета КМ и команды solve (см. ранее, пример 1.24). Этой возможностью никогда не следует пренебрегать. Однако в тех случаях, когда символьное решение невозможно, используется численное решение.

Пример 2.1: Определите все вещественные корни уравнения

= 4 (2.1)

Решение:

1) Приводим уравнение (2.1) к виду f(x)=0, где в данном случае

(2.2)

2) Попытка найти решения этого уравнения в символьном виде оказывается успешной

Найденные два корня уравнения являются элементами вектора kor

или, в числовом виде т.е.

, . (2.3)

Проверка правильности расчета дает:

или

Примечание: здесь при выводе значений скалярной функции f(x) используется операция векторизации (надстрочный символ "стрелка"), что позволяет вычислять значения этой функции для векторного аргумента x=kor.

Таким образом, уравнение (2.1) имеет два вещественных корня (2.3).

На этом можно было бы остановиться. Однако, обсудим полученный результат подробнее. Во-первых, его геометрической иллюстрацией является то, что график функции (2.2) пересекает ось абсцисс только в двух точках x=x1 и x=x2, как это показано на рисунке 2.1. Во-вторых, из этого рисунка видно, что пакет КМ строит график функции y=f(x) только лишь в области допустимых значений ее аргумента, когда соответствующие значения функции - вещественные числа.

В данном примере эта область определяется условиями

, ,

что равносильно неравенствам , . Действительно, с помощью команды solve находим

т.е. х - любое число;

, т.е. .

В области функция (2.2) имеет комплексные значения несмотря на то, что х - действительное число. Это связано с наличием в уравнении (2.1) радикалов. В частности, при х=0,5, х=1,0 и х=1,5 соответственно получаем

.

На рисунке 2.2 график функции (2.2) дополнен графиками ее вещественной и мнимой частей: Re=Re(f(x)) и Im=Im(f(x)) соответственно. Видно, что если x<1/3, или x>2, то Re(f(x))=f(x), а Im(f(x))=0, т.е. по умолчанию пакет КМ строит график функции y=f(x) лишь в такой области значений ее аргумента, где соответствующие значения функции - действительные числа.

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

Поэтому при определении корней уравнения f(x)=0 построение и анализ графика функции y=f(x) позволяют придать задаче ясный геометрический смысл и часто упрощают ее решение.

В следующем примере рассматривается случай, когда уравнение f(x)=0 имеет большое число вещественных корней.

Пример 2.2: Определите все вещественные корни уравнения

= 4 (2.4)

Решение:

1) Приводим уравнение (2.4) к виду f(x) = 0, где в данном случае

(2.5)

2) Попытка решить уравнение (2.4) в символьном виде не дает результатов

No solution was found

так как это уравнение, будучи трансцендентным, не имеет корней, выражаемых через элементарные алгебраические функции (в лучшем случае может быть найден один из нескольких корней). Поэтому вещественные корни этого уравнения находим "графическим" способом. Для этого строим график функции (2.5) (см. рисунок 2.3,а) и определяем абсциссы точек его пересечений с осью абсцисс. Из рисунка 2.3 видно, что таких точек шесть. Последовательно применяя к каждой из них команду root, находим

Корни: Проверка:

Здесь значения вещественных корней уравнения объединены в вектор , состоящий из шести элементов , где j=1,2,...,6. Номер первого элемента вектора , определяемый значением системной переменной ORIGIN, принят равным единице. Вектор-столбец корней уравнения удобно записать в виде вектора - строки (Т-символ транспонирования, см. пример 1.27)

. (2.6)

Таким образом, график функции (2.5) имеет шесть пересечений с осью абсцисс и, следовательно, уравнение (2.4) имеет шесть вещественных корней (2.6).

а б

Рисунок 2.3 - График функции, имеющей несколько (шесть) корней.

На рисунке 2.3,б символом "кружок" показаны нули функции (2.5), т.е. корни уравнения (2.4). Для этого строится еще один "график", ординатами которого являются значения функции (2.5) при x=kj, а абсциссами - найденные значения корней.

Отдельно отмечен диапазон -12<x<10, в котором эти корни локализованы. Для вычисления всех вещественных корней уравнения, расположенных в интервале xn<x<xv (в данном случае в интервале -12<x<10) можно пользоваться следующей рекуррентной процедурой их поиска [1]

(2.7)

.

В этом случае начальные приближения задаются в виде вектора , который содержит точек , равномерно распределенных в интервале xn<x<xv, а вычисление корней выполняется с помощью функции root для последовательно изменяющихся начальных приближений. В данном примере это дает

Сравнивая полученный результат с прежними значениями корней (2.6), видим, что вектор korT состоит из чисел и содержит все ранее найденные корни. Правда, некоторые из них повторяются, что является недостатком такого способа их вычисления. Его можно устранить, если воспользоваться процедурой сортировки элементов вектора в порядке их возрастания с помощью встроенной функции sort. Применяя эту функцию к вектору korT, получим

После этого нужно "вычеркнуть" лишние (совпадающие) корни - в данном случае: -11,474, 4,449 и 5,817.

