Исследование результатов химического эксперимента

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Институт компьютерных наук и технологий

Высшая школа киберфизических систем и управления

Курсовая работа

Исследование результатов химического эксперимента

по дисциплине «Вычислительная математика»

Выполнила В.О. Ильина

Руководитель:

доцент, к.т.н. В.Е. Евдокимов

Санкт-Петербург

Введение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Задание

В ходе химического эксперимента получены следующие семь пар данных:

Теоретические соображения подсказывают, что y(t) - очень гладкая кривая. Проинтерполировать исходные данные двумя способами: интерполяционным полиномом Лагранжа 6-й степени и сплайн функцией. Построить графики, взяв достаточное для этого количество промежуточных точек. Ответить на вопрос: какой из способов приближения предпочтительнее? Объяснить результаты, оценить общую погрешность результата и влияние на точность погрешности исходных данных.

В свою очередь y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7 заданы следующий образом:

Значения y1, y2, y3, y4 являются решением системы уравнений:

5y1 + 7y2 + 6y3 + 5y4 = 4.237

7y1 + 10y2 + 8y3 + 7y4 = 5.544

6y1 + 8y2 + 10y3 + 9y4 = 10.606

5y1 + 7y2 + 9y3 + 10y4 = 11.849

y5=0.2213789+

y6 = 1.140428Чy*, где y*- положительный корень уравнения: x2 = cosрx; y7 = -0.306.

Интерполяция функций

Пусть на отрезке [a, b] заданы значения функции y = f (x) в точках

Интерполяция - нахождение многочлена не выше n-ой степени:

(1)

который в точках принимает те же значения, что и данная функция, т.е. выполняются равенства:

() = f () =, i = 0, 1, 2, …,n (2)

Другими словами, интерполяция - нахождение многочлена вида (1), который на отрезке [a, b] являлся бы приближением для функции y = f (x).

Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом, точки - узлами интерполирования

Интерполяция методом Лагранжа

Пусть заданы узлы x0, x1,..., xn, среди которых нет совпадающих и значения некоторой функции f(x) в этих узлах. Существует один и только один многочлен

f (x0), f (x1),..., f (xn)

Pn (x) степени не выше n, принимающий в узлах значения xn)

Это многочлен степени n, для которого выполняется равенство называется полиномом Лагранжа.

Интерполирование сплайнами

На практике интерполяционные полиномы высоких степеней строят крайне редко. В первую очередь, это связано с тем, что их коэффициенты очень чувствительны к погрешностям исходных данных. Сравнительно малое изменение узлов интерполирования xk или значений функции f(xk) приводит к сильному изменению вида самого полинома. В такой ситуации одним из возможных вариантов аппроксимации является разбиение большой исходной таблицы на участки, для каждого из которых строится интерполяционный полином относительно невысокой степени. Однако в целом ряде приложений требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой, а функция, составленная из различных полиномов, в узлах сопряжения не имела производной. Выходом из создавшегося положения является использование сплайн-интерполяции.

Сплайн (от англ. spline) - это длинная гибкая тонкая рейка, используемая чертежниками в качестве лекала для проведения гладких кривых через заданные точки. Математическое осмысление этого инструмента и породило теорию сплайнов, аппарат которой заметно выходит за рамки описания механического сплайна. Расположив чертеж в вертикальной плоскости и закрепив рейку, в узлах интерполяции к ней подвешивают грузила и добиваются, чтобы деформированная рейка совместилась со всеми точками. Сплайн принимает форму, отвечающую минимуму его потенциальной энергии, и линеаризованное дифференциальное уравнение изогнутой оси рейки имеет вид

где ЕI - жесткость материала рейки, s(x) - ее прогиб, а М(х) - изгибающий момент, линейно зависящий от координаты (М(х) ~ х). Интегрирование этого уравнения показывает, что функция s(x), описывающая профиль сплайна, является кубическим полиномом между любыми двумя соседними точками. Кроме этого, соседние полиномы соединяются непрерывно и гладко так же, как и их первые и вторые производные (рейка не разламывается).

От механической иллюстрации перейдем к формальному аппарату сплайн-интерполяции.

Обратимся к таблично заданной функции:

Число узлов равно N, а их нумерация начинается с единицы. На каждом промежутке [xk, xk+1] будем строить интерполяционный полином третьей степени

Количество полиномов, как и промежутков, равно N -1, и каждый полином имеет 4 параметра. Таким образом, всего в наличии 4N - 4 параметра. Потребуем, чтобы во всех внутренних точках были равны значения соседних полиномов, их первых и вторых производных

интерполяция функция химический эксперимент

т. е. выполнялись суммарно З(N - 2) = 3N - 6 уравнений. Еще N уравнений отражают требования интерполирования

Общее число задаваемых условий достигает 4N - 6. При наличии 4N - 4 параметров появляется возможность выполнить еще два условия. В их задании нет острой необходимости, т. к. требования интерполирования и сопряжения соседних полиномов уже выполнены, но это целесообразно сделать для однозначного решения задачи. Различные кубические сплайны отличаются друг от друга заданием этих двух требований, которые, как правило, записываются для двух крайних точек х1 и хN. К этим двум дополнительным условиям целесообразно предъявить следующие два требования. С одной стороны, их лучше задавать так, чтобы полная система уравнений решалась по возможности более просто. С другой стороны, они должны максимально соответствовать характеру поведения функции в начале и в конце промежутка интерполирования.

