Производная

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

СОДЕРЖАНИЕ

1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

2. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

3. ПРОИЗВОДНАЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РАЗЛИНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ

4.1 Применение производной в курсе алгебры

4.2 Применение производной в курсе физики

4.3 Применение производной в курсе биологии

4.4 Применение производной в курсе географии

4.5 Применение производной в курсе химии

4.6 Применение производной в курсе экономики

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ



1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе.

Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создаёт благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.

Установление межпредметных связей, к примеру, в курсе физики повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.

В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.

Сколько бы ни говорил учитель о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для изучения физики, экономики, медицины, но если он не показывает, как математика помогает практике в решении проблем этих направлений, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьёзный ущерб. Но для того, чтобы показать, как математика помогает в решении её проблем, нужны задачи, не придуманные в методических целях, а возникающие на самом деле в различных областях практической деятельности человека.



2. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

производная исчисление тело теплоемкость

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

о разыскании касательной к произвольной линии;

о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 - 1557гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derive, которое ввел в1797 году Ж. Лагранж (1736-1813).

И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию -флюентой.



3. ПРОИЗВОДНАЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Физический смысл производной.

Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией где- время движения, то производная функции - мгновенная скорость движения в момент времени . По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции - скорость изменения функции в точке .

Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной этой функции, вычисленной в точке касания



4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РАЗЛИНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ

4.1 Применение производной в курсе алгебры

В алгебре производная широко используется при исследовании функций:

1. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.

2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции.

3. Поиск точек экстремума функции.

4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции.

5. Поиск точек изгиба функции.

4.2 Применение производной в курсе физики

В курсе физики производная помогает решать широкий ряд задач, остановимся на каждой из них подробнее.

1. Задача о мгновенной скорости. Механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на указанной прямой точку - начало отсчета, положительное направление отсчета и единичный отрезок. Получаем, что положение точки будет определяться ее координатой на прямой.

Зависимостьназывается законом движения точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Средней скоростью движения материальной точки называется отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:



ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мгновенной скоростью в момент времениназывается предел средней скорости движения за промежуток времени:

То есть мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная пути по времени - механический смысл производной.

Аналогично рассуждая, получаем, что производная от скорости по времени есть ускорение, т.е.

2. Задача о теплоемкости тела.

Чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла . Значит, есть функция температуры , до которой тело нагревается: Пусть температура тела повысилась с до . Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Отношение есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на градусов. Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается.

Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры , то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре (в данной точке ).

Теплоемкостью при температуре t0 (в данной точке) называется предел

Коротко говорят: производная от количества тепла, получаемого телом, по температуре есть теплоемкость.

3. Задача о линейной плотности стержня.

Рассмотрим неоднородный стержень. Стержень называют неоднородным, если на два участка одинаковой длины приходятся различные массы.

Для такого стержня встаёт вопрос о скорости изменения массы в зависимости от его длины.

Средняя линейная плотность:

гдемасса стержня есть функция его длины .

Таким образом, линейная плотность неоднородного стержня в данной точке определяется следующим образом:

Коротко говорят: линейная плотность стержня в точке есть производная массы по длине.

4. Задача о скорости расхода горючего.

Средней скоростью расхода горючего называется отношение массы горючего, ко времени, за которое топливо сгорело:



Мгновенной скоростью в момент времениназывается предел средней скорости движения за промежуток времени:

То есть производная массы по времени есть скорость расхода горючего.

5. Задача о скорости нагрева тела.

Пусть - зависимость температуры нагреваемого тела от времени.

Средней скоростью нагрева тела называется отношение температуры нагрева, ко времени, за которое тело нагревалось:

Тогда скоростью нагрева в момент времениназывается предел средней скорости движения за промежуток времени:

Иначе говоря, производная температуры по времени есть скорость нагрева тела.

6. Задача о зависимости силы тока от времени.

Пусть - зависимость количества электричества от времени.

Силой тока называется отношение количества заряда, прошедшего через некоторую поверхность за некоторое время, к величине этого промежутка времени.

Тогда сила тока в момент времениназывается предел среднего количества электричества ко времени:

Следовательно, производная количества электричества по времени есть сила тока.

Рассматривая подобные задачи, можно получить аналогичные выводы по многим физическим процессам:

7. Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада:

8. Производная работы по времени есть мощность:

9. Производная функции магнитного потока по времени есть мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции:



10. Производная от массы данного тела по объему, занимаемому этой массой есть плотность объемного тела:

11. Производная от вектора импульса тела по времени есть вектор силы, действующий на тело:

4.3 Применение производной в курсе биологии

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов и временем её размножения задана уравнением:
. Пусть - промежуток времени от некоторого начального значения до Тогда новое значение численности популяции, соответствующее моменту - изменение числа особей организмов.

Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя, получаем, или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени

4.4 Применение производной в курсе географии

Производная помогает рассчитать:

1. Некоторые значения в сейсмографии.

2. Особенности электромагнитного поля земли.

3. Радиоактивность ядерно-геофизических показателей.

4. Многие значения в экономической географии.

5. Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.

Рассмотрим идею социологической модели Томаса Мальтуса, которая состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени через

Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени

Пусть - зависимость численности населения от времени.

Рассмотрим прирост населения за

где это коэффициент прироста (.

Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует

4.5 Применение производной в курсе химии

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Производную в химии используют для определения очень важной вещи - скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности.

Пусть масса соли, растворившейся в воде, изменяется по закону . Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [] определяется по формуле:

Скорость растворения в данный момент времени:

.

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.

Так как скорость химической реакции непрерывно изменяется в ходе процесса, её обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени. Еслизакон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость химической реакции в момент времени равна производной:

.

Иначе говоря, скорость химической реакции в данный момент времени есть производная от количества веществаучаствующего в реакции, по времени .

4.6 Применение производной в курсе экономики

Рассмотрим ситуацию: пусть - издержки производства, а - количество продукции, тогда прирост продукции, а приращение издержек производства.

В этом случае производнаявыражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции,где - предельные издержки (marginalcosts); общие издержки (total costs); количество.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни.

Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. - М.: Юрайт, 2015.

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.

3. Баврин И.И. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 2013.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.

5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.

6. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.

7. Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. - М.: Издательский центр «Академия», 2010.

8. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. - М.: Издательский центр «Академия», 2016.

9. https://ru.wikipedia.org/wiki

10. http://dic.academic.ru/

11. http://urokmatem.ru

12. www:egetutor.ru

13. matematika-na5.norod.ru

Размещено на Allbest.ru

...