Эту операцию можно "поручить" компьютеру, если несколько усложнить процедуру сортировки корней. Вектор korS корней уравнения (2.4), полученный в результате такой сортировки, содержит только отличающиеся друг от друга корни.

Решение уравнений с параметром

Часто приходится исследовать зависимость корней уравнения

f(x,a) = 0 (2.8)

от значений некоторого параметра a, также входящего в уравнение. Особенности решения такой задачи рассматриваются в двух следующих примерах.

Пример 2.3: Определите зависимость вещественных корней уравнения

= (2.9)

от значений параметра a = 1,2,3,...,10.

Решение:

1) Приводим уравнение (2.9) к виду f(x,a) = 0, где в данном случае

. (2.10)

Несложно доказать, что уравнение (2.9) имеет вещественные корни только в случае a>0.



Рисунок 2.4

Для более детального анализа возможных результатов построим семейство графиков функции y=f(x,a) для а=1,2,3 (см. рисунок 2.4). Из этих графиков видно, что уравнение (2.9) может иметь не более трех вещественных корней, причем один из них всегда отрицательный, а два других - положительные. С помощью графиков, показанных на рисунке 2.4, и функции root можно для каждого значения параметра а определить соответствующее начальное приближение и корни уравнения (2.9). Однако такой способ решения задачи при большом числе значений параметра а окажется весьма трудоемким (например, в рассматриваемом примере общее число корней для а=1,2,...,10 равно 29). Поэтому вычисление всех вещественных корней уравнения f(x,a)=0 рекомендуется проводить в следующем порядке:

1) Определить параметр а как дискретную переменную и задать начальное приближение к одному из искомых корней, например ;

2) Определить функцию koR =koR(x,a), решающую уравнение (2.9) для заданного значения параметра а

и вычислить корни уравнения с помощью рекуррентной формулы

, (2.11)

что дает

В формуле (2.11) каждое предыдущее значение корня используется в качестве начального приближения для расчета последующего корня и поэтому в рассматриваемом примере всегда остается отрицательным. В результате с помощью описанного алгоритма оказывается невозможным определить положительные корни уравнения (2.9). Поэтому для вычисления всех корней этого уравнения более удобной оказывается процедура, использующая возможность Пакета КМ решать уравнение в блоке Given ... Find. В этом случае при использовании начального приближения х=-1 получаем результаты, которые полностью совпадают с ранее полученными

В случае х=2 (см. рисунок 2.4) получаем

Таким образом, изменяя начальное приближение (например, принимая х=4 (см. рисунок 2.6)), можно находить значения корней, примыкающих к заранее выбранной точке начального приближения и тем самым находить все корни уравнения для каждого значения параметра а.

Если f(x,a) - полином, коэффициенты которого зависят от параметра a, более удобным способом вычисления всех корней уравнения (2.8) является использование встроенной функции polyroots [23].

Расчет комплексных корней

Для определения комплексного корня уравнения f(x)=0 с помощью функции root начальное приближение нужно задать в виде комплексного числа

x = a + ib,

где i= - мнимая единица; a,b - предполагаемые действительная и мнимая части корня. Поэтому все, что рассматривалось выше применительно к расчету вещественных корней уравнения f(x)=0, сохраняет силу. Вместе с тем, расчет комплексных корней такого уравнения имеет ряд особенностей, которые рассматриваются ниже.

Прежде всего рассмотрим случай, когда функция y=f(x) представляет собой полином, т.е. имеет вид

f(x) = . (2.12)

В этом случае для расчета всех корней уравнения f(x) = 0 можно использовать команду polyroots(A), где A - вектор-столбец n+1 коэффициентов полинома (2.12)

= [ ].

Использование этой функции не требует задания начального приближения, а число корней полинома всегда равно его степени n. Если коэффициенты - вещественные, то комплексные корни уравнения f(x) = 0 комплексно - сопряженные. Если же коэффициенты полинома комплексные, то это утверждение в общем случае не выполняется.

Пример 2.4: Определите все (в том числе комплексные) корни уравнения. Дайте графическую иллюстрацию результатов.

= 0

Решение: Уравнение (2.13) приводится к виду f(x)=0, где f(x) - полином (2.12)

(2.13)

Поэтому для вычисления корней этого уравнения применим команду polyroots. Введем вектор коэффициентов полинома, перечисляя их в порядке нарастания степени (а также учитывая, что коэффициент при равен нулю) и, применяя к этому вектору команду polyroots, получим

,

т.е. уравнение (2.13) имеет два вещественных корня х 1=-1.291, х 2=0.961 и два комплексно - сопряженных корня x3=0.165-0.945i и x4=0.165+0.945i.

Наличие двух вещественных корней означает, что график функции y = f(x) пересекает ось абсцисс в двух точках, как это показано на рисунке 2.5. Более полную графическую иллюстрацию результатов дает размещение всех корней уравнения (2.13) на комплексной плоскости (a,ib), показанное на рисунке 2.6. Симметричное расположение комплексных корней относительно вещественной оси является следствием их сопряженности.