Практическая часть

Исходные данные

Для нахождения y1, y2, y3, y4 запишем заданную систему уравнений в матричном виде:

A = [5, 7, 6, 5;

7, 10, 8, 7;

6, 8, 10, 9;

5, 7, 9, 10]

B = [4.237;

5.544;

10.606;

11.849]

Найдем решение AX = B, умножив слева обе части этого уравнения на матрицу обратную к A. Получим:

X = inv(A)*B

X =

-1.000000000000033

-0.151000000000000

0.893999999999998

0.986000000000001

Для нахождения y5 решим интеграл с помощью функции quad, которая производит интегрирование с помощью метода Симпсона:

fun1 = @(x) cos(x)./(1+x);

int = quad(fun1, 0, pi/2, 1e-7) int = 0.673621100588258

y5 = 0.2213789 + int;

Задав в функции quad погрешность интегрирования, равную 1e-7, мы добились того, чтобы полученное значение имело степень точность, сопоставимую с числом, к которому значение этого интеграла в дальнейшем прибавляется.

Для нахождения y6 необходимо найти положительный корень уравнения x2 = cosрx. Для решения поставленной задачи воспользуемся встроенной функцией vpasolve:

syms x;

eqn = cos(pi*x) == x^2;

solved = vpasolve(eqn, x, [0, Inf])

solved = 0.43843077948151933409799380890124

y6 = 1.140428*solved

y6 = 0.49999873698255012995045547039977

В свою очередь y7 = -0.306.

Таким образом вектор входных значений y выглядит следующим образом:

Интерполирование

Проинтерполируем исходные данные полиномом Лагранжа 6-ой степени и сплайн функцией, воспользовавшись такими встроенными функциями matlab, как lagrange и spline:

in_t = [-1.000, -0.960, -0.860, -0.790, 0.220, 0.500,

0.930];

tt = linspace(-1.1, 1.1, 2000); y = lagrange(in_t, in_y, tt); yy = spline(in_t, in_y, tt);

%Выведем на график узлы интерполирования scatter(in_t, in_y);

hold on;

%Построим график полинома Лагранжа plot(tt, y, 'red');

%Построим график сплайн-функции plot(tt, yy, 'yellow');

hold off;

На получившемся графики можно увидеть, что, как и ожидалось, полином Лагранжа проходит через все узлы интерполирования, однако между ними имеет произвольный вид и не является гладкой кривой. В свою очередь сплайн-функция также проходит через все узлы интерполирования, однако ее график имеет вид гладкой кривой, что отвечает изначальным теоретическим соображениям.

Построив полином Лагранжа 5-ой степени, выкинув из исходных данных 5-ю точку, мы получим следующий график:

Следовательно, даже уменьшение степени полинома не дает необходимого результата.

Выводы

Использование метода Лагранжа при большом расстоянии между узлами интерполяции не подходит для решения данной задачи. Таким образом, можно сделать вывод, что для решения поставленной задачи лучше подходит интерполирования сплайнами, так как в результате мы получаем гладкую кривую, которая хорошо описывает проведенный химический эксперимент.

Приложение 1. Код программы в среде Matlab

clear all; hold off; format long;

% Вычисляем исходные данные A = [5, 7, 6, 5;

7, 10, 8, 7;

6, 8, 10, 9;

5, 7, 9, 10];

B = [4.237;

5.544;

10.606;

11.849];

X = inv(A)*B; in_y(1) = X(1);

in_y(2) = X(2);

in_y(3) = X(3);

in_y(4) = X(4);

fun1 = @(x) cos(x)./(1+x);

int = quad(fun1, 0, pi/2, 1e-7); y5 = 0.2213789 + int;

in_y(5) = y5;

syms x;

eqn = cos(pi*x) == x^2;

solved = vpasolve(eqn, x, [0, Inf]); y6 = 1.140428*solved;

in_y(6)=y6; in_y(7) = -0.306;

in_t = [-1.000, -0.960, -0.860, -0.790, 0.220, 0.500,

0.930];

tt = linspace(-1.1, 1.1, 2000);

%Интерполируем полиномом Лагранжа 6-ой степени и сплайн- функцией

y = lagrange(in_t, in_y, tt); yy = spline(in_t, in_y, tt);

plot(in_t, in_y); pause;

%Выведем на график узлы интерполирования scatter(in_t, in_y);

hold on;

%Построим график полинома Лагранжа

plot(tt, y, 'red');

%Построим график сплайн-функции plot(tt, yy, 'yellow');

hold off;

pause;

scatter(in_t, [0,0,0,0,0,0,0]); hold on;

plot(tt, abs(y-yy), 'blue'); hold off;

Список литературы

1. Вычислительная математика / С. М. Устинов, Зимницкий В. А. - CПб.: БХВ-Петербург, 2009. - 336 с.: ил. - (Учебное пособие)

Размещено на Allbest.ru