Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение

«Лицей №6 им. И. З. Шуклина г. Горно-Алтайска»

Графический метод решения текстовых задач

Выполнил: Ученица 10 класса

Гранина Валерия Алексеевна

Научный руководитель: Киреева Людмила Александровна

учитель математики первой категории

г. Горно-Алтайск 2020 г.



Оглавление

Введение

1. История применения графического метода для решения задач

2. Основные приемы решения задач с помощью графического метода

3. Задачи на движение

4. Задачи на работу

5. Задачи на смеси и сплавы

6. Задачи с параметром

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4



Введение

Известно, что некоторые задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает их решение.

В данной работе представлен графический метод решения задач, который основан на наглядно-геометрических интерпретациях, связанных с построением графического образа задачи на координатной плоскости. Таким образом, выбранная тема актуальна и перспективна. Из-за сложности, нестандартности графический метод решения задач в школьном курсе математики не изучается.

Проблема: Появились совершенно новые типы задач, не входящие в действующие школьные учебники, при решении которых необходимо практическое применение свойств, которые раньше заучивались лишь теоретически.

Гипотеза: решение задач графическим методом является наглядным представлением условий в виде рисунка или чертежа, что помогает глубже понять условие задачи, делает его более наглядным, значительно упрощает решение.

Предмет исследования: графический метод решения задач

Цель: исследовать графический метод решения задач, а также области его применения.

Задачи:

1. Изучить историю применения графического метода для решения задач различных видов.

2. Рассмотреть различные типы задач, методом решения которых может являться график.

3. Выявить плюсы и минусы этого метода.

4. Выяснить области применения графического метода решения задач.

1. История применения графического метода для решения задач

графический график задача метод

Древние греки в 6-4 вв. до н. э. решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.

Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Величайшим математическим физиком древности был Архимед. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения.

Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до 17 века. И даже в 18 веке, когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».

2. Основные приемы решения задач с помощью графического метода

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи - зачастую удобный технический прием.

Виды задач:

· Задачи на движение

· Задачи на совместную работу

· Задачи на смеси и сплавы

· Задачи с параметрами

Решение, как известно, осуществляется двумя приемами: либо точными построениями при помощи инструментов (конструктивный прием), либо обоснованными вычислениями (вычислительный прием):

1. Конструктивный приём (чисто графический). График вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой на миллиметровой бумаге. Ответ получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей; мы находим его при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читаем» ответ на чертеже.

2. Вычислительный прием (графико-вычислительный). График применяется как условное изображение связи между рассматриваемыми величинами. Решение задачи осуществляется на точных геометрических соотношениях.

Решение текстовой задачи графическим способом осуществляется в три этапа:

1. Построение графической модели задачи.

2. Решение получившейся графической задачи.

3. Перевод полученного ответа с графического языка на естественный.

3. Задачи на движение

Немаловажное значение в математике имеют задачи на движение. Задачи на движение подразделяются на следующие типы: по количеству движущихся объектов, по направлению движущихся объектов, по времени начала движения.

Задача 1.

Из пункта O в пункт N вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта N в пункт O выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 минут после своего выезда из N. Сколько времени понадобится пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно, что велосипедист проделал бы весть путь на 4 часа быстрее пешехода.

Решение:

Построим график зависимости пройденного пешеходом и велосипедистом пути от времени (Рис. 1). Пусть p(x) - зависимость пройденного пешеходом пути от времени x, w(x) - зависимость пройденного велосипедистом пути от времени x.

Обозначим BC через x. Тогда NK = OB = 5/6 ч, CD = 4 ч, KT = x, KL = x + 4.

MBC ~MKN - по двум углам: MBC = MKN = 90°,

KMN = BMC - как вертикальные.

Из подобия следует:

(1)

MLK ~MBO - по двум углам: KLM = MOB - как накрест лежащие углы при параллельных прямых, MBO = MKL = 90°. Из подобия следует:

(2)

Из равенств (1) и (2) получаем:

Подставим значения:

Так как OD = (x + 5/6 + 4) - время прохождения пути пешеходом, то он проделал его за 5 часов.

