Вероятность появления хотя бы одного события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОЧУ ВО МОСКОВСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ АКАДЕМИЯ

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

По дисциплине:

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема: Вероятность появления хотя бы одного события

г. Москва

2020 год

Содержание

Аннотация

Глоссарий

Введение

Глава 1. Классическое определение вероятности

1.1 Понятие события

1.2 Определение и типы событий

1.3 Свойства вероятности

1.4 Аксиомы теории вероятностей

1.5 Теорема сложения вероятностей совместных событий

1.6 Формула полной вероятности

1.7 Условные вероятности

Глава 2. Вероятность появления хотя бы одного события

2.1 Формула вероятности появления хотя бы одного события

2.2 Формула полной вероятности

2.3 Формула Бейеса

2.4 Формула Бернулли

2.5 Производящая функция

2.6 Локальная и интегральная теоремы Лапласа

2.6.1 Локальная теорема Лапласа

2.6.2 Интегральная теорема Лапласа

Заключение

Список использованных источников



Аннотация

В данной курсовой работе рассмотрены основные теоретические и практические вопросы, связанные с нахождением вероятности появления хотя бы одного события.

Предпосылкой для написания данной работы стала необходимость разъяснения применения формул для нахождения вероятности, необходимых в различных сферах жизни.

Целью работы является исследование вероятности появления хотя бы одного события.

Данная курсовая работа состоит из35 страниц и включает в себя две главы, введение, заключение, библиографический список и приложения.

Во введении изложена цель работы, актуальность выбранной темы, а так же поставлен ряд задач, которые предстоит решить в ходе анализа данной темы. вероятность бернулли лаплас бейес

Первая глава посвящена рассмотрениютеоретических вопросов, таких как анализположений теории вероятностей, касающихся исследуемого вопроса.

Во второй главе проводится теоретический анализ теорем и формул, касающихся исследуемого вопроса, представлены примеры задач, решаемых с помощью приводимых формул.

В заключении описаны полученные результаты проделанной работы, а так же даны некоторые рекомендации в отношении проделанной работы.



Глоссарий

№ п/п	Понятие	Содержание
1.	Аксиома	исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений.
2.	Вероятность	степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.
3.	Испытание	это выполнение каких-либо условий, при которых наблюдается изучаемое явление.
4.	Математическое ожидание	означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины.
5.	Случайная величина	величина, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.
6.	Событие	то, что имеет место, происходит, наступает в произвольной точке пространства-времени; значительное происшествие, явление или иная деятельность как факт общественной или личной жизни; подмножество исходов эксперимента.
7.	Теория вероятностей	раздел математики, который изучает случайные события и их свойства.
8.	Условная вероятность	вероятность наступления события. при условии, что событие произошло.
9.	Функция распределения	функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х -- произвольное действительное число.
10.	Эксперимент	процедура, выполняемая для поддержки, опровержения или подтверждения гипотезы или теории. Эксперименты могут значительно различаться по целям и масштабам, как правило полагаются на повторяемую процедуру и логический анализ результатов. К экспериментам также относят и естественные исследования -- действия, направленные на удовлетворения любопытства.



Введение

Теория вероятностей - один из классических разделов науки математики. Она имеет довольно длительную историю. Основы этого раздела науки заложили великие математики. Например, Ферма, Бернулли, Паскаль. Позднее развитие теории вероятностей было определено в работах многих ученых. Большой вклад в данную науку внесли ученые нашей страны: П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникают в приложения. Они широко используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно сильно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, в настоящее время для изучения физических явлений производят опыты или наблюдения. Их результаты регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов обнаруживается разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения даже многократные измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Более наглядным примером случайной величины может послужить номер выигрышного билета в лотерее.

Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей.

Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин. Как уже говорилось, раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют "теорией вероятностей". Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатом проведения достаточно большого числа испытаний, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, теория вероятностей есть математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Объект исследования - изучение алгоритмов решения задач по нахождению вероятности появления хотя бы одного события.

