Солитоны в нелинейном уравнении Шредингера с пространственно индуцированным рассеянием Рамана и неоднородным потенциалом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Солитоны в нелинейном уравнении Шредингера с пространственно индуцированным рассеянием Рамана и неоднородным потенциалом

Введение

Динамика солитонов в рамках связного расширенного нелинейного уравнения Шрёдингера с учетом псевдо-идуцированного рассеяния Рамана (ПИРС) и пространственно неоднородного дополнительного потенциала рассматривается как аналитически, так и численно. Показано, что смещение волнового числа солитона, вызванное ПИРС, может быть компенсировано его повышением, вызванным уменьшающимся по координате потенциалом, приводящим к стабилизации солитонов.

Особенности

>Изучены солитоны в расширенном нелинейном уравнении Шрёдингера. >Мы рассматриваем среды с псевдо-идуцированным рассеянием Рамана и неоднородным потенциалом.

Ключевые слова: Расширенное нелинейное уравнение Шрёдингера; Псевдо-идуцированное рассеяние Рамана; Неоднородный потенциал; Солитон.

Известно, что вибрации, которые возбуждаются в любой точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной), передаются в другие места. Эта передача взаимосвязана. В этом случае вибрации возбуждаются в одной точке, особенно в вибротеле. Волны механизма распространения могут быть доступны. В простейшем случае связи между участниками и средой могут быть вызваны силами упругости. В этом случае продольные волны имеют возможность распространяться в твердой среде, где перемещения частиц в среде осуществляются в направлении распространения волны, а поперечные волны, где перемещения частиц перпендикулярны распространению волны. Напротив, у нас нет сопротивления. Хорошо известным примером продвинутых волн в природе являются звуковые волны. Со временем результаты, достигнутые в этой области, в значительной степени породили идеи о новых структурных единицах в нелинейной физике твердого тела, а именно солитонах. Как известно, солитоны - это пространственно локализованные частицы, которые подобны волнам, восстанавливающим свою форму даже после взаимодействия с другими солитонами или нелинейными волнами. Их роль в нелинейной физике аналогична роли квазичастиц в линейной теории. Единственное отличие состоит в том, что солитоны несут информацию о структуре и динамике нелинейной среды для определения кинетических, термодинамических и других свойств конденсированного вещества в условиях больших внешних воздействий на систему.

Солитоны обычно известны как устойчивые локализованные волны, поддерживаемые взаимодействием нелинейность и дисперсия или дифракция в большом количестве физических сред. Физические настройки и соответствующие модели, которые поддерживают солитонные моды, могут быть грубо классифицированы как высокочастотные (HF) и низкочастотные (LF). В первом случае солитоны выглядят пространственно широкими самозахваченные оболочки высокочастотных колебаний, типичными примерами которых являются оптические солитоны в среде Керра (возможно, также в левосторонних метаматериалах), солитоны Ленгмюра в плазме и нелинейные поверхностно-волновые возбуждения на глубокой воде. Универсальная модель для солитонов огибающей поставляется нелинейное уравнение Шредингера (NLSЕ). С другой стороны, нелинейные НЧ волны могут создавать солитоны непосредственно в терминах основного волнового поля. Общеизвестные реализации последнего типа обеспечиваются ионно-акустическими и магнитоакустическими волнами в плазме и поверхностными волнами на слои мелкой воды и длинные внутренние волны в стратифицированных жидкостях, вездесущая модель на основе уравнения Кортевега - де Вриза (KdVЕ) и его обобщений.

Более сложные системы часто включают волновые подсистемы типов ВЧ и НЧ. Возможно, наиболее известная система с нелинейной связью между моделями подсистем ВЧ и НЧ - взаимодействие ленгмюровских и ионно-акустических волн в горячей плазме в виде знаменитых Систем Захарова (СЗ). В отличие от вышеупомянутых NLSЕ и KdVЕ, система Захарова не интегрируется, хотя ее точные односолитонные решения можно легко найти, будучи устойчивыми. Другие известные реализации этой системы включают в себя связь высокочастотных колебаний атомных позиций и длинноволновых акустических возбуждений в длинных молекулярных цепях, а также взаимодействие поверхностных ВЧ и внутренних волн НЧ в стратифицированных жидкостях.