Ответ: 5 часов.

Задача 2 см. в Приложении 1.

4. Задачи на работу

В задачах на работу речь идёт, как правило, о какой-то деятельности.

Задачу 3 и ее решение см. в Приложении 2.

Задача 4.

Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то всё задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всё задание?

Решение:

Предположим, что первый рабочий работает быстрее, чем второй (Рис. 2). Отрезок AN - график работы первого рабочего, а отрезок BD - график работы второго рабочего. AQ изображает время совместной работы; AQ = 12 ч. Проведем NK?BD, тогда AK = 50, QK = 38



Рис. 2

?BPN??APD

12(12 + x) = x(38x)

x² 26x + 144=0

x₁ = 18 не подходит, т.к. первый рабочий работает быстрее. Тогда время первого 12 + 8 = 20 дней, а второго 38 8 = 30 дн.

Ответ: первый за 20 дней, а второй за 30 дней.

5. Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы считаются сложными.

Задачу 5 и ее решение смотрите в Приложении 3.

Задача 6.

В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение:



Рис. 3

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой общую массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости. (Рис. 3)

Ответ: 12,5 %

6. Задачи с параметром

Изучение многих физических процессов, химических, экономических и многих других закономерностей имеют практическую направленность и часто приводят к решению задач с параметрами, которые бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Аналитические (алгебраические) методы решения задач с параметрами довольно громоздки, требуют аккуратности выкладок, умения не «потерять решение», проверить всевозможные значения параметра.

В современной жизни решение уравнений с параметрами является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе.

Задача 7.

Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?

Решение:

Перепишем уравнение в виде . Решим его в системе координат (Оху). Для этого построим графики функций и . (Рис. 4)

Рис. 4

Ответ: Если , то уравнение имеет два корня; если , то уравнение имеет один корень; если , то корней нет.

Задача 8 и ее решение в Приложении 4.



Заключение

Одно из преимуществ графического метода перед алгебраическим, состоит в наглядности решения, что позволяет лучше понять задачу. Использование этого метода упрощает решение задач: нет громоздких вычислений. График дает возможность определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно. Есть и «минусы»: иногда получаются приближённые значения в случаях неудачного масштаба или очень трудно вообще отыскать решение.

Современная наука и техника очень широко использует графики. График - международный язык техники.

Кроме того, в ходе освоения графического метода решения текстовых задач формируются практические навыки. Графический метод решения таких задач позволяет провести параллель с физикой, где использование системы координат достаточно часто применяется при решении физических задач. Также графический метод позволяет решать некоторые задачи из химии, например, рассмотренные нами задачи на смеси и сплавы.

Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции в решении текстовых задач. В процессе работы над данной темой, выяснилось, что при решении текстовых задач наряду с традиционными методами, можно использовать и графический метод. Были изучены материалы учебно-методической литературы. Решены задачи из экзаменационных материалов разными способами.

Гипотеза подтвердилась частично. Графический метод упрощает решение задач. Но есть и минусы, о которых было сказано выше. Настоящее исследование значительно расширило представление о графиках функций, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи функции с реальными ситуациями, возникающими в нашей жизни. Есть планы продолжить исследование в этом направлении и более детально рассмотреть графико-геометрический метод, который основан на подобии треугольников.

Список литературы

1. Быков А.А. Сборник задач по математике. М.:Изд..дом ГУ ВШЭ,2008

2. Генкель Г.З. «Геометрические решения негеометрических задач», Москва: Просвещение 2007.

3. Кочагин В.В. ОГЭ 2018. Математика: тематические тренировочные задания: 9 класс. Москва: Эксмо, 2017. 192 с.

4. Лысенко Ф.Ф. Учимся решать задачи с параметром. Ростов-на-Дону: Легион, 2012.

5. Лунина Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом //Математика в школе: М.: Изд. «Школа-Пресс», 1996. №4. с.34-39.

6. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами. М.: ШколаПресс, 1996.

