Гіперболоїд, поверхні другого порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

РОЗДІЛ 2. ОДНОПОРОЖНИННИЙ ГІПЕРБОЛОЇД

РОЗДІЛ 3. ДВОПОРОЖНИННИЙ ГІПЕРБОЛОЇД

РОЗДІЛ 4. ГІПЕРБОЛОЇДИ ОБЕРТАННЯ

РОЗДІЛ 5. ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕРХНІ МЕТОДОМ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПЕРЕРІЗ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Гіперболоїд (від грец. ?ресвплЮ - гіпербола, і е?дпт - вид, зовнішність). В математиці гіперболоїд - це вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в декартових координатах.

Однопорожнинний гіперболоїд є поверхнею 2 порядки.

В теорії поверхонь другого порядку класифікують і вивчають різні види поверхонь. Методом їх вивчення є так званий метод розтину: досліджуються перетину поверхні площинами, паралельними координатним або самими координатними площинами, і з вигляду перетинів робиться висновок про форму поверхні.

Існує сімнадцять видів поверхонь другого порядку. Ідея класифікації поверхонь заснована на приведення їх рівнянь до канонічного вигляду в результаті перетворення системи координат в канонічну.

РОЗДІЛ 1. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Поверхня другого порядку - геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду:

a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z + +а44 = 0 (1.1)

в якому принаймні один з коефіцієнтів a11, а22, a33, a12, a23, a13 відрізняється від нуля.

Рівняння (1.1) ми будемо називати загальним рівнянням поверхні другого порядку.

Очевидно, поверхня другого порядку, що розглядається як геометричний об'єкт, не змінюється, якщо від даної декартовій прямокутній системи координат перейти до іншої декартовій системі координат. Відзначимо, що вихідне рівняння (1.1) і рівняння, отримане після перетворення координат, алгебраїчно еквівалентні. Інваріанти рівняння поверхні на рисунку 1.1.

Рисунок 1.1 - Інваріанти рівняння поверхні другого порядку.

Справедливо наступне твердження: є інваріантами рівняння (1.1) поверхні другого-порядку щодо перетворень декартової системи координат.

Класифікація поверхонь другого порядку

Класифікація центральних поверхонь. Нехай S - центральна поверхню другого порядку. Перенесемо початок координат в центр цієї поверхні, а потім зробимо стандартне спрощення рівняння цієї поверхні. В результаті зазначених операцій рівняння поверхні набуде вигляду:

a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (1.1.1)

Так як інваріант I3 для центральної поверхні відмінний від нуля і його значення, обчислене для рівняння (1.1), так само a11 · а22 · a33, то коефіцієнти a11,а22, a33 задовольняють умову:

Можливі такі випадки:

1. Коефіцієнти a11, а22, a33 одного знака, а коефіцієнт а44 відмінний від нуля. В цьому випадку поверхню S називається еліпсоїдом.

Якщо коефіцієнти a11, а22, a33, а44 одного знака, то ліва частина (1.1.1) ні при яких значеннях х, у, z не звертається до нуль, тобто рівняння поверхні S не задовольняють координати жодної точки. В цьому випадку поверхню S називається уявним еліпсоїдом.

Якщо знак коефіцієнтів a11, а22, a33 протилежний знаку коефіцієнта а44, то поверхня S називається речовим еліпсоїдом. Надалі терміном «еліпсоїд» ми будемо називати лише матеріальний еліпсоїд.

Зазвичай рівняння еліпсоїда записують в канонічній формі. Очевидно, числа:

позитивні. Позначимо ці числа відповідно а2, b2, с2. Після нескладних перетворень рівняння еліпсоїда (1.1.1) можна записати в такій формі:

Рівняння (1.1.2) називається канонічним рівнянням еліпсоїда.

Якщо еліпсоїд заданий своїм канонічним рівнянням (1.1.2), то осі Ох, Оу і Оz. називаються його головними осями.