Хотя уравнение для НЧ-компоненты в исходной системе Захарова допускает двунаправленное распространение, его можно легко упростить до однонаправленной формы, заменив уравнение НЧ второго порядка приближением первого порядка (это может быть, в частности, KdVЕ). В адиабатическом приближении, в котором предполагается, что НЧ-компонент заглушен для замедления эволюции плотности огибающей ВЧ, первый исключается, сокращая систему Захарова до NLSЕ. С другой стороны, реалистичная модель включает вязкость, действующую на НЧ-волну. Простой анализ показывает, что вязкость приводит к первой поправке к адиабатическому приближению, которая все еще позволяет уменьшить базовую СЗ до NLSЕ, но с дополнительным нелинейным членом, включающим пространственную производную первого порядка, которая представлена ??ниже по коэффициенту µ. Как уже изучено, последний член, появляющийся в различных принимает ту же форму, что и известный термин вынужденное комбинационное рассеяние (SRS) в волоконной оптике, который имеет совершенно иную физическую природу, будучи вызванным влиянием небольшой задержки нелинейного диэлектрического отклика кварцевого стекла на эволюцию оптических импульсов во временной области. С точки зрения СЗ, приведенной к единственной NLSЕ, рассматриваемый термин действует в пространственной области, и его можно естественным образом назвать псевдо-SRS, при этом в настоящей настройке нет реального эффекта Рамана, в то время как СЗ, который включает в себя вязкость, действующую на НЧ-компонент, обеспечивает эффективную эмуляцию оптического SRS (обратите внимание, что термины SRS в оптике также являются диссипативным эффектом).

Из волоконной оптики хорошо известно, что эффект SRS приводит к понижению спектра солитона и, в конечном итоге, к разрушению самоускоряющихся узких солитонов. Поэтому актуальной проблемой является разработка методов стабилизации солитонов в присутствии ВКР, который в качестве фундаментального эффекта всегда присутствует в нелинейных волокнах. Одним из вариантов является использование частотно-скользящего оптического усиления. Другими возможностями являются использование излучения ядра сердечника солитона, периодически модулируемая ДВП, смещение точки с нулевой дисперсией и волокна, которые уменьшают дисперсию. В дополнение к управлению самоускорением солитонов, SRS может также вести ударные волны в волокнах.

В NLSЕ, включая псевдо-SRS член, стабилизация солитонов также является актуальной проблемой. В предыдущих работах было предложено решение, в котором использовалась переменная дисперсия, что позволило обеспечить стабильную компенсацию вредного эффекта, вызванного псевдо-SRS.

Чем же вызван интерес к солитонам. Их способностью перемещаться на значительные дистанции, не теряя свою форму и передавая энергию и информацию без потерь. Абсолютно везде можно найти солитонные решения: оптические импульсы в волокнах, электромагнитные волны в плазме, волны вещества в бозе-эйнштейновских конденсатах, поверхностные волны глубоко в воде , и много других [1,4].

Вводится нелинейное уравнение Шредингера (NLSЕ), в котором используется псевдостимулированный термин комбинационного рассеяния (псевдо-SRS), то есть он объединяет неконсервативный кубический член с первой пространственной производной и внешним потенциалом, который помогает стабилизировать солитоны , против эффекта псевдо-SRS. Динамика солитонов рассматривается с использованием аналитических и численных методов. Квазичастичное приближение (QPA) для солитонов показывает, что вызванное SRS уменьшение числа солитонов может быть компенсировано потенциальной силой, которая создает устойчивый стационарный солитон. Рассматриваются три физически значимых потенциала: ловушка гармонического осциллятора (ловушка BО), пространственно-периодический косинусный потенциал и ловушка BО, подверженная периодической модуляции времени. Как положения равновесия зарегистрированных импульсов (солитонов), так и их режимы движения с записанными и свободными траекториями точно предсказываются QPA и подтверждаются прямым моделированием базовой NLSЕ. В случае ловушки HО, модулированной во времени, параметрический резонанс показан в виде движения управляемого солитона с экспоненциально возрастающей амплитудой колебаний.

Распространение широких высокочастотных (ВЧ) волновых пакетов моделируется теорией нелинейных дисперсионных волн второго порядка. Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) [5,6], которое сочетает в себе дисперсию второго порядка и фазовую модуляцию, является основным уравнением данной теории.