7. Пирютко О. Н. «Графический метод решения текстовых задач» - Минск.: Новое знание, 2010

8. Рудин В.Н., Рудина Е.И. Графическое решение текстовых задач. Учебное пособие по математике для учителей и учащихся. Издание Томского института повышения квалификации работников образования, 1995 г.

9. Савин А. П. Занимательные математические задачи. М.: АСТ, 1995.

10. Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями. Учебное пособие. М.: Бином, 2004.

11. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. М.: Просвещение, 1989.

12. Ященко И.В., Волчкевич М.А. и др. ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ. М.: Издательство «Экзамен», 2018. 263 с.



Приложение 1

Задача 2.

Из пункта A вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

Решение:

За начальный отсчет времени берется момент выхода грузовой машины, тогда момент выхода легковой машины будет через два часа. Зная скорости движения объектов, построим графики движения (Рис. 5). По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает встречу машин, она состоялась на расстоянии 360 км.

Ответ: 360 км.

Рис. 5



Приложение 2

Задача 3.

Бригада укладчиков плитки N может справиться с определённой работой за 7 недель. Через 2 недели после начала работы на помощь первой бригаде пришла вторая - бригада Р, которая может справиться с этой работой за 10 недель. За какое время обе бригады закончат работу?

Решение.

Рис. 6

Построим график. На оси х будем откладывать время, за которое бригады выполнят работу (единичный отрезок равен 1 недели). На оси у будем откладывать работу, которую необходимо выполнить. Построим графики работы (Рис. 6).

По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает, через сколько недель обе бригады закончат работу, работая одновременно.

Ответ: за 5 недель.



Приложение 3

Задача 5.

Один сплав содержит металлы в отношении 1:5, другой сплав содержит эти же металлы в отношении 5:7. В какой пропорции нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить сплав, содержащий те же металлы в отношении 1:3?

Рис. 7

Решение:

По оси ординат будем откладывать вес сплава в условных единицах. По оси абсцисс будем откладывать вес первого металла в также условных единицах (Рис. 7). Первый металл в первом сплаве составляет 1/6 часть. Построим график для 1 сплава. Взяв по горизонтали 1 у.е., а по вертикали 6 у.е., получим точку С. Проведем через точку С и начало координат прямую. Взяв произвольную точку на этой прямой и спроецировав ее на оси, мы определим сколько условных единиц весит весь сплав и сколько условных единиц составляет в нем вес первого металла. Аналогично построим график для 2 и 3 сплава.

Из любой точки вертикальной оси, например, на уровне точки D, проведем горизонтальную прямую, пересекающую характеристики в точках М, N и D. Отношение длины отрезка ND к длине отрезка MN даст пропорцию, в которой нужно взять сплавы I и II соответственно. Так как в данном случае отрезок ND в 2 раза больше отрезка MN, то необходимо взять 2 части первого сплава и 1 часть второго сплава. Подсчитать пропорцию можно, спроецировав отрезки на горизонтальную ось и подсчитав число делений на ней. Можно просто измерить отрезки линейкой.

Ответ: сплавы необходимо брать в пропорции 2:1.



Приложение 4

Задача 8.

При каких значениях параметра a модуль разности корней уравнения

x² - 6x + 12 + a² ? 4a = 0 принимает наибольшее значение?

Решение:

Модуль разности двух чисел - это расстояние между двумя точками координатной прямой.

Выделим полные квадраты в левой части уравнения

(x² ? 6x + 9) + (a² ? 4a + 4) = 1

(x ? 3)² + (a ? 2)² = 1.

Это уравнение окружности с центром (3;2) и радиусом 1 в системе координат Оxy (рис. 8). Расстояние между точками будет наибольшим, если они являются концами диаметра окружности равного 2.

Рис. 8

x₁ = 2; x₂ = 4; |x₂ - x₁| = 2.

Найдём значение a:

1) x = 2

(2 ? 3)² + (a ? 2)² = 1

a = 2

2) x = 4

(4 ? 3)² + (a ? 2)² = 1

a = 2

Ответ: a = 2.

Размещено на Allbest.ru

...