Предмет исследования - применение изученных алгоритмов при решении задач по нахождению вероятности появления хотя бы одного события. Цель курсовойработы - решить индивидуальные задачи на основе изученного материала. Задачи исследования: изучить основные понятия и законы в теории вероятности, научиться применять основные формулы и законы теориивероятности при решении задач. На основе решенных задач сделать вывод о знании понятий, формул, законов и алгоритмов решения задач по теориивероятности.



Глава 1. Классическое определение вероятности

1.1 Понятие события

Любой исход эксперимента мы будем называть элементарным событием.

Все эти исходы равновозможные и взаимоисключающие друг друга. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании кубика всего 6 элементарных событий.

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…

Два события А и В называются несовместными, если в условиях эксперимента эти события не могут происходить одновременно, т.е. происходит только одно из них.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Например, события «пошел дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.

Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, либо не произойти. Так, например,при бросании игральной кости выпадение четного числа очков, т.е. появление либо грани с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным событием.

Со случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут либо произойти, либо не произойти в результате какого-то испытания,мывстречаемсяв жизни очень часто.

Ученик извлекает билет - это испытание. Появление при этом билета №13 - случайное событие, билета №5 - другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге - это испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «М» - это случайное событие.

Таблица 1. Примеры событий и их исходов.

Например,рассмотримследующие события:

№	Условие	Исход
1	При нагревании проволоки	её длина увеличится
2	При бросании игральной кости	выпадут 4 очка
3	При бросании монеты	выпадет герб
4	При осмотре почтового ящика	найдены три письма
5	При низкой температуре	вода превратилась в лёд

События А1, А5 произойдут закономерно, А2, А3, А4 - случайные.

СобытияА и В называются совместными, если в условиях эксперимента появление одного события не исключает появление другого.

Например, подбрасываем игральный кубик. Пусть

А - выпадение очков, кратных двум,

В -выпадение числа, кратных 3.

Эти события совместны, т.к. на грани может выпасть 6.

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно должно произойти одно из этих событий. И эти события равновозможны,взаимоисключающиеединственно возможные исходы.События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Примеры:

стреляем по мишени.

А - либо попали

В-либонепопали

Это полная группа событий.

2) «выпадение герба» и «выпадение цифры» при бросании монеты - равновозможные события. «Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками» - неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21.

Событие называется достоверным, если в ходе эксперимента оно происходит всегда (т.е. оно является единственным возможным исходом данного события).Например, идет экзамен. Оценка в любом случае будет получена, либо положительная, либо отрицательная,т.е. всегда.

Событие называется невозможным, если в ходе эксперимента оно никогда ненаступает.Например,в урне только синие шары. Вытащить желтый шар из этой урны просто невозможно.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результатеиспытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные. Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером 1. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения: А - событие; w - элементы пространства W; W - пространство элементарных событий; U - пространство элементарных событий как достоверное событие; V - невозможное событие. Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.

1.2 Определение и типы событий

Основополагающими понятиями в теории вероятностей являются понятие события и эксперимента.

Событие - это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате эксперимента.

Эксперимент в теории вероятностей представляет собой идеализированную модель реально производимых экспериментов, результаты которых невозможно заранее предсказать. Несмотря на это случайное событие подчиняется довольно строго математике. Результат большого числа случайных событий перестает быть случайным и может быть предсказан с высокой точностью. В этом смысле, предметом теории вероятностей является изучение вероятных закономерностей большого числа однородных случайных явлений.

Наблюдаемые события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Вероятность - есть мера случайности события, мера возможности событию произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате эксперимента.

Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдет в результате эксперимента.

Событие называется случайным, если при осуществлении ряда условий оно может либо произойти, либо не произойти.

Совместные события - события, при появлении одного из которых не исключается появление другого события. Несовместные события - события, при появлении одного из которых исключается появление другого.

События называются единственно возможными, если появление в результате эксперимента одного и только одного из них является достоверным событием.

