Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Математические методы в теории автоматического управления

Задание 1

Дана функция , значения переменных со всеми верными цифрами в таблице:

многочлен лагранж коши интеграл

Оценить погрешность результата:

a) оценки погрешностей для арифметических операций;

b) общую формулу погрешностей.

Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

Решение:

По записи чисел определяем их абсолютные погрешности:

Находим относительную погрешность всех чисел:

Найдём относительную погрешность первого слагаемого числителя

Найдём абсолютную погрешность первого слагаемого числителя

Найдём относительную погрешность второго слагаемого числителя

Найдём абсолютную погрешность первого слагаемого числителя

Найдём абсолютную погрешность числителя

Найдём относительную погрешность числителя

Найдём относительную погрешность первого слагаемого знаменателя

Найдём абсолютную погрешность первого слагаемого знаменателя

Найдём относительную погрешность второго слагаемого знаменателя

Найдём абсолютную погрешность второго слагаемого знаменателя

Найдём абсолютную погрешность знаменателя

Найдём относительную погрешность знаменателя

Найдём относительную погрешность всей дроби

Найдём абсолютную погрешность всей дроби. Запишем её величину, учитывая, что имеется 3 верные цифры

Применим общую теорему о вычислении погрешности

Находим все частные производные данной функции в точке

Применив общую теорему о вычислении погрешности вычислим абсолютную погрешность данного выражения

Задание 2

1. По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа и построить график Исходные данные берутся из таблицы 3.1.

2. Решить, используя возможности SCILAB.

Решение:

1. Формула интерполяционного многочлена Лагранжа:

4*

2. Решить, используя возможности SCILAB.

Программа решения интерполяционного многочлена Лагранжа

x=[-3, - 1,3];

y=[7, - 1,4];

function [p]=langrange (a, x, y)

 //function [p]=inter (a, x, y)

n=length(x);

i=length(y);

p=0;

for i=1:n

l=1;

for k=1:n

if k<>i then

l=l.*((a-x(k))./(x(i) - x(k)));

end;

end;

p=p+y(i)*l;

end;

endfunction;

a=linspace (-5,7,101);

plot (a, langrange (a, x, y), x, y, 'x')



Задание 3

1. Вычислить интеграл, используя квадратурные формулы:

а) прямоугольников (левых, правых) с шагом h =0.4; дать оценку погрешности;

б) трапеций с шагами h =0.4 и h =0.2; оценить погрешность результата;

в) Симпсона с шагом h=0.4 оценить погрешность результата.

Решение:

a) По формуле левых прямоугольников:

И правых прямоугольников:

Из условия имеем, что a=-1.0, b=2.6, h=0.4 и в таблице 4.1. Для применения необходимо вычислить число шагов n и значение функции .

Получим, что

;

Определение точек отрезка [a; b] производится с помощью

При , получим и

При , получим

Вычисления производятся до .



	0	1	2	3	4
	1	1.4	1.8	2.2	2.6
	3.999	3.997	3.992	3.981	3.963
	0.98	0.967	0.953	0.937	0.92
	1.35	1.8	2.643	4.272	7.599

Подставим формулу левых прямоугольников

Подставим формулу правых прямоугольников

Абсолютная погрешность оценивается при помощи формулы

б) Метод трапеций.

Из условия имеем, что a=-1.0, b=2.6, h1=0.4, h2=0.2 и в таблице 4.1.

Формула метода трапеций имеет вид:

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислит n

Определяем узлы подынтегральной функции

Для

	0	1	2	3	4
	1	1.4	1.8	2.2	2.6
	3.999	3.997	3.992	3.981	3.963
	0.98	0.967	0.953	0.937	0.92
	1.35	1.8	2.643	4.272	7.599

Для

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0	2.2	2.4	2.6
	3.999	3,998	3,997	3,995	3,992	3,987	3,981	3,973	3,963
	0.98	0.974	0.967	0.96	0.953	0.945	0.937	0.928	0.92
	1.35	1.54	1.8	2.155	2.643	3.32	4.272	5.629	7.599

Подставим полученные значения в формулу:

Для

Для

в) Метод Симсона:

Формула метода Симпсона имеет вид:

Требуется определить узлы

	0	1	2	3	4
	1	1.4	1.8	2.2	2.6
	3.999	3,997	3,992	3,981	3,963
	0.98	0.967	0.953	0.937	0.92
	1.35	1.8	2.643	4.272	7.599

Подставим полученные значения в формулу:

2. Решить, используя возможности SCILAB.

