Основные вопросы алгебры
Знакомство с основными особенностями решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, а также по правилу Крамера. Рассмотрение способов постройки графика функции. Методика получения эквивалентной исходной системы линейных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.06.2020 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание № 1. Дана система линейных алгебраических уравнений.
Требуется:
а) решить систему по правилу Крамера;
б) решить систему методом Гаусса;
в) решить систему с помощью обратной матрицы.
а) решаем систему по правилу Крамера, находим главный определитель:
Главный определитель не равен нулю, продолжаем решать систему.
Получаем определитель x1 из ? путём замены столбца коэффициентов x1 столбцом свободных членов:
?x1=
Находим ==1;
Получаем x2
Ответ: X1=1; X2=2; X3=-3
Проверяем:
б) решаем систему методом Гаусса
записываем расширенную матрицу системы:
1преобразовывание матрицы: меняем местами 1 и 2 строки.
2 преобразование: прибавляем к 2 строке умноженную на -2 первую строку.
3преобразование: прибавляем к 3 строке умноженную на -3 первую строку.
В результате преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:
линейный уравнение график
В третьем уравнении уже готовый вариант x3=-3,
Из второго уравнения видно что т.е.
И наконец, первое уравнение при уже известных x2 и x3
соответственно
Ответ: x1=1, x2=2, x3=-3
В) решаем систему с помощью обратной матрицы,
1 находим определитель
2 вычисляем матрицу миноров
Таким образом получаем:
матрицу миноров соответствующих элементов матрицы A
матрицу алгебраических дополнений
транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Теперь записываем обратную матрицу
Осталось произвести матричное умножение на столбцы свободных членов
Ответ: X1=1, X2=2, X3=-3
Задание № 2.
Даны координаты вершин пирамиды . Требуется:
а) найти длину ребра ;
б) найти косинус угла между ребрами и ;
в) найти синус угла между ребром и плоскостью ;
г) найти площадь треугольника ;
д) найти объем пирамиды и длину высоты, опущенную из вершины на плоскость ;
е) записать уравнение плоскости и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость .
, , , .
Находим три вектора отложенного от точки A
а. находим длину ребра AB
по формуле:
б. находим косинус угла между ребрами и ;
Угол между ребрами ищется как угол между соответствующими векторами - с использованием скалярного произведения
5
в. находим синус угла между ребром AD и плоскостью ABC:
Для этого вычислим координаты нормального вектора плоскости ABC
сначала находим векторное произведение векторов:
Нормальный вектор плоскости ABC:
г. Находим площадь треугольника ABC по формуле
с помощью векторного произведения векторов используя формулу :
N
вычислим его длину:
Площадь грани ABC:
д. находим объём пирамиды ABCD и длину высоты:
V находим с помощью смешанного произведения векторов:
Находим длину высоты из D на ABC
e1. записать уравнение плоскости ABC
Ответ:
Проверяем:
Выпишем нормальные векторы уравнений, координаты которых являются коэффициентами при неизвестных в уравнении:
e2. Записать уравнение высоты из D на ABC:
Задание №3. Вычислить пределы:
а)
для выражения сопряженным является:
умножим его на числитель и знаменатель:
Учитывая что (a-b)·(a+b)=a2-b2 получаем:
б)
используя свойства второго замечательного предела:
Получаем:
Здесь a=-2, b=7/2
Задание №4. Найти для функций:
а)
б)
формулы: 4)
б)
Дифференцируем левую и правую часть равенства:
Задание №5. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения d(y)=(-?,-1)U(-1,+?)
2) x=-1 -- вертикальная асимптота
Проверим функцию на чётность/нечётность
3)
4)
функция не является чётной и не является не чётной
5)
Найти промежутки на которых принимает положительные и отрицательные значения
На(-?;-1)U(1;+?) функция убывает
На (-1;1) функция возрастает
X=1 точка максимума
6) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба
На (-?;-1)U(-1;2) -- функция выпукла На (2;+?) -- функция вогнута
Точка x=2 -- точка перегиба
7) Ищем наклонные и горизонтальные асимптоты
-- горизонтальная асимптота
8) Найти значения функции в промежуточных точках
Таблица
8)Построим график функции
График
Задание №6. Найти неопределённые интегралы.
Вычислим каждый интеграл по отдельности используя формулу интегрирования по частям:
вернёмся к исходной сумме интегралов:
Проверка:
Задание №7. С помощью определённого интеграла вычиcлить площадь области D, ограниченной заданными линиями.
D:y=x-1, y=x2-3x+2
y=x-1-- прямая
y=x2-3x+2 -- парабола (ветви вверх)
Изобразим кривые на графике и найдём точки их пересечения
График 2
Координаты вершин параболы
В нашем случае a=1, b=-3, c=2
Найдём абсциссы точек пересечения графиков:
x-1=x2-3x+2
x2-4x+3=0
D=16-4*3=4
, a=1; b=3
Список литературы
1.Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. / Д. Т. Письменный. - 12-е изд. - М. : Айрис-Пресс, 2013. - Ч. 1. - 288 с. Экземпляров всего: 177.
2.Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. / Д. Т. Письменный. - 9-е изд. - М. : Айрис-Пресс, 2013. - Ч. 2. - 256 с. Экземпляров всего: 166.
3.Математика. Базовый курс [Текст]: учебник / Гулиян Б.Ш. - Москва: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. - 712 с.
4.Аналитическая геометрия в примерах и задачах. А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. М., Высшая школа, 2005.Сборник задач по высшей математике: с контрольными работами: 1 курс / К. Н. Лунгу [и др.]. - 9-е изд. - М. : Айрис пресс, (2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2013).
5.Математика (общий курс) - Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский, Лань, 2004.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.
контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.
курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Структура и элементы, принципы формирования и правила разрешения систем линейных алгебраических уравнений. История развития различных методов решения: матричного, Крамера, с помощью функции Find. Особенности применения возможностей программы Mathcad.
контрольная работа [96,0 K], добавлен 09.03.2016Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011