Очевидно, единственно возможные события являются попарно несовместными.

События называются равновозможными, если можно считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов эксперимента.

Независимые события - события, наступление одного из которых не влияет на возможность наступления другого.

Зависимые события - события, наступление одного из которых влияет на возможность наступления другого.

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

При рассмотрении экспериментов не учитываются маловероятностные исходы. События из полной группы должны быть равновозможными, т.е. нет предпосылок считать, что одно из них наступит скорее другого. Элементарные события обозначим , полная группа событий . Тогда любое событие A может быть представлено подмножеством множества .

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое обозначают .

1.3 Свойства вероятности

Вероятностью событияА называется дробь, числитель m которой равен числу исходов, благоприятных А, знаменатель n - числу всех исходов опыта

Теорема. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

P(A) = 1-

где q= 1,2,3,...,n.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность р, то вероятность появления хотя бы одного из событий:

Пример 1.1. Среди семян подсолнечника иногда встречаются невосприимчивые к некоторой распространенной болезни. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью не меньшей 0,999 ожидать, что вырастет хотя бы одно растение, невосприимчивое к этой болезни, если для каждого растения вероятность быть восприимчивым к ней равна 0,999999?

Решение. Пусть необходимо посеять n семян. Вероятность вырастить хотя бы одно растение, невосприимчивое к некоторой болезни (событие А), равна

где q =0,999999 - вероятность восприимчивости к ней.

По условию вероятности рассматриваемых событий Р(А) = 0,999, q = 0,999999 и имеет место соотношение

или

Решая полученное уравнение путем логарифмирования, окончательно получим

1.4 Аксиомы теории вероятностей

При аксиоматическом подходе к определению вероятности последняя задается перечислением ее свойств. Простейшие свойства вероятности определяютсяестественными свойствами частоты м(A), указанными выше.

Пусть каждому событию ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события.

Вероятностью называется числовая функция P (A), заданная на множестве событий, образующих у-алгебру F , если выполняются следующие аксиомы.

Аксиомы

1. Всякому событию А ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А: А >Р(А).

2. Достоверному событию ставится в соответствие 1: U >Р(U)=1.

3. Если F - множество элементарных событий, A и B ?F и А?В=V, то Р(А?В) = Р(А) + Р(В).

4. Если множество всех событий сч?тно и они попарно не могут произойти одновременно, то

Ныне принятое аксиоматическое определение вероятности было введено в1933 г. А.Н. Колмогоровым.

Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислять вероятности любых событий (подмножеств пространства Щ) с помощью вероятностей элементарныхсобытий. Вопрос о том, как определить вероятности элементарных событий, приэтом не рассматривается. На практике они определяются либо из соображений,связанных с симметрией опыта (например, для симметричной игральной костиестественно считать одинаково вероятным выпадение каждой из граней), либоже на основе опытных данных (частот).

Заметим, что вероятность события A, определяется не на пространстве Щ, а на некоторой у-алгебре событий, определена Щ. Можно показать, что существуют множества A ? Щ, для которых нельзяопределить вероятность, которая удовлетворяла бы аксиомам 1-3. Поэтому вдальнейшем мы будем рассматривать только те множества A ? Щ, для которыхмы можем определить вероятность.

Итак, вероятность есть функция P: F > R, удовлетворяющая условиямаксиом 1-3, или, как говорят, нормированная (вероятностная) мера, заданнаяна множестве F .

Можно показать, что аксиома 3 эквивалентна двум следующим аксиомам.

1.5 Теорема сложения вероятностей совместных событий

1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета вероятностей их совместного появления

При использовании формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Если A и В независимые события, то

а для зависимых событий

2. Для трех совместных событий

А, В и С имеет место

Пример 1.2. На экзамен пришли два студента. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, составляет 0,9, а второго -- 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один из них экзамен сдаст?

Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый студент сдаст экзамен, а событие В - второй студент сдаст экзамен. В задаче требуется найти вероятность суммы событий А+В, причем эти события совместны, так как возможна ситуация, когда оба студента сдадут экзамен. Используя формулы (3.9) и (3.10) для вероятностей совместных событий и предполагая независимость этих событий, имеем:

Пример 1.3. В аптечке 4 упаковки аспирина и 6 фурацилина. Какова вероятность извлечения хотя бы одной упаковки аспирина, если вынуты 2 упаковки?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что будет вынута упаковка аспирина при 1 -м изъятии, событие В -- при 2-м.

События А и В - совместны, т.к. возможна ситуация, когда в обоих упаковках может окажется аспирин. При этом эти события нельзя считать независимыми, поскольку их вероятности зависят от того, произошли эти события или нет. По формулам (3.9) и (3.11) найдем искомую вероятность

1.6 Формула полной вероятности

Вероятность события А, которая может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Я,, Я2, Я3,...,Я„, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А, где

Пример 1.4. Имеются 3 одинаковые урны с шарами. В первой из них находится 3 белых и 4 черных шара, во второй -- 2 белых и 5 черных, а в третьей - 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?

Решение. Пусть событие А - извлечен белый шар, Я, -- выбрана первая урна, Н2 - выбрана вторая урна, Я, - выбрана третья урна. Все события выбора урны равновероятны, следовательно, их вероятности

Найдем условные вероятности события А при выборе соответствующей урны:

Подставляя эти данные в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность извлечения белого шара:

Пример 1.5. В списке медперсонала поликлиники числится 40 врачей, 30 медсестер и 5 заведующих отделениями. Вероятность выполнить квалификационную категорию равна: для врача -- 0,9; медсестры - 0,8 и заведующего отделением - 0,93. Найти вероятность того, что наугад отобранный медработник подтвердит квалификационную категорию.

Решение. Отобранный медработник, сдавший квалификационную категорию (событие А), может оказаться врачом (гипотеза 1), медсестрой (гипотеза 2)и заведующим отделением (гипотеза 3). Согласно условию примера вероятности гипотез будут равны соответственно:

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

Искомая вероятность того, что отобранный наугад медработник подтвердит квалификационную категорию, по формуле полной вероятности:

1.7 Условные вероятности

Условной вероятностью P(A/B) события A при условии, что событие B произошло (P(B) ?0 назовем отношение P (A·B)/P(B) .

Это определение эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой P (A·B) = P (A) · P (B/A) = P (B)· P(A/B), т.е. вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило.

Два события A и B называются независимыми, если P (A·B) =

P (A) · P (B) .

Построение классической вероятности основано на правилах сложения и умножения вероятностей, следствия которых имеют следующие интерпретации на вероятностных деревьях:

1. P(A·B + C · D) = P (A) · P (B/A) + P (C) · P(D/C). , где A·B и C·D - несовместные события

Рисунок 1

2. P()=P() P()…P(

Рисунок 2

Назовем произведение P()P()…P(

весом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующие событиям .

Интерпретацией теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях служит дерево исходов, соответствующее "благоприятному" событию. Рядом с каждым ребром такого дерева запишем вероятность исхода, соответствующего конечной вершине этого ребра при условии выполнения произведения всех исходов, соответствующих вершинам пути от корня дерева до данной вершины.

Эффективность данных интерпретаций покажем на следующих примерах.



Глава 2. Вероятность появления хотя бы одного события

2.1 Формула вероятности появления хотя бы одного события

Пусть события . независимы в совокупности, причем р() = р1, р() = р2,…р() = pn; пусть в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них.

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий независимы в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную P, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Р(А) = 1 - .

Пример 2.1. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего соответственно равны: р1 = 0,1; р2 = 0,15; р3 = =0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие А), если откажет хотя бы один из элементов.

Искомая вероятность

Р(А) = 1 - = 1 - (1 -)(1 -)(1 -) = 0,388.

2.2 Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2,…, Вн, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А.

Пример 2.2. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Поскольку имеется две гипотезы: стрелок взял винтовку с оптическим прицелом, вероятность этого события р(В1) = 3/5, или стрелок взял винтовку без оптического прицела с вероятностью р(В2) = 2/5. Сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий).