Метод прямоугольников (левых, правых)

Для

a=1.0; // нижний предел

b=2.6; // верхний предел

h=0.4; // вычисляем шаг

n=(b-a)/h; // количечтво шагов

i1=0: (n-1);

x=(a+i1*h)

d=4*cos (0.02*x^3)

I1=h.*sum(d) // по форме левых прямоугольников

i2=1: (n);

x=(a+i2*h)

d=4*cos (0.02*x^3)

I2=h.*sum(d) // по форме правых прямоугольников

function y=f(x), y=4*cos (0.02*x^3), endfunction;

[I, er]=intg (1. 0,2.6, f) // значение исходного итеграла

delI1=I-I1, delI2=(I-I2)

 //I1= 6.3502549; I2=6.2527356; I=6.3088297 по форме левых погрешность = 0.1

 // по форме правых погрешность = 0.1

Для

a=1.0; // нижний предел

b=2.6; // верхний предел

h=0.4; // вычисляем шаг

n=(b-a)/h; // количечтво шагов

i1=0: (n-1);

x=(a+i1*h)

d=exp (-0.02^x.*sqrt(x))

I1=h.*sum(d) // по форме левых прямоугольников

i2=1: (n);

x=(a+i2*h)

d=exp (-0.02^x.*sqrt(x))

I2=h.*sum(d) // по форме правых прямоугольников

function y=f(x), y=exp (-0.02^x.*sqrt(x)), endfunction;

[I, er]=intg (1. 0,2.6, f) // значение исходного итеграла

delI1=I-I1, delI2=(I-I2)

 //I1= 1.5895272; I2=1.5974230; I=1.5943423 по форме левых погрешность = 0.01

 // по форме правых погрешность = 0

Для

a=1.0; // нижний предел

b=2.6; // верхний предел

h=0.4; // вычисляем шаг

n=(b-a)/h; // количечтво шагов

i1=0: (n-1);

x=(a+i1*h)

d=exp (0.3^x^2)

I1=h.*sum(d) // по форме левых прямоугольников

i2=1: (n);

x=(a+i2*h)

d=exp (0.3^x^2)

I2=h.*sum(d) // по форме правых прямоугольников

function y=f(x), y=exp (0.3^x^2), endfunction;

[I, er]=intg (1. 0,2.6, f) // значение исходного итеграла

delI1=I-I1, delI2=(I-I2)

 //I1= 6.3502549; I2=1.64908; I=1.706 // по форме левых погрешность = 0.1

 // по форме правыхпогрешность = 0.1

Метод трапеций

Для

a=1.0; // нижний предел

b=2.6; // верхний предел

h=0.4; // количечтво шагов

n=(b-a)/(2*h); // вычисляем шаг

h

x=(0:h:n);

d=4*cos (0.02*x^3)

i=[d]

I1=h/3*(i(1)+4.*(i(2)+i(4))+(2.*(i(3)+i(5))+i(6)))

function y=f(x), y=4*cos (0.02*x^3), endfunction;

[I, er]=intg (1. 0,2.6, f) // значение исходного итеграла

Для

a=1.0; // нижний предел

b=2.6; // верхний предел

h=0.4; // количество шагов

n=(b-a)/(2*h); // вычисляем шаг

h

x=(0:h:n);

d=exp (-0.02^x.*sqrt(x))

i=[d]

I1=h/3*(i(1)+(4.*(i(2)+i(4)))+(2.*(i(3)+i(5)))+i(6))

function y=f(x), y=exp (-0.02^x*sqrt(x)), endfunction;

[I, er]=intg (1. 0,2.6, f) // значение исходного итеграла

Для

a=1.0; // нижний предел

b=2.6; // верхний предел

h=0.4; // вычисляем шаг

n=(b-a)/(2*h); // количечтво шагов

h

x=(0:h:n);

d=exp (0.3^x^2)

i=[d]

I1=h/3*(i(1)+(4.*(i(2)+i(4)))+(2.*(i(3)+i(5)))+i(6))

function y=f(x), y=exp (0.3^x^2), endfunction;

[I, er]=intg (1. 0,2.6, f) // значение исходного итеграла

Задание 4

1. Уточнить корень уравнений g(x)=0, отделенный на указанном отрезке методом половинного деления, методом хорд с точностью , а затем уточнить решение до точности методом Ньютона.

