Критерії Вілкоксона і Манна-Уітні в педагогічних дослідженнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

КРИТЕРІЇ ВІЛКОКСОНА І МАННА-УІТНІ В ПЕДАГОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ

Бондар Ольга Петрівна,

кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри фізико-математичних дисциплін, Льотна академія Національного авіаційного університету

Якуніна Ірина Леонідівна,

У статті розглянуто проблеми ідентифікації і обчислення критеріїв перевірки гіпотези про однорідність двох незалежних вибірок. У зв'язку з цим розглядаються погляди різних дослідників: неоднозначні назви критерію перевірки, відмінність припущень і формулювань гіпотези, нееквівалентність формул і неповнота висновків, що подаються різними авторами. Подано варіант розв'язку вказаних проблем, наведено приклад застосування критерію в педагогічних дослідженнях. Відмічено користь розгляду теми, в першу чергу, для педагогів-гуманітаріїв.

Ключові слова: критерій Вілкоксона, критерій Манна-Уітні, однорідні вибірки, нульова гіпотеза, альтернативна гіпотеза, критична область, область прийняття гіпотези, ранг елемента вибірки, педагогічні дослідження.

педагогічний дослідження гіпотеза однорідність виборка

Постановка проблеми. Важливою складовою педагогічного дослідження є перевірка нових форм, методів, засобів навчання на практиці. Традиційною формою перевірки є педагогічний експеримент, в ході якого порівнюються досліджувані характеристики контрольної та експериментальної груп. За результатами порівняння роблять висновки про ефективність нових педагогічних технологій.

Дієвим інструментом порівняння є математична статистика. Зокрема, організація вибіркових досліджень, вибірковий метод, перевірка статистичних гіпотез дають підґрунтя для об'єктивних висновків щодо педагогічних новацій.

Статистичними називають гіпотези про вид невідомого розподілу або про параметри відомих розподілів. Розглядатимемо одну зі статистичних гіпотез - гіпотезу про однорідність двох вибірок з генеральної сукупності, оскільки однорідність або неоднорідність контрольних та експериментальних груп, як вибірок з генеральних сукупностей студентів, учнів, викладачів, учителів тощо, свідчитиме про результати педагогічного експерименту.

Для перевірки статистичних гіпотез використовується випадкова величина, яку називають статистичним критерієм. Одним з критеріїв перевірки гіпотези про однорідність вибірок є критерій, який іноді називають критерієм Вілкоксона-Манна-Уітні.

При вивченні та практичному застосування цього критерію виникає, в першу чергу, у педагогів-гуманітаріїв, ряд проблем, зокрема: неоднозначність назви критерію, відмінність припущень і формулювань гіпотези, нееквівалентність формул і неповнота висновків, що подаються різними дослідниками. Все це утруднює пошук і застосування критерію в педагогічних дослідженнях.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. В дослідженнях і публікаціях зустрічаються такі варіанти назви розглядуваного критерію: критерій Вілкоксона [1], критерій суми рангів, непараметричний критерій однорідності вибірок [2], критерій інверсій [3], критерій Вілкоксона-Манна-Уітні [4]. Потрійна назва пояснюється тим, що в 1945 р. Вілкоксон опублікував [5] критерій порівняння двох вибірок однакового об'єму, а в 1947 р. Манн і Уітні узагальнили [6] критерій на вибірки різних об'ємів.

Залежність доцільності використання критерію від об'ємів вибірок також вказується різними авторами неоднозначно. Так, застосування статистики нормального розподілу вважається доцільним використовувати, якщо об'єми обох вибірок перевищують 25 [2], якщо об'єм хоча б однієї вибірки перевищує 25 [1], якщо об'єми вибірок більші за 3 і сума об'ємів більша за 19 [3].

Автори всіх публікацій одностайні в тому, що критерій однорідності стосується двох незалежних вибірок, але, за думкою одних, вибірки беруться з однієї генеральної сукупності [1], за думкою інших, кожна вибірка може братися з окремої генеральної сукупності [3]. Звідси випливають різні за формою і (або) змістом висновки.

Перевірка однорідності вибірок проводиться деякими авторами за різними розрахунковими перетвореннями (наприклад, за допомогою інверсій [3] або об'єднаної формули [4]), що потребує доведення тотожності перетворень, а, відтак, утруднює застосування.