Условная вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом (согласно условию задачи) равна р(В1(А)) = 0,95.

Условная вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки без оптического прицела (согласно условию задачи) равна р(В2(А)) = 0,7.

Искомая вероятность того, что стрелок поразит мишень одним выстрелом, из наудачу взятой винтовки, равна

р(А) = р(В1) рВ1(А) + р(В2) рВ2(А) = 0,85.

2.3 Формула Бейеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2,…, Вн, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут переоценены по формуле Бейеса

,



где i = 1, 2,…,n; и р(А) = р(В1)рВ1(А) + р(В2)рВ2(А) + …+ р(Вn)рВn(А).

Пример 2.3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая деталь с конвейера оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через А событие - деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы: В1 - деталь произведена первым автоматом, причем, поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй, то

р(В1) = 2/3;

В2 - деталь произведена вторым автоматом, причем

р(В2) = 1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом,

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

р(А) = р(В1)рВ1(А) + р(В2)рВ2(А) = 0,68.

Тогда по формуле Бейеса, искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, равна

.

Заметим, что полученная вероятность меньше чем декларированная производителем вероятность выпуска первым автоматом деталей отличного качества. Таким образом формула Бейеса позволяет переоценить вероятности исходных гипотез.

2.4 Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз определяется формулой Бернулли и равна

,или,где q = 1 - p.

Вероятность того, что событие наступит:

а) менее k раз

;

б) более k раз

;

в) не менее k раз

;



г) не более k раз

.

Пример 2.4. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть две парии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимать)?

Решение. Так как играют равные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша равна р = 1/2, следовательно вероятность проигрыша q также равна 1/2. Поскольку во всех партиях вероятность выигрыша постоянна, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

.

Найдем вероятность того, что три партии из шести будут выиграны:

.

Так как (2) >(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из шести.

2.5 Производящая функция

В предыдущих задачах рассматривали испытания с одинаковыми вероятностями появления события; рассмотрим такие испытания, в которых вероятности появления события различны.

Пусть производится n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна P1, во втором - P2,…, в n-м испытании Pn; вероятности непоявления события А соответственно равны q1, q2,…, qn; (k) - вероятность появления события А в n испытаниях ровно k раз.

Производящей функцией вероятностей (k) называют функцию, определяемую следующим равенством

цn(z) = (P1z + q1)(p2z + q2)…(Pnz + qn).

Вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р1, во втором - р2 и так далее, событие А появится ровно k раз, равна коэффициенту при zk в разложении производящей функции по степеням z.

Например, если n = 2, то

ц2(z) = (p1z + q1)(p2z + q2) = p1p2z2 + (p1q2 + p2q1)z + q1q2.

Здесь коэффициент р1р2 при z2 равен вероятности Р2(2) того, что в двух испытаниях событие А появится ровно два раза; коэффициент p1q2 + p2q1 при z1 равен вероятности Р2(1) того, что событие А появится ровно один раз, коэффициент при z0 т. е. свободный член q1q2 равен вероятности Р2(0) того, что событие А не появится ни одного раза.

Пример 2.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов за время t соответственно равны р1 = 0,7; р2 = 0,8; р3 = 0,9. Найти вероятности того, что за время t будут работать: а) все элементы, б) два элемента, в) один элемент, г) ни один из элементов.

Решение. Так как вероятности безотказной работы элементов равны р1 = 0,7; р2 = 0,8; р3 = 0,9, то вероятности того, что элементы откажут

q1 = 0,3; q2 = 0,2; q3 = 0,1.

Составим производящую функцию

а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z3:

Р3(3) = 0,504.

б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z2:

Р3(2) = 0,398.

в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z1:

Р3(1) = 0,092.

г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену:

Р3(3) = 0,006.

В заключение отметим, что сумма всех найденных вероятностей равна единице, поскольку перечисленные события образуют полную группу

0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.