Решение

Метод половинного деления

Вычисляем координату середины отрезка и значение в этой точке,

Значит а=с

a	b	c			f(a)	f(b)	f(c)
0	2	1	0,047405	0,037397	0,5625	0,443752	0,084275429
1	2	1,5	0,002708	0,01426	0,084275	0,443752	0,032135151
1,5	2	1,75	0,005893	0,081382	0,032135	0,443752	0,183394684
1,75	2	1,875	0,055383	0,134007	0,183395	0,443752	0,301987074
1,875	2	1,9375	0,111832	0,164331	0,301987	0,443752	0,370321196
1,9375	2	1,96875	0,150516	0,180362	0,370321	0,443752	0,40644799
1,96875	2	1,984375	0,172724	0,188576	0,406448	0,443752	0,424959065
1,984375	2	1,9921875	0,184569	0,192731	0,424959	0,443752	0,434320967
1,992188	2	1,99609375	0,190679	0,194819	0,434321	0,443752	0,439027797
1,996094	2	1,998046875	0,193781	0,195866	0,439028	0,443752	0,441387593
1,998047	2	1,999023438	0,195344	0,196391	0,441388	0,443752	0,442569075
1,999023	2	1,999511719	0,196129	0,196653	0,442569	0,443752	0,44316021

Уточнённый корень

Метод хорд

Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [0; 2] разобьем на 2 подынтервала.

h1 = 0 +1* (2-0)/2 = 1

h2 = 0 +(1+1)* (2-0)/2 =2



Поскольку g(1)*g(2)>0 (т.е. значения функции на его концах имеют одинаковые знаки), то корень лежит в пределах [1; 2], и неподвижная точка будет (а), приближаться к корню со стороны (b).

Производим последовательные вычисления до выполнения условия .

a	b	f(a)	f(b)	f''(b)	f(b)*f''(b)
1	2	0,084275	0,443752	1,099214	0,487778
1	0,76556	0,084275	0,221835	0,281167	0,062373
1	1,143628	0,084275	0,026993	1,520586	0,041045
1	1,211309	0,084275	0,010362	1,68086	0,017417
1	1,240933	0,084275	0,005463	1,742276	0,009518
1	1,257634	0,084275	0,003372	1,77441	0,005983
1	1,268372	0,084275	0,002288	1,794094	0,004105
1	1,275862	0,084275	0,001655	1,807366	0,00299
1	1,281387	0,084275	0,001252	1,816912	0,002275
1	1,285631	0,084275	0,000981	1,824103	0,001789
1	1,288994	0,084275	0,000789	1,829713	0,001443
1	1,291725	0,084275	0,000648	1,834211	0,001189
1	1,293986	0,084275	0,000542	1,837898	0,000997

Ответ с точностью

Метод Ньютона выбрать начальное приближение х0 корня. Обычно это один из концов отрезка. Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию:

Найдём первую и вторую производные функции:

Таким образом, ноль «не подошёл».

Проверяем правый конец отрезка:

Каждое последующее приближение корня рассчитывается на основании предшествующих данных с помощью следующей рекуррентной формулы:

Процесс завершается при выполнении условия , где - заранее заданная точность вычислений. В результате за приближённое значение корня принимается «энное» приближение: .



Поскольку полученное значение больше , то переходим к 1-му приближению корня:

Вычисляем:

Поскольку полученное значение больше , поэтому возникает потребность перейти ко 2-му приближению:

Вычисляем:

полученное значение больше , поэтому возникает потребность перейти ко 509-му приближению:

Вычисляем:

полученное значение меньше

Ответ с точностью

2. Решить, используя возможности SCILAB

Метод половинного деления

function [value]=f(x)

value=(cos(x))^2-1/2-cos(x)+1/16; // зададим функцию

end function;

a=0

b=2

i=0;

if f(a)*f(b)>0 then

return;

end

x=b

while abs (f(x))>e

i=i+1;

x=(b+a)/2;

if f(x)*f(a)<0

b=x;

else

a=x;

end; end;

x

Метод хорд

function [value]=f(x)

value=cos(x)^2-1./2-cos(x)+1./16; // зададим функцию

endfunction;

a=0 //input ('Введите наименьшую точку интервала');

b=2 //input ('Введите наибольшую точку интервала');

e=0.001;

i=0;