Рисунок 2.5 Рисунок 2.6

Вектор коэффициентов полинома (2.12) можно задавать вручную, заполняя матрицу соответствующего размера, или с помощью команды coeffs (см. пример 1.21). Последняя возможность особенно удобна, когда полином (2.12) задан не в явном виде, например

В этом случае

.

Пример 2.5: Определите все (в том числе комплексные) корни уравнения

=0 (2.14)

Решение: В отличие от уравнения (2.13) функция f(x) - полином с комплексными коэффициентами. Корни такого полинома также можно вычислить с помощью команды polyroots. Для этого введем вектор коэффициентов полинома (2.11) и применим к нему эту команду (рисунок 2.7).

Таким образом, уравнение (2.11) имеет четыре комплексных корня, причем среди них нет комплексно-сопряженных корней.

Размещение этих корней на комплексной плоскости (a,ib) показано на рисунке 2.8.

Рисунок 2.7

Видно, что в данном случае отсутствует симметрия корней, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях.

Рисунок 2.8

Используя замену переменных, можно в некоторых случаях привести уравнение f(x) = 0 общего вида к уравнению F(u)=0, где F(u) - полином (2.12). Например, с помощью подстановки u=ln(x) уравнение

= 4

приводится к виду

= 0 .

Корни такого полинома несложно определить с помощью команды polyroots [23].

Рассмотрим теперь случай, когда y=f(x) - произвольная функция. Поскольку аргумент x=a+ib этой функции комплексный, можно записать

y = f(x) = f(a+ib) = V(a,b) + i M(a,b), (2.15)

где V(a,b)=Re(f(a+ib)), M(a,b)=Im(f(a + ib)) -

соответственно действительная и мнимая части функции f(x), каждая из которых представляет собой функцию двух вещественных переменных a,b. Поэтому уравнение f(x)=0 оказывается равносильным системе двух уравнений

V(a,b) = 0, (2.16)

M(a,b) = 0

или одному уравнению с двумя неизвестными

Z(a,b) = 0, (2.17)

где Z(a,b) - модуль комплексной функции

y=f(a+ib)

. (2.18)

Заметим, что . Поэтому точки (a,b), в которых выполняется условие (2.17), - это точки глобальных минимумов функции двух переменных (2.18). Следовательно, расчет комплексных корней уравнения f(x) = 0 сводится к определению всех вещественных корней системы двух уравнений (2.16), или нахождению точек глобальных минимумов функции двух переменных (2.18).

Пример 2.6: Определите все (в том числе комплексные) корни уравнения

= (2.19)

Решение:

1) Приводим уравнение (2.19) к виду f(x)=0, где

и вводим модуль Z=Z(a,b) комплексной функции y=f(a+ib)

. (2.20)

2) Для того, чтобы получить примерное представление о составе корней уравнения (2.19) строим карту линий уровней (см. рисунок 2.9,а) и график (см. рисунок 2.9,б) функции Z=Z(a,b) в области ; , границы которой подбираются так, чтобы локализовать все корни

На этих рисунках видно наличие четырех комплексных корней. Кроме того, сам термин "корни уравнения" приобретает здесь сходный геометрический смысл - в соответствии с рисунком 2.9,б, это такие точки на комплексной плоскости (a,ib), из которых "растет дерево" функции Z=Z(a,b).

Более четкое представление о составе и размещении корней рассматриваемого уравнения на комплексной плоскости может дать карта линий уровней функции Zn(a,b) = , где показатель степени q подбирается экспериментально [23].

а б

Рисунок 2.9

Пример 2.7: Определите все (в том числе комплексные) корни уравнения

=

Решение:

1) Приводим уравнение (2.21) к виду f(x)=0, где

(2.21)

Попытка решить это уравнение в символьном виде не дает результатов. Поэтому находим вещественные корни уравнения (2.21) "графическим" способом. Для этого строим график функции y = f(x) (рисунок 2.10).

Рисунок 2.10

Интересной особенностью этого графика является то, что условие f(x)=0 выполняется для всех значений x, принадлежащих отрезку . Поэтому вещественными корнями уравнения (2.21) является бесконечное множество вещественных чисел, заполняющих отрезок .

2) Для определения комплексных корней уравнения (2.21) вводим модуль Z=Z(a,b) комплексной функции

y=f(a+ib)

(2.22)

На рисунке 2.11 показаны карта (а) и график (б) этой функции в области

-20<a<20; -20<b<20.

Из рисунка 2.11,а видно, что условие Z(a,b)=0 выполняется для всех точек комплексной плоскости, заполняющих область между двумя гиперболическими кривыми. На рисунке 2.11,а эта область не заполнена контурными линиями, а на рисунке 2.11,б она является "дном оврага".

Для более четкой локализации границ этой области можно ввести так называемый "пьедестал" функции Mn = Mn(a,b).

(2.23)

а б

Рисунок 2.11

Карта линий уровней и график этой функции, показанные соответственно на рисунке 2.12,а и рисунке 2.12,б, позволяют составить более четкое представление об области комплексных корней уравнения (2.21).