2.6 Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Если число испытаний возрастает, то вычисление вероятностей по формуле Бернулли затруднено из-за факториальных расчетов, с этой целью используют приближенный расчет.

2.6.1 Локальная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 )< p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна

.

Здесь

.

Таблица функций ц(х) для положительных значений х приведена в приложениях практически каждой книги по теории вероятности; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей, поскольку функция ц(х) четная, следовательно, ц(х) = ц(-х).

2.6.2 Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

Здесь

- функция Лапласа,

Таблица функции Лапласа для положительных значений х (0 < x < 5) приведена в приложениях практически каждой книги по теории вероятности; для значений x > 5 полагают Ц(х) = 0,5; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей, учитывая, что функция Лапласа Ф(х) = -Ф(-х) нечетная.

Пример 2.6. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Где

а) По условию n = 100; р = 0,8; q = 0,2; k1 = 75; k2 = 90.

Вычислим х' и х":

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т. е. Ф(-1,25) = -Ф(1,25) получим

Р100(75;90) = Ф(2,5) - Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице функций Лапласа найдем

Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность равна

Р100(75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может равно 75 либо 76, …, либо 100, т. е. находится в интервале от 75 до 100. Таким образом, в рассматриваем случае следует принять k1 = 75; k2 = 100. Тогда

По таблице функций Лапласа найдем

Ф(5) = 0,5; Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность равна

Р100(75; 100) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.

в) События - «А появилось не менее 75 раз» и «не более 74 раз» противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно, искомая вероятность

(0; 74) = 1 - (75; 100) = 0,1056.

Пример 2.7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Решение. По условию р = 0,8; q = 0,2; k1 = 75; k2 = n; Pn(75; n) = 0,9. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

.

Подставляя данные задачи, получим

Очевидно, число испытаний n > 75, поэтому

, поскольку функция Лапласа возрастающая и Ф(4) ? 0,5, то можно положить Ф(4,33) = 0,5, следовательно,

Таким образом,

.

По таблице функций Лапласа найдем 0,4 = Ф(1,28). Из соотношения, учитывая что функция Лапласа нечетная, получим

.

Решая это уравнение, как квадратное относительно , получим = 10.Следовательно, искомое число испытаний равно n = 100.



Заключение

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением в науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку существующее программное управление не может помочь человеку в создании таких кибернетических машин, которые, подобно человеку, будут мыслить самостоятельно. И именно теория вероятности может способствовать появлению искусственного разума. «Процессы управления, где бы они ни протекали - живых организмах, машинах или обществе,- происходят по одним и тем же законам», - провозгласила кибернетика. А значит, и те, пусть еще не познанные до конца, процессы, что протекают в голове человека и позволяют ему гибко приспосабливаться к изменяющейся обстановке, можно воспроизвести искусственно в сложных автоматических устройствах. Важнейшим понятием математики является понятие функции, но почти всегда речь шла об однозначной функции, у которой одному значению аргумента соответствует только одно значение функции и функциональная связь между ними четко определенная.

Однако в реальности происходят случайные явления, и многие события имеют не определенный характер связей. Поиск закономерностей в случайных явлениях - это задача раздела математики теория вероятности. Теория вероятности является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики. Теория вероятности позволяет достоверно вычислить колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Также теория вероятности является основой такой науки как статистика. На формулах этого раздела математики построено так называемая теория игр.



Библиографический список

1. Рукосуев А. В., Балдин, К. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. - 2-е изд. - М. : Дашков и К, 2010. - 473 с.

2. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / Л. Н. Губарь, А. В. Ермоленко. - Сыктывкар: Изд-во СГУ имени Питирима Сорокина, 2015 - 120 с.

3. Теория вероятностей: Конспект лекций для факультета АиВТ. - М.: Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2017 - 99 с.

4. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Бочаров П.П., Печинкин А.В.- М.: Физматлит, 2005.

5. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. - СПб.: Издательство «Лань», 2006.

Размещено на Allbest.ru

...