 //k=(f(b) - f(a))/(b-a);

k=b - (a-b)/(f(a) - f(b))*f(b)

x=b;

while abs (f(x))>e

i=i+1;

x_prev=x;

x=-f(x)/k-x

end;

disp ('корень=', x);

disp ('итерации', i)

Метод Ньютона

function [value]=f(x)

value =(cos(x))^2-1/2-cos(x)+1/16; // зададим функцию endfunction

end function;

a =0; //input ('Введите наименьшую точку интервала');

b =2; // input ('Введите наибольшую точку интервала');

e = 0.000001;

x = b;

while abs (f(x)/numderivative (f, x))> e

x_prev = x;

k =numderivative (f, x); x = x - (f(x)/k);

end

x

Задание 5

1. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка удовлетворяющего начальным условиям на отрезке с шагом .

а) методом Эйлера;

Значения неизвестной функции в точках находятся по реккурентной формуле:

,

Имеем

)



			,
0	1	0.3679	-2.7358
1	1.2	-0.1793	-3.0257
2	1.4	-1.4427	-3.2916
3	1.6	-2.1578	-3.5752
4	1.8	-2.9369	-3.8956
5	2	-3.7874	-4.2552

б) методом Рунге-Кутта 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.

Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом реализуется по формуле:

			,
0	1	0.3679	-2.7358
1	1.2	-0.206	-2.9616
2	1.4	-0,808	-3.2269
3	1.6	-1,466	-3.4999
4	1.8	-2.184	-3.8025
5	2	-2.965	-4.1385

2. Решить, используя возможности SCILAB.

Методом Эйлера

x=1^-1

t0=1; t1=1.2; t2=1.4; t3=1.6; t4=1.8; t5=2; //t6=1.2

y0=1/exp(1)

y1=y0+0.2*(-2*t0*y0-2*t0^3)

y2=y1+0.2*(-2*t1*y1-2*t1^3)

y3=y2+0.2*(-2*t2*y2-2*t2^3)

y4=y3+0.2*(-2*t3*y3-2*t3^3)

y5=y4+0.2*(-2*t4*y4-2*t4^3)

y6=y5+0.2*(-2*t5*y5-2*t5^3)

function [value]=f (t, y)

value = (-2*t0*y0-2*t0^3);

endfunction

f(y)

function [value]=f (t, y)

value =-2*t1*y1-2*t1^3;

endfunction

f(y)

function [value]=f (t, y)

value =-2*t2*y2-2*t2^3;

endfunction

f(y)

function [value]=f (t, y)

value =-2*t3*y3-2*t3^3;

endfunction

f(y)

function [value]=f (t, y)

value =(-2*t4*y4-2*t4^3);

endfunction

f(y)

function [value]=f (t, y)

value =(-2*t5*y5-2*t5^3);

endfunction

f(y)

Методом Рунге-Кутта 2-го порядка

unction[value] = f (t, y)

value = ((2*t-1)/(t^2))*(y+1); endfunction

y_0 = 1/exp(1);

a_0 = 1; // начальная точка

b_ = 2; // конечная точка

h = 0.2; // шаг

n = (b_ - a_0)/h; // разбиение

iter = 0; // итерации

for i = 1:n // формирование массива ответов a(i) = 0;

end

//y_0=1/exp(1)

a(1) = y_0; // нач. условие - первый элемент массива ответов

while iter < n

a_ = a_0 + iter*h;

K1=dif (f(a_, a (iter + 1)));

K_2 = f (a_ + h/2, a (iter + 1) + K_1*h/2);

dy = (1/6)*h*(K_1 + 2*K_2);

// не забываем, что индекс массива начинается с 1,

// а не с 0 (как в С)

a (iter + 2) = a (iter + 1) + dy; iter = iter + 1;

end

a

Задание 6

1. Решить систему методом Гаусса, предварительно исследовать совместность.

Решение:

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_1,1. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на 3, - 4,2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a_2,2. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на 29/16, - 7/16 соответственно:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a_3,3. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -111/299:

система совместна

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Базисные переменные x₁, x₂, x₃, x₄.

Имеем:

2. Решить, используя возможности SCILAB

A=[1 -5 6 2; - 3 -1 5 -1; 4 9 1 1; - 2 3 5 -3]; b=[22; 6; - 1; - 1];

C=rref([A b]);

[n, m]=size(C); x=C(:, m)

Размещено на Allbest.ru

...