а б

Рисунок 2.12

Решение системы алгебраических уравнений

С решение систем алгебраических уравнений приходится сталкиваться столь же часто, как и с решением обычных уравнений. Особенно сложным является решение системы нелинейных уравнений. В этом случае нужно сначала убедиться в наличии решений и определить их число, а затем найти каждое из них. Покажем особенности применения пакета КМ для решения такой задачи.

Решение системы нелинейных уравнений

Пример 2.8: Определите все вещественные корни системы уравнений. Дайте графическую иллюстрацию результатов.

. (2.24)

Решение:

1) Пытаемся получить точное решение системы (2.24) в блоке Givеn-Find с символьным выводом результатов



Таким образом, система имеет два решения (9,3,1) и (1,3,9).

Точное решение системы уравнений можно получить также с помощью команды solve

.

Применение команд Find и solve не всегда возможно или обеспечивает получение всех решений. В этом случае задачу решают численно, как показано ниже.

2) Пытаемся найти корни "графическим" способом. Для этого приводим исходную систему трех уравнений (2.22) к системе двух уравнений относительно переменных x и y. Используя первое уравнение системы, с помощью команды solve найдем зависимость z от x и y

т.е. (2.26)

Подстановка этой зависимости во второе и третье уравнения системы (2.24), выполненная с помощью команды substitute

,

обращает ее в равносильную систему двух уравнений



(2.27)

Решая первое уравнение этой системы относительно переменной y, находим

Следовательно, кривая y1=y1(x), соответствующая первому уравнению системы, описывается двумя функциями

.

Из графиков этих функций, показанных на рисунке 2.13, видно, что эта кривая - эллипс. Решая второе уравнение системы (2.27) относительно переменной y, находим

Следовательно, кривая y2=y2(x), соответствующая второму уравнению системы, также описывается двумя функциями



Из рисунка 2.13 видно, что это тоже эллипс. Координаты точек пересечений двух эллипсов соответствуют корням системы уравнений (2.27).

Таких точек две и их приближенные координаты (х, у) несложно определить с помощью рисунка 2.23, а соответствующие приближенные значения переменной z вычислить по формуле (2.26). После этого можно вернуться к исходной системе уравнений (2.24) и найти ее численное решение в блоке Given ...... Find.

Полученные результаты совпадают с точным решением (2.25).



Рисунок 2.13

Ответ: система (2.24) имеет два решения: (9,3,1) и (1,3,9).

Рассмотренный способ решения задачи возможен, если уравнения, образующие систему, разрешаются относительно той, или иной переменной. В противном случае решение системы уравнений

f1(x1,x2,...,xn) = 0

fn(x1,x2,...,xn) = 0 (2.28)

равносильно поиску координат точки глобального минимума следующей функции n переменных

F(x1,x2,.......,xn) = ,

т.е. рассматриваемая задача приводится к задаче поиска минимума функции n переменных. Общие подходы к решению такой задачи показаны в разделах предыдущего материала.

Пример 2.9: Определите все вещественные корни системы уравнений

(2.30)

Решение:

1) Попытка получить решение системы (2.30) в символьном виде является безуспешной.

No solution was found

2) Приводим систему (2.30) к виду

f1(x,y) = 0

f2(x,y) = 0, (2.31)

где

и вводим функцию двух переменных х, у

.

На рисунке 2.14,а показан график, а на рисунке 2.14,б - карта линий уровней функции

Q(x,y) = F(x,y)q, (2.32)

где показатель степени q подбирается из соображений наглядности этих графиков (для показанных графиков q=0,3). Видно наличие двух точек, в которых Q(x,y)=0 и, следовательно, F(x,y)=0. С помощью рисунка 2.14,б находим приближенные координаты (х, у) этих точек и используем их в качестве начального приближения



а б

Рисунок 2.14

Ответ: система имеет два решения (-0,97,-1,03), (0,97, 1,03).

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Для решения системы линейных уравнений вида

= B (2.32)

можно использовать команду lsolve(A,B), которая возвращает вектор решения Х, соответствующий заданным матрице коэффициентов А и вектору свободных членов В уравнений системы (2.32). Если число уравнений системы равно n, то размер вектора В должен быть равен n, а матрицы А - n х n .

Решение такой системы уравнений можно также получить с помощью матричного выражения

X=A-1B. (2.33)

Пример 2.10: Определите решение системы уравнений

(2.34)

Решение: Задаем матрицу коэффициентов А и вектор свободных членов В рассматриваемой системы уравнений

.

2) Находим решение системы с помощью команды lsolve и по формуле (2.29)

.

или .

Результаты расчетов совпадают друг с другом.

Исследование функции одной переменной

Исследование функции одной переменной y = f(x) является типичной задачей математического анализа. Как правило, это исследование проводится с целью определения координат характерных точек графика функции (точек экстремумов, перегибов, особых точек) и асимптот функции. Покажем выполнение такого исследования средствами пакета КМ.

Пример 2.11: Определите экстремумы, точки перегиба и асимптоты функции

= . (2.35)

Решение:

1) Задаем исследуемую функцию и строим ее график в форме, позволяющей составить полное представление о наличии экстремумов, точек перегиба и асимптот функции (см. рисунок 2.15а).