Важливим недоліком деяких публікацій із обчислення і застосування критерію однорідності є відсутність посилань на альтернативну гіпотезу, яка повинна обиратися з багатоелементної множини. Відтак, висновки там іноді не однозначно відповідають розрахункам.

Мета статті. Таким чином, нашою метою є: виділити спільні для різних авторів характеристики досліджуваного критерію; узгодити, по-можливості, різні точки зору; за неможливості, - рекомендувати пріоритетний варіант цих характеристик. Це, на наш погляд, дозволить спростити пошук і застосування критерію в педагогічних дослідженнях.

Виклад основного матеріалу. Щодо назви критерію, то, на нашу думку, кожна з перерахованих вище назв має право на існування. Але, враховуючи ім'я, що найчастіше пов'язується з ранговими критеріями, а також необхідність зростання швидкості пошуку інформації при сучасному інтенсивному розвитку науково-технічного прогресу, ми вважаємо за доцільне називати критерій однорідності двох вибірок критерієм Вілкоксона, за необхідності уточнюючи його відмінність від критерію Манна-Уітні.

Розглядаються незалежні вибірки Хі, ..., Хт і уі, ..., Уп з однієї генеральної сукупності, що мають неперервні функції розподілу Аі(х) і F2(x). Якщо вибірки беруться з двох генеральних сукупностей, то потрібно уточнювати, що сукупності мають загальні ознаки, а це фактично означає існування однієї спільної генеральної сукупності. Однорідність вибірок означає рівність функцій розподілу. Тому основна гіпотеза Но полягає в тому, що Аі(х) = ^р2(х)'

В математичній статистиці, як правило, разом з основною - нульовою - гіпотезою Но висувають альтернативну гіпотезу Ні, що повинна протирічити гіпотезі Но. Якщо висунута гіпотеза буде відхилена, то має місце гіпотеза, що їй протирічить. Конкуруючою - альтернативною - гіпотезою при перевірці однорідності вибірок може бути одна з гіпотез:

Fl(x) Ф ^(х), Аі(х) > ^г(х), Fl(x) < ^2(х).

В результаті перевірки гіпотези можуть бути допущені помилки двох видів. Помилка першого роду полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза, другого роду - що буде прийнята неправильна гіпотеза. Ймовірності помилок і правильних рішень позначаються так:

Для перевірки гіпотези обирають рівень значущості а, обчислюють за вибірками емпіричне (рос. - наблюдаемое) значення критерію і визначають область, якій належить це значення. Якщо воно належить області прийняття гіпотези, то гіпотезу приймають, якщо належить критичній області, то гіпотезу відхиляють. Границі критичної області знаходять з відповідних таблиць, які складено за умови, що ймовірність прийняття критерієм К значень з критичної області буде дорівнювати а. Назви критичних областей в залежності від значень К зображено на рисунку 1.

Рис.1 Схематичне зображення критичних областей і областей прийняття гіпотези

Якщо конкуруюча гіпотеза має вид . F1(x) ? F2(x), то критична область двостороння. Відтак, потрібно знайти її границі k1 і k2.Якщо F1(x) < F2(x),то критична область правостороння, тому потрібно шукати тільки її нижню межу ккр. Якщо F1(x) > F2(x),то критична область лівостороння і потрібно шукати тільки її верхню межу kкр..

Емпіричне значення критерію Вілкоксона - це сума рангів елементів однієї з вибірок. Рангом є порядковий номер варіанта вибірки у спільному варіаційному ряду, або середнє арифметичне номерів, якщо варіанти вибірок однакові.

За наявності різних, як було вказано, підходів до обчислення критерію Вілкоксона ми вважаємо за доцільне користуватися формулами розрахунків, поданими в [і] і [2], як елементами алгоритмів, що узгоджуються один з одним.

Приклад. Планується провести педагогічний експеримент в групі з 7 студентів. Для вибору контрольної групи розглядається група з 6 студентів. Потрібно за рівнем значущості 0,05 перевірити гіпотезу Но про однорідність вибірок оцінок: Хі - оцінки до експерименту студентів можливої контрольної групи, Уі - оцінки до експерименту студентів експериментальної групи. За конкуруючу гіпотезу Ні прийняти F1(x) ? F2(x).