В изотропных средах основным уравнением теории, как известно, является нелинейное уравнение Шредингера третьего порядка [10,14]. В [15-22] солитонные решения были найдены в рамках этой модели, однако без члена вынужденного комбинационного рассеяния. Такие солитоны реализуют дисперсионное равновесие второго порядка и нелинейную дисперсию. В [23] стационарные изломы (ударные волны) были найдены как решения нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка без ДТП. Использование равновесия между вынужденным комбинационным рассеянием и дисперсионным градиентом для стабилизации солитонов в длинных линиях связи было предложено в [15]. Компенсация вынужденного комбинационного рассеяния излучением линейных полей излучения от ядра солитона рассматривалась в [16]. Кроме того, компенсация ВКР в неоднородных средах рассматривалась в нескольких ситуациях: периодическая дисперсия [17,18], смещение точки нулевой дисперсии [19] и волокна, уменьшающие дисперсию [20]. Первая модель затухания при взаимодействии с низкочастотными волнами была предложена в [21, 22]. Это приводит к расширению нелинейного уравнения Шредингера по пространственному аналогу ВКР, т.е. ПИРР. Уравнение получено из системы типа Захарова [23] для связанных ленгмюровских и ионно-акустических волн в плазме. ПИРР приводит к уменьшению волнового числа солитона, аналогично временному интервалу [1,8,10], и в конечном итоге к дестабилизации солитонов. Модельное уравнение, разработанное в [21, 22], также содержало равномерное пространственное изменение дисперсии из-за неоднородности среды, что объясняется пространственно уменьшающимся коэффициентом дисперсии второго порядка, что приводит к увеличению числа солитонных волн. Последнее свойство позволяет компенсировать влияние ПИРР на солитон эффектом пространственно неоднородной дисперсии. Динамика векторных солитонов в контексте связанных расширенных нелинейных уравнений Шредингера с ПИРР и неоднородной ДВП была учтена в [15].

В этой работе была рассмотрена динамика солитонов в контексте расширенных нелинейных уравнений Шредингера с учетом ПИРР и неоднородного потенциала. Компенсация уменьшения комбинационного рассеяния солитонных волновых чисел увеличением, вызванным уменьшающимся потенциалом, показана аналитическими и численными методами.

1.Модельная система и интегральные отношения

Принимается во внимание развитие постепенно меняющейся огибающей интенсивного высокочастотного волнового поля в нелинейной среде с неоднородным потенциалом с учетом взаимодействия с НЧ изменениями параметра среды (например, показателя преломления в оптике), который меняется от действия эффективной диффузии. Система типа Захарова описывает однонаправленное распространение полей вдоль координаты [33]:

,

,

где - коэффициент диффузии в низкочастотном уравнении. В частности, эта система способна описывать электромагнитные или ленгмюровские волны в плазме, причем рассеяние учитывается ионно-акустическими волнами, которые, как известно, подвержены вязкому затуханию. В свою очередь, второе приближение теории дисперсионных волн соответствует замене уравнения (2) адиабатическим соотношением , следовательно, огибающая высокочастотного волнового пакета подчиняется нелинейному уравнению Шрёдингера: , где .

В приближении третьего порядка теории (для коротких высокочастотных волновых пакетов, где , где и - пространственное расширение и характеристическое волновое число волнового пакета), уравнение (2) может быть аппроксимировано нелинейным откликом среды, , что приводит к следующему расширенному нелинейному уравнению Шрёдингера для ВЧ амплитуды:

Упомянутый выше эффект ПИРР в пространственной области, которая является критически важным компонентом рассматриваемой модели, представлен членом с коэффициентом в формуле (3). Его сходство с собственно эффектом SRS во временной области в оптике проявляется в том, что член вязкости в формуле (2) формально можно рассматривать как «пространственную задержку» члена групповой скорости, ?n/?x, которая напоминает временную задержку нелинейного отклика оптического материала на электромагнитное возбуждение

С помощью очевидного масштабирования ниже мы фиксируем . В итоге задавая нулевые граничные условия уравнение (3) на бесконечности получаем следующие интегральные соотношения:

,

,

где , и - это волновое число волновых пакетов . Очевидно, что N определяет полную норму и импульс волнового пакета, который рассматривается как квазичастица, где x является его координатой центра масс.

2. Аналитические результаты

2.1 Эффективные эволюционные уравнения

Для точного анализа динамики волнового пакета предполагаем, что масштаб пространственной неоднородности потенциала много больше ширины пакета, . Решение предыдущей системы затем ищется в следующем виде:

.

чья норма N = 2А. Таким образом, сохранение общей нормы в соответствии с формулой (4) подразумевает, что A остается константой, что подтверждается ниже прямым численным моделированием уравнения (3). Подстановка равенства (7) в уравнения (5) и (6) в отношении принятого выше условия ?1/ A дает возможность рассматривать уравнения движения в рамках квазичастичного приближения:

, .

Уравнение (8) приводит к очевидному состоянию равновесия (псевдоним с фиксированной точкой, FP):

, .