2) Для определения экстремумов функции находим ее первую производную p=p(x) и точки, в которых она обращается в нуль (см. рисунок 2.15б)

(2.36)

а б

Рисунок 2.15

В рассматриваемом случае функция p=p(x) - отношение полиномов, т.е. дробно-рациональная функция. Нули такой функции совпадают с корнями полинома числителя. Для их вычисления используем команду polyroots.

Примечание: В общем случае определение нулей производной выполняется путем решения уравнения р(х)=0, как это было показано в разделе 2.1.

Таким образом, производная p(x) равна нулю в трех точках:

.

Как следует из рисунка 2.15, xe1 и xe3 - абсциссы точки максимума и, соответственно - минимума функции; xe2 - абсцисса точки перегиба (см. ниже). Ординаты точек максимума и минимума функции соответственно равны

т.е.

т.е.

3) Для определения точек перегиба функции находим ее вторую производную d=d(x) и координаты точек, в которых она обращается в нуль

Для определения ее нулей также используем команду polyroots

.

Вычисляем координаты точек перегибов:

.

На рисунке 2.16а показан график второй производной функции. На рисунке 2.16б этот график показан в окрестности точки xp3=4,09, так как на рисунке 2.16а график в этой области не просматривается.

Видно, что в окрестностях всех точек xp1, xp2 и xp3 вторая производная меняет знак и, следовательно, это - точки перегиба функции y=f(x).

а б

Рисунок 2.16

4) Определяем коэффициент наклона k и коэффициент смещения b наклонной асимптоты по формулам

,

что дает

Таким образом, имеется наклонная асимптота .

Из рисунка 2.15 видно, что также имеется вертикальная асимптота х=-1. Горизонтальных асимптот нет.

а б

Рисунок 2.17

На рисунке 2.17а показан график функции с указанием на нем результатов исследования. На рисунке 2.17б показан график, иллюстрирующий характер приближения функции y=f(x) к наклонной асимптоте =x в окрестности правой точки перегиба. Видно, что асимптотическое приближение графика функции к этой асимптоте происходит снизу.

Ответ:

1) экстремумы: максимум (-1,924; -2,565), минимум (1,114; 1,486).

2) точки перегиба: (0; 2), (0,612; 1,741), (4,09; 4,06).

3) асимптоты: вертикальная x=-1; наклонная y=x.

Исследование функции двух переменных

В настоящем разделе рассматривается исследование функции двух переменных z=f(x,y) в заданной области G. Подобное исследование обычно сводится к построению графика и карты линий уровней функции, вычислению координат точек экстремумов и седловых точек, а также определению наибольшего и наменьшего значений функции в заданной области.

При проведении такого исследования нужно учитывать следующее:

1) Функция двух переменных z=f(x,y), дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области G, может иметь экстремум (максимум или минимум) только лишь в так называемых стационарных точках, т.е. в таких точках области G, где производные функции px(x,y)=df(x,y)/dx и py(x,y)=df(x,y)/dy равны нулю. Поэтому расчет координат стационарных точек сводится к определению вещественных корней системы алгебраических уравнений

px(x,y) = 0 py(x,y) = 0, (2.37)

принадлежащих области исследования функции G. Эта задача решается так, как показано в разделе 2.2.

2) Не всякая стационарная точка является точкой экстремума функции. Заключение о наличии экстремума функции в рассматриваемой стационарной точке (х 0,у 0) и определение его типа (минимум или максимум) выполняются одним из трех способов.

Первый способ основан на анализе знаков вторых производных функции

в рассматриваемой стационарной точке (при х=х 0, у=у 0) и соответствующего знака так называемого дискриминанта D

.

Если D>0, то в рассматриваемой стационарной точке функция имеет:

- минимум, если А>0, или С>0;

- максимум, если А<0, или С<0. (2.38)

Если D?0, то заключение о наличии экстремума и поведении функции в окрестности рассматриваемой стационарной точки требует дополнительных исследований.

Второй способ основан на исследовании приращений функции z=f(x,y) в достаточно малой окрестности рассматриваемой стационарной точки (х 0,у 0). Для этого удобно ввести следующую функцию dz = dz(t)

(2.39)

одной переменной t, изменяющейся в интервале .

График этой функции наглядно показывает величину и знак приращений функции z=f(x,y) на границе круговой -окрестности радиуса с центром в рассматриваемой стационарной точке (х 0,у 0). Величина радиуса -окрестности должна быть достаточно малой с тем, чтобы исключить попадание в эту окрестность соседних стационарных точек. Обычно принимают =(2…3) TOL, где TOL - значение системной переменной, определяющей установленную точность вычислений (по умолчанию TOL=0,001).

Функция z=f(x,y) в рассматриваемой стационарной точке имеет:

- минимум, если dz(t) > 0;

- нестрогий минимум, если ;

- максимум, если dz(t) < 0;

- нестрогий максимум, если ;

- седло, если dz(t) - знакопеременная функция.

Третий способ основан на построении и анализе графиков сечений функции в окрестности найденной точки.