Оскільки конкуруюча гіпотеза F1(x) ? F2(x),то знайдемо границі двосторонньої критичної області:

k1 = w_{нижнє кр}.(0,05/2, 6, 7) = 27, k2 = (6+7+1)?6 - 27 = 57.

Розташуємо варіанти обох вибірок у спільному варіаційному ряді (перший рядок), пронумеруємо його члени (другий рядок), вкажемо їх ранги (третій рядок):

Тоді емпіричне значення критерію Вілкоксона W=3+4,5+7+8+9,5+11=43 знаходиться в області прийняття гіпотези: 27 < 43 < 57. Відтак, нема підстав відхилити нульову гіпотезу про однорідність вибірок.

Критерій Манна-Уітні побудований на статистиці

U = W - m(m+l)/2,

де W - статистика крітерію Вілкоксона, і призначений для перевірки тієї ж гіпотези Но. В нашому прикладі m=6, U=43-6^7/2=22. Статистика U підраховує загальну кількість тих випадків, в яких елементи першої вибірки більші за елементи другої вибірки. В нашому прикладі 22=2+2+4+4+5+5.

Статистика Манна-Уітні U має всі властивості статистики Вілкоксона, зокрема, таку, що при випадкові величини W і U розподілені асимптотично нормально. Тому при великих об'ємах вибірок використовують функцію Лапласа. Щоб уникнути протиріч з визначенням доцільності застосування критерію Вілкоксона при тих чи інших об'ємах вибірок, можна однозначно рекомендувати користуватися в розрахунках статистик W і U таблицями цих статистик для вказаних в них об'ємах вибірок і функцією Лапласа, якщо min{m, n}>25. Чим більші об'єми вибірок, тим більш об'єктивними мають бути висновки.

Висновки та перспективи подальших досліджень. В результаті проведеного дослідження нами показано доцільність використання для перевірки однорідності двох вибірок наступних характеристик критеріїв Вілкоксона і Манна-Уітні: для пришвидшення пошуку і обробки інформації критерій однорідності вибірок є сенс називати критерієм Вілкоксона з необхідними уточненнями назви в ході розрахунків; вибірки треба вважати взятими з однієї генеральної сукупності, загальні ознаки елементів якої мають бути об'єктом порівняння двох вибірок; для обчислення значень критеріїв повинні братися таблиці функції Лапласа, якщо кількість елементів вибірок більша за 25.

Перспективою наступних наших досліджень є подальше наближення понять класичної математики, зокрема, математичної статистики, до елементів педагогіки, зокрема, до застосування і обчислення статистичних критеріїв, які дозволяють об'єктивно оцінити організацію, проведення і результати педагогічних досліджень.

Список використаних джерел

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.

2. Математическая энциклопедия, т. 1-5. М.: «Советская Энциклопедия», 1985.

3. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика. Київ: Центр навчальної літератури, 2004. 448 с.

4. Новиков Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). М.: МЗ-Пресс, 2004. 67 с.

5. Wilcoxon F. "Biometrics", 1945, v.l, p.80-83.

6. Mann H., Whitney D. Statistics // "Ann. Math". 1947, v.18, p.50-60.

BONDAR Olha, Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Physics and Mathematics Subjects, Kirovograd Flight Academy of National Aviation University, Scales of measurements in pedagogical research;

YAKUNINA Iryna, Ph. D. (Engineering), Associate Professor, Department of Physics and Mathematics Subjects, Flight Academy of National Aviation University, Scales of measurements in pedagogical research;

ZADOROZHNA Oksana, Ph. D. (Pedagogica), Associate Professor, Department of Physics and Mathematics Subjects, Flight Academy of National Aviation University, Scales of measurements in pedagogical research.

CRITERIA VILKOKSONA AND MANNA-WINTER IN PEDAGOGICAL RESEARCHES

- take samples taken from one general population;

- take into account alternative hypotheses;

- prove the identity of the calculation formulas;

- apply the Laplace function for large samples,

We considered an example of the application of criteria in a pedagogical experiment, All this should simplify the search, calculation, and application of criteria in the organization and conduct of pedagogical research,

The prospect of our next research is the further approximation of the concepts of mathematical statistics to the elements of pedagogical technologies,

Key words: Wilcoxon criterion, Mann-Whitney criterion, homogeneous sampling, null hypothesis, alternative hypothesis, critical region, hypothesis acceptance region, sample element rank, pedagogical research

Размещено на Allbest.ru