З чотирьох коефіцієнтів a11, а22, a33, а44 два одного знака, а два інших-протилежного. В цьому випадку поверхню S називається однополостного гіперболоїдом.

Зазвичай рівняння однополостного гіперболоїда записують в канонічній формі. Нехай, заради визначеності, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тоді числа:

позитивні. Позначимо ці числа відповідно а2, b2, с2. Після нескладних перетворень рівняння (1.1.1) однополостного гіперболоїда можна записати в такій формі:

Рівняння (1.1.3) називається канонічним рівнянням однополостного гіперболоїда.

Якщо однопорожнинний гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням (1.1.3), то осі Ох, Оу і Oz називаються його головними осями.

3. Знак одного з перших трьох коефіцієнтів a11, а22, a33, а44 протилежний знаку інших коефіцієнтів. В цьому випадку поверхню S називається двопорожнинним гіперболоїдом.

Запишемо рівняння двопорожнинного гіперболоїда в канонічній формі. Нехай, заради визначеності, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тоді:

Позначимо ці числа відповідно через a2, b2, с2. Після нескладних перетворень рівняння (1.1.1) двопорожнинного гіперболоїда можна записати в такій формі:

(1.1.4)

Рівняння (1.1.4) називається канонічним рівнянням двуполостного гіперболоїда.

Якщо двопорожнистий гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням, то осі Ох, Оу і Оz називаються його головними осями.

4. Коефіцієнт а44 дорівнює нулю. В цьому випадку поверхню S називається конусом другого порядку.

Якщо коефіцієнти a11, а22, a33 одного знака, то ліва частина (1.1) звертається в нуль (а44 = 0) лише для х = у = z = 0, тобто рівняння поверхні S задовольняють координати лише єдиної точки. В цьому випадку поверхню S називається уявним конусом другого порядку. Якщо коефіцієнти a11, а22, a33 мають різні знаки, то поверхня S є речовим конусом другого порядку.

Зазвичай рівняння матеріального конуса другого порядку записують в канонічній формі. Нехай, заради визначеності, a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Позначимо:

відповідно через а2, b2, с2. Тоді рівняння (1.1) можна записати у вигляді:

(1.1.5)

Рівняння (1.1.5) називається канонічним рівнянням матеріального конуса другого порядку.

РОЗДІЛ 2. ОДНОПОРОЖНИННИЙ ГІПЕРБОЛОЇД

Гіперболоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат описується рівнянням:

(2.1)

Величини a, b і c називаються півосями гіперболоїда.

Рівняння (2.1) визначає однопорожнинний гіперболоїд, графічний приклад якого представлено на рисунку 2.1.

Рисунок 2.1 - Однопорожнинні гіперболоіди

Перетинами однопорожнинних гіперболоїдів площинами (рисунок 2.2) є еліпси (зокрема, окружності) і гіперболи.

Рисунок 2.2 - Перетин однопорожнинних гіперболоїдів площинами

Якщо a = b, то гіперболоїди, що визначаються рівняннями (2.1), є поверхнями обертання. Наприклад, однопорожнинний гіперболоїд:

Утворений обертанням однієї з гілок гіперболи, представленої на рисунку 2.3, навколо осі 0z.

Рисунок 2.3 - Гіпербола з півосями a і c, розташована в площині x0z

Однопорожнинний гіперболоїд обертання зображений на рисунку 2.1 має формулу:

x2 + y2 z2 = 1 (2.2)

Рисунок 2.4 - Однопорожнинний гіперболоїд обертання

гіперболоїд поверхня тривимірний декартовий

Плоскі перетини однопорожнинного гіперболоїда

Підставляючи z = 0 в рівняння (2.1) отримуємо:

лінії перетину однопорожнинного гіперболоїда з координатною площиною Oxy. Це рівняння в площині Oxy визначає еліпс, який називається горловим. Лінії перетину однопорожнинного гіперболоїда з іншими координатними площинами є гіперболами. Вони називаються головними гіперболами. Наприклад, при x = 0 отримуємо головну гіперболу:

а при y = 0 - головну гіперболу:

Розглянемо тепер перетин однополостного гіперболоїда площинами, паралельними площині Oxy. Підставляючи z = h, де h - довільна постійна (параметр), в рівняння (2.1), отримуємо:

При будь-якому значенні параметра h рівняння визначає еліпс:

з півосями:

Отже, перетин однопорожнинного гіперболоїда площиною z = h являє собою еліпс, центр якого лежить на осі аплікат, а вершини - на головних гіпербола. Серед всіх еліпсів, які утворюються в перетинах площинами z = h при різних значеннях параметра h, горловий еліпс (при h = 0) є еліпсом з найменшими півосями.

Таким чином, однопорожнинний гіперболоїд можна уявити як поверхня, утворену еліпсами, вершини яких лежать на головних гиперболах (рис.2.1.1).



Рисунок 2.1.1 - Будова гіперболоїдів

РОЗДІЛ 3. ДВОПОРОЖНИННИЙ ГІПЕРБОЛОЇД

Рівняння (3.1) визначає двопорожнинний гіперболоїд, графічний приклад якого представлено на рисунку 3.1.

(3.1)

Величини a, b і c називаються півосями гіперболоїда.

Рисунок 3.1 - Двопорожнинний гіперболоїд

Перерізами двопорожнинних гіперболоїдів площинами є еліпси і гіперболи.

Рисунок 3.2 - Переріз двопорожнинних гіперболоїдів площинами

Двопорожнинний гіперболоїд обертання зображений на рисунку 3.3 має формулу:

x2 + y2 z2 = 1 (3.2)

Рисунок 3.3 - Двопорожнинний гіперболоїд обертання

Плоскі перетини двопорожнинного гіперболоїда

Перетину двопорожнинного гіперболоїда координатними площинами Oyz і Oxz є гіперболи (головні гіперболи).

Розглянемо тепер перетин двопорожнинного гіперболоїда площинами, паралельними площині Oxy. Підставляючи z = h, де h - довільна постійна (параметр), в рівняння (3.1), отримуємо:

При |h| < c; рівняння не має дійсних рішень (права частина рівняння негативна, а ліва невід'ємна), тобто площину z = h перетинає двопорожнинний гіперболоїд. При h = ± c рівняння має нульове рішення x = y = 0. Отже, площини z = ± c стосуються двопорожнинний гіперболоїд в його вершинах (0, 0, ± c). При |h| > c отримуємо рівняння еліпса:

з півосями:

Отже, перетин двопорожнистого гіперболоїда площиною z = h при |h| > c являє собою еліпс з центром на осі аплікат, вершини якого лежать на головних гіпербола.

Таким чином, двопорожнистий гіперболоїд можна уявити як поверхня утворену еліпсами, вершини яких лежать на головних гіперболах (рис. 3.1.1).



Рисунок 3.1.1 - Переріз двопорожнистого гіперболоїда

РОЗДІЛ 4. ГІПЕРБОЛОЇДИ ОБЕРТАННЯ

Гіперболоїд, у якого поперечні півосі рівні (a = b), називається гіперболоїдом обертання. Такий гіперболоїд є поверхнею обертання, а його перетину площинами z = h (для двопорожнистого гіперболоїда при |h| > c) являють собою окружності з центрами на осі аплікат. Однопорожнинний або двопорожнистий гіперболоїди можна отримати, обертаючи навколо осі Oz гіперболу:

Рисунок 4.1 - Однопорожнистий гіперболоїд обертання

Або спряжену гіперболу:

Рисунок 4.2 - Двопорожнистий гіперболоїд обертання

РОЗДІЛ 5. ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕРХНІ МЕТОДОМ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПЕРЕРІЗ

Суть методу полягає в з'ясуванні форми ліній перетину поверхні з площинами, паралельними координатним площинам.