3) Экстремум функции называется внутренним (локальным), если соответствующая стационарная точка расположена внутри области G, или - граничным, если эта точка лежит на границе области. Различают также обычный (описанный выше) и условный экстремумы.

Условным экстремумом функции z = f(x,y) называется экстремум этой функции, достигаемый при условии, что переменные х и у связаны уравнением связи (для обычного экстремума х и у - независимые переменные)

.

Если это уравнение описывает границу области G, то условный и граничный экстремумы функции совпадают друг с другом.

Отыскание условного экстремума функции можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа

,

где - неопределенный постоянный множитель.

4) Следует различать экстремум функции (максимум или минимум) от ее наибольшего и наименьшего значений. Последние достигаются во внутренних стационарных точках области G, или на границах этой области.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области G необходимо:

1) найти стационарные точки, расположенные внутри области и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области (на линиях, образующих границу области);

3) из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Пример 2.12: Изобразите график и линии уровня функции двух переменных

= (2.40)

В заданной области (см. рисунок 2.18,а). Опишите поведение функции в этой области: укажите координаты локальных экстремумов и седловых точек, если они есть, определите наибольшее и наименьшее значения функции в этой области.

Решение:

1) С помощью функции CreateMesh строим график (см.рисунок 2.19а) и карту линий уровня (см. рисунок 2.19б) исследуемой функции в прямоугольной области, накрывающей заданную область G (см. рисунок 2.18б).

Примечание: рисунок. 2.18 создается с помощью любого графического или текстового редактора (даже из Word) и встраиваются в рабочее поле пакета КМ с помощью буфера обмена данных.

а б

Рисунок 2.18



а б

Рисунок 2.19

2) Для выделения на внешнем фоне граничной области задаем "функцию-пьедестал" области , строим ее график (см. рисунок 2.20а) и карту линий уровня (см. рисунок 2.20б)

а б

Рисунок 2.20

3) Задаем исследуемую функцию в заданной области, строим ее график (см. рисунок 2.21а) и карту линий уровня (см. рисунок 2.21б)



а б

Рисунок 2.21

4) Проводим исследование функции в заданной области.

4.1) Определяем координаты стационарных точек

Символьное решение не всегда дает все корни. Поэтому для вычисления координат стационарных точек используем численное решение. При этом каждое начальное приближение берем из рисунка 2.21б

4.2) Наносим стационарные точки из на исследуемую область (см. рисунок 2.22а). Задаем уравнения верхней и нижней границ исследуемой области и строим ее график (см. рисунок 2.22б)

Из рисунка 2.21б видно, что точка (xc1,yc1) - точка минимума, точка (xc2,yc2) - седловая точка. В этих точках соответственно имеем

т.е.

т.е.

Точка (xc3,yc3) выходит за границы области (см. рисунок 2.22а).

а б

Рисунок 2.22

5) Проводим исследование функции на границе области.

5.1) Задаем уравнение границы области в параметрической форме и строим ее график (см. рисунок 2.22,б)

Примечание: при выполнении п. 5.1 используются следующие правила:

1) участок границы области, представляющий собой кривую y=f(x), заданную на интервале , в параметрической форме записывается в виде

xg(t) = t, yg(t) = f(t),

где ;

2) участок границы области, представляющий собой отрезок прямой, проходящей через точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2), в параметрической форме записывается в виде

, ,

где и - значения параметра , соответствующие началу и концу отрезка.

Задаем значения исследуемой функции на границе области и строим их график (см. рисунок 2.23)

5.2) Затем с помощью рисунка 2.23 и команды Minerr определяем наибольше и наименьшее значения функции на границе области



Рисунок 2.23

6) Определяем наименьшее и наибольше значения функции в заданной области.

Наименьшее значение функция имеет в ранее найденной точке локального минимума, т.е . Наибольшее значение функция имеет на границе при , т.е. .

Ответ: Функция (1) в области G имеет локальный минимум z_min=0 в точке (0;0) и седло zs=1,82 в точке(2,029;0). Наибольшее и наименьшее значения функции соответственно равны znb=3,543 (в точке (1,909; -1,781) и znm=0 (в точке (0;0)).

Задачи на плоскости

В данном разделе рассматривается следующая задача: нужно определить (и построить) все касательные и нормали к графику функции y=f(x), проведенные из заданной точки (x0,y0). Их можно построить с помощью карандаша и линейки. Поэтому решение этой задачи средствами пакете КМ представляет особый интерес.

Будем использовать следующие формулы:

1) Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2) (см. рисунок 2.24а), имеет вид:

yp(x)=y1+Sp·(x-x1) (2.46)

где Sp - коэффициент наклона прямой

Sp=(y2-y1)/(x2-x1);

2) Уравнение касательной к графику функции y=f(x), проведенной к точке K, лежащей на кривой (см. рисунок 2.24б), имеет вид:

=, (2.47)

где Xk, Yk=f(Xk) - координаты точки касания;

- производная функции y=f(x) в точке x=Xk;

3) Уравнение нормали к графику функции y=f(x), проведенной в точке N, лежащей на кривой (рис.2.24,в), имеет вид:

=, (2.48)

где Xn, Yn=f(Xn) - координаты точки N;

- производная функции y=f(x) в точке x=Xn.