Равновесное состояние (9) будет находиться в области убывающего потенциала . Таким образом, получается первый интеграл уравнения (8), который является следующим

,

где - произвольное значение константы. Для потенциального профиля параболической ямы (где ), используя замену

,

равенство (10) сводится к механическому инварианту

.

На рис.1 продемонстрированы кривые (12) с разными значениями параметра . Стационарная точка соответствует значению , кривая 1 - , кривая 2 - .

Рис. 1. Фазовые траектории (12) для разных .

3.2 Солитонное решение

Рассмотрим стационарное решение уравнения (3) для линейной аппроксимации профиля неоднородного потенциала, а именно , в виде :

,

где - фиксированная точка, которая определяется соотношением (9). Подобно тому, что было принято выше, предположим, что ширина волнового пакета намного меньше, чем масштаб пространственной неоднородности потенциала . Если будем вводить соответствующий малый параметр, решение уравнения (13) можно найти как , где это исправление . Разделяя порядки и с легкостью получаем

,

,

где . Уравнение (14) имеет стандартное sech-солитонное решение, где . Тогда с переменными и, уравнение (15) принимает форму

При условии

,

совпадающим в исходной переменной с соотношением (9), уравнение (16) будет иметь точное локализованное решение для правки стандартного sеch-солитона,

.

Солитонное решение уравнения (3) в исходных переменных записывается как

4. Численные результаты

Смоделируем эволюцию начального волнового пакета в рамках уравнения (2) с параболическим профилем неоднородного потенциала для проверки аналитических результатов, с и различными значениями . Между ПИРР и неоднородным потенциалом точкой равновесия (9) является . Импульс в моделях, выполненных с , со временем , развивается в стационарный локализованный профиль с волновым числом, равным нулю. На рисунке 2 можно увидеть отклонение абсолютного значения численно найденного стационарного профиля от начального солитона, т.е. (сплошная кривая на рисунке), где . Отклонение очень близко к соответствующей аналитически предсказанной коррекции, которая задается уравнением (17):

,

как показано пунктирной кривой на рис. 2.

Рис.2. Численные результаты: отклонение абсолютного значения численно найденного стационарного импульса от стандартной формы солитона (сплошная кривая), где . Аналитическая поправка к абсолютному значению стандартного солитонного решения, которое задается уравнением (18), показана пунктирной кривой

К изменению волнового числа солитона приводит изменение начальной точки . Так можно увидеть на рис. 3 моделируемую пространственно-временную эволюцию формы для . В этом случае солитон совершает пространственные колебания с периодом без каких-либо видимых потерь излучения, то есть, другими словами, солитон в этом случае динамически устойчив в колебательном состоянии. Период колебаний от аналитических соотношений (8) для этих параметров , что близко к числовому значению.

Рис.3. Результаты моделирования эволюции импульса для .

Заключение

Рассмотрена динамика солитонов как аналитически, так и численно в рамках связного расширенного нелинейного уравнения Шрёдингера с учетом псевдо-идуцированного рассеяния Рамана (ПИРС) и пространственно неоднородного аддитивного потенциала. Рассмотрение проведено как аналитически, так и численно. Показано, что смещение спектра волновых чисел солитона в длинноволновую область, вызванное ПИРС, может быть компенсировано его повышением, которое вызванно уменьшающимся по координате потенциалом. При условии баланса данных эффектов аналитически найдено солитонное решение. Аналитические результаты подтверждены результатами численного счета.

Список литературы

нелинейный уравнение локализованный

1. Агравал Г.П. Нелинейная волоконная оптика. Сан-Диего: Академическая пресса; 2001.

2. Кившар Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны: от волокон до фотонных кристаллов. Сан-Диего: Академическая пресса; 2003.

3. Дики Л. А. Солитонное уравнение и гамильтоновы системы. Нью-Йорк: World Scientific; 2005.

4. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах. Сов физ физ JETP 1972; 34: 62-9.

5. Хасегава А., Тапперт Ф. Передача стационарной нелинейно-оптической физики в дисперсионных диэлектрических волокнах I: аномальная дисперсия. Appl Phys Lett 1973; 23: 142-4.

6. Оливьера Дж. Р., Мура М. А. Аналитическое решение для модифицированного нелинейного уравнения Шредингера, описывающего формирование оптического удара. Phys Rev E 1998; 57: 4751-5.

7. Митчке Ф. М., Молленауэр Л. Ф. Открытие солитонного сдвига собственных частот. Опт Летт 1986; 11: 659-61.

8. Гордон Дж. П. Теория сдвига собственных частот солитонов. Опт Летт 1986; 11: 662-4.

Размещено на Allbest.ru