Розглянемо лінії перетину з площинами, паралельними площині OXY. Всі рівняння ліній перетинань будуть виходити з рівняння площині, в якому z буде замінена на деяке число, що дорівнює відстані від перетинає площині до площині OXY. Для більш наочного уявлення, я зобразила всі отримані криві у вигляді проекцій на площину OXY. Зображення кривих представлені нижче рисунок 5.1.

Величини a, b, c називаються півосями однополосного гіперболоїда. Якщо a = b, то гіперболоїд можна отримати обертанням гіперболи з півосями а і з навколо уявної осі 2с.

Встановимо вид поверхні. Для цього розглянемо перетин її координатними площинами Oxy (y = 0) і Oyx (x = 0). Отримуємо відповідно рівняння:

і

з яких випливає, що в перетинах виходять гіперболи.

Рисунок 5.1 - Проекції перерізу

Тепер розглянемо перетину даного гіперболоїда площинами z = h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, що виходить в перетині, визначається рівняннями:

або

з яких випливає, що площину z = h перетинає гіперболоїд по еліпсу з півосями:

і,

досягають своїх найменших значень при h = 0, тобто в перетині даного гіперболоїда координатної віссю Oxy виходить найменший еліпс з півосями a * = a і b * = b. При нескінченному зростанні |h| величини a* і b* збільшуються безкінечно. Проекції перерізу на площині Oxy зображено на рисунку 5.2.

Рисунок 5.2 - Проекції перерізу

Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити односмуговий гіперболоїд як безкінечною трубки, нескінченно розширення в міру віддалення (по обидва боки) від площини Oxy.

Величини a, b, c називаються півосями однополосного гіперболоїда.

ВИСНОВОК

В даний час принцип однопорожнинного гіперболоїда успішно використовується в мистецтві, науці, техніці та архітектурі.

Лінійчата конструкція, що має форму однополостного гіперболоїда, є жорсткою: якщо балки з'єднати шарнірно, гіперболоїдна конструкція все одно буде зберігати свою форму під дією зовнішніх сил.

Відмітимо, що:

* однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням прямий навколо деякої схрещуваною з нею прямий;

* двопорожнинна гіперболоїд обертання є геометричним місцем точок, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок, які називаються фокусами гіперболоїда, є величина постійна.

Для високих споруд основну небезпеку несе вітрове навантаження, а у гратчастої конструкції вона невелика. Ці особливості роблять гіперболоїдні конструкції міцними, незважаючи на невисоку матеріалоємність. Один з яскравих прикладів в Росії - Шуховська вежа.

Шуховська вежа має оригінальну витончену сітчастою конструкцією, завдяки чому досягається мінімальна вітрове навантаження, що представляє головну небезпеку для високих споруд. За формою секції вежі - це однопорожнинні гіперболоіди обертання, зроблені з прямих балок, що упираються кінцями в кільцеві підстави. Ажурна сталева конструкція поєднує в собі міцність і легкість: на одиницю висоти Шуховской вежі витрачено в три рази менше металу, ніж на одиницю висоти Ейфелевої вежі в Парижі. Проект Шуховской вежі висотою 350 метрів мав розрахункову масу всього лише 2200 тонн, а Ейфелева вежа при висоті 300 метрів важить близько 7300 тонн.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Шипачёв В.С.: «Высшая математика»

2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»

3. И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ»

4. Копылова Т. В. Конспект лекций по линейной алгебре.

5. Копылова Т. В. Линейная алгебра. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1996.

6. Ефимова Л. В., Демидович Б. П. Линейная алгебра и основы математического анализа. - М: Наука, 1993.

7. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

8. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учеб. пособие для втузов. - 5-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 1997.

9. “Вища математика”. У двох книгах. Ред. Г.Л. Кулініч.,- Київ: Либідь, 1995.

10. “Вища математика: основні означення, приклади і задачі”. Ред. Г.Л.Кулініч.,- Київ: Либідь, 1994.

11. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.,1998. "

12. Высшая математика для экономистов.(под ред. Н.Ш.Кремера) М., 2000.

Размещено на Allbest.ru

...