Примечание: формулы (2.47) и (2.48) решают поставленную задачу в случае, если точка лежит на графике функции y=f(x), как показано на рисунках 2.24б и 2.24в. Поэтому ниже считается, что эта точка лежит вне графика функции.

Основная идея решения - подчинить выбор параметров прямой (2.46) условиям ее совпадения с прямыми (2.47) и (2.48).

а б в

Рисунок 2.24

Найдем сначала уравнения всех касательных, проведенных к графику функции y=f(x) из точки (x0,y0). В этом случае уравнения (2.46) и (2.47) нужно приравнять друг другу, а в уравнении (2.46) принять:

x1 = Xk, y1 = Yk = f(Xk).

В результате придем к равенству:

=. (2.49)

Отсюда получим уравнение, в котором неизвестной величиной является абсцисса точки касания Xk:

. (2.50)

Если это уравнение имеет несколько вещественных корней, то искомых касательных также несколько. Ордината каждой точки касания равна Yk=f(Xk). Далее, используя формулы (2.46) или (2.47), можно определить уравнения и построить графики найденных касательных.

Теперь найдем уравнения всех нормалей, проведенных из точки (x0,y0) к графику функции y=f(x). В этом случае по аналогии с вышеизложенным в уравнении (2.46) нужно принять:

х 1 = Хn, у 1 = Yn = f(Xn).

Тогда вместо уравнения (2.49) получим:

=. (2.51)

Отсюда следует, что абсциссу Xn точки пересечения нормали с графиком функции y=f(x) можно определить из уравнения

=, (2.52)

где Yn=f(Xn), =.

Если это уравнение имеет несколько вещественных корней, то искомых нормалей также несколько.

Примечание: при построении графика нормали масштабы по осям системы координат должны быть одинаковыми, так как только в этом случае (и при правильном решении задачи) нормаль и кривая y=f(x) в точке их пересечения ортогональны друг другу (см. рисунок 2.24в).

Пример 2.13: Определите все касательные и нормали к графику функции:

, (2.53)

проведенные из точки .

Решение:

1) Строим график функции (2.53) и показываем на нем положение точки (см. рисунок 2.25)

.

2) Видно, что график содержит две ветви. С помощью линейки строим предполагаемые прямые - в данном случае по одной касательной и одной нормали для каждой из ветвей графика (см. рисунок 2.26). Фактическое число этих прямых может оказаться другим. В частности, к правой ветви графика, по-видимому, могут быть проведены не одна, а две нормали. Эта возможность устанавливается (или опровергается) в ходе решения задачи.

3) Определяем абсциссы точек касания прямых, проведенных из точки к графику функции. Для этого находим все вещественные корни уравнения , в котором, согласно формуле (2.50), следует принять:

. (2.54)



Рисунок 2.25 Рисунок 2.26

Раскрывая эту функцию FK(Xk) с помощью команды simplify, получим

Функция FK(Xk) дробно-рациональная. Поэтому для вычисления ее нулей можно использовать команду polyroots. Для этого с помощью команды coeffs определяем коэффициенты полинома числителя (вектор Ak):

.

Затем с помощью команды polyroots определяем корни этого полинома (вектор kork):

.

Видно, что имеются два вещественных корня

и .

Им соответствуют две точки пересечения графика функции FK(x) с осью абсцисс (см. рисунок 2.27) и две касательные с уравнениями (2.47):

,

.

Рисунок 2.27 Рисунок 2.28

3) Определяем абсциссы точек пересечения нормалей, проведенных из точки к графику функции . Для этого находим все вещественные корни уравнения FN(Xn) = 0, в котором, согласно формуле (2.52), следует принять:

. (2.55)

Для вычисления корней уравнения FN(Xn)=0 строим график функции (см. рисунок 2.28). Из графика видно наличие также двух вещественных корней. Вычисляем их с помощью команды root:

Точные значения корней можно определить с помощью команды Solve:

Найденным корням соответствуют две нормали с уравнениями (2.48).

Таким образом, решением данной задачи являются две нормали и две касательные (см. рисунок 2.29).

Рисунок 2.29

Прикладные задачи

Задачи, которые рассматриваются в данном разделе, имеют целью иллюстрацию геометрических и механических приложений определенного интеграла и его вычисление в среде пакета КМ. Среди таких задач типичными являются расчет площади плоской фигуры, длины дуги, объема тела вращения и координат центра тяжести.

Расчет площади, периметра и координат центра тяжести плоской фигуры

Площадь плоской фигуры А 1В 1В 2А 2, ограниченной двумя непрерывными кривыми и (), заданными на интервале (см. рисунок 2.30), вычисляется по формуле:

S = (2.56)

Рисунок 2.30 Рисунок 2.31

Контур фигуры может быть задан в параметрической форме x=x(t), y=y(t), где t - параметр, изменяющийся в заданных пределах tn?t?tv. Если при изменении этого параметра от начального значения до конечного значения точка с соответствующими координатами (x(t), y(t)) пробегает контур фигуры против хода часовой стрелки и оставляет фигуру слева от себя (см. рисунок 2.31), то площадь этой фигуры можно вычислить по формулам:

S = = ,

или S = .

Для контура фигуры, показанной на рисунке 2.30, можно с помощью команды Аdd line панели программирования записать:

Эти выражения определяют координаты точки, лежащей на контуре фигуры. Каждая пара строк в них соответствует определенной части контура фигуры: первые строки - нижней кривой А 1В 1, вторые - правой вертикальной прямой В 1В 2, третьи - верхней кривой В 2А 2, четвертые - левой вертикальной прямой А 2А 1. Соответствующие значения параметра принадлежат интервалам (t1,t2), (t2,t3), (t3,t4), (t4,t5). Их границы задают так, чтобы выполнялись соотношения tn=t1<t2<t3<t4<t5=tk. При изменении параметра от значения до значения точка с координатами (x(t), y(t)) перемещается вдоль контура фигуры против часовой стрелки.

Аналогично можно создать параметрическое описание сложного контура. В качестве примера на рисунке 2.32 показано применение рассмотренной процедуры для построения контура с параметрами:

, .

Рисунок 2.32

Периметр плоской фигуры вычисляется суммированием длин дуг и отрезков, ограничивающих ее контур. При выполнении таких расчетов используются следующие формулы:

- длина прямолинейного отрезка с вершинами в точках (х 1,у 1), (х 2,у 2)

L = (2.57)

- длина дуги отрезка гладкой кривой y = f(x), заданной на интервале a < x < b

L = (2.58)

- длина дуги кривой, заданной в параметрической форме

L = . (2.59)

При расчете координат центра тяжести используются следующие формулы:

- координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой , заданной на интервале

, , (2.60)

где

, - длина дуги;

- координаты центра тяжести криволинейной трапеции:

, , (2.61)

где

, - площадь трапеции;

- координаты (хс, ус) центра тяжести плоской фигуры, показанной на рисунке 2.30:

хс = ,

ус = . (2.62)

- координаты центра тяжести плоской фигуры, контур которой задан в параметрической форме:

хс = ,

ус = . (2.63)

- координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, состоящей из N частей:

хс = , ус = ,

где - координаты центра тяжести i-ой части фигуры;

- площадь i-ой части фигуры;

- площадь фигуры

S = .

Для расчета площади и координат центра тяжести плоской фигуры можно использовать двойные интегралы. В этом случае справедливы формулы:

S =

хс = , yc = , (2.64)

где интегрирование выполняется по площади фигуры.

Пример 2.14: Определите площадь, периметр и координаты центра тяжести плоской фигуры , ограниченной заданными кривыми

; ;

(2.65)

Дайте графическую иллюстрацию результатов.

Решение:

1) Строим графики заданных кривых и, учитывая условия (2.65), выбираем фигуру F. В данном случае это криволинейный треугольник ABCD (см. рисунок 2.33).

.

2) Определяем координаты вершин треугольника (точек ABC) и проверяем правильность расчета (см. рисунок 2.34)

Рисунок 2.33 Рисунок 2.34

Рисунок 2.35 Рисунок 2.36

3) Задаем верхнюю и нижнюю границы фигуры F и строим ее график (см. рисунок 2.35):

4) Вычисляем периметр L, площадь S и координаты (xc,yc) центра тяжести фигуры (см. рисунок 2.36)

5) Для проверки правильности расчетов вычисляем площадь и координаты центра тяжести фигуры по формулам двойного интегрирования.

Полученные результаты совпадают с прежними результатами.

Ответ:

Расчет площади поверхности и объема тела вращения

Площадь поверхности тела, образованного вращением, плоской фигуры показанной на рисунке 2.30, вокруг оси абсцисс равна:

,

где ,

,

, , ,

, , .

Объем тела, образованного вращением плоской фигуры, показанной на рисунке 2.30, вокруг оси абсцисс равен:

.

Обобщением этих формул являются теоремы Гульдена:

1) Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна произведению длины дуги кривой на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

2) Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Пример 2.15: Определите площадь поверхности и объем тела, образованного вращением вокруг оси y=2-x плоской фигуры F, ограниченной заданными кривыми (см. Пример 2.14). Дайте графическую иллюстрацию результатов.

Решение:

1) Задаем границу фигуры в параметрической форме, строим ее график и график оси вращения (пунктирная прямая на рисунке 2.37).

.



Рисунок 2.37 Рисунок 2.38.

2) Переносим начало системы координат в точку пересечения оси вращения с осью ординат (точка О) и строим график оси абсцисс новой системы координат (см. рисунок 2.38).

3) Задаем параметрическое уравнение границы плоской фигуры:

и строим график фигуры в новой системе координат (см. рисунок 2.39):

4) В новой системе координат искомое тело можно получить вращением полученной фигуры вокруг оси ординат. Строим это тело (см. рисунок 2.40)



Рисунок 2.39 Рисунок 2.40

Вычисляем площадь поверхности и объем тела вращения по формулам Гульдена:

, ,

Ответ: S=211,23; V=146,74.

Размещено на Allbest.ru

...