Математическая статистика
Построение гистограммы относительных частот и кумуляты. Мода и медиана вариационного ряда. Построение доверительного интервала для генерального среднего на основе распределения выборки, считая выборку повторной. Выборочные уравнения линейной регрессии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.08.2020 |
| Размер файла | 575,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение
Объем выборки равен N=?ni=5+7+4+1+3=20
прмежутка (она постоянная и равна 3)
|
i |
xi < X ? xi+1 |
ni |
wi |
|
|
1 |
5-8 |
5 |
0,08333 |
|
|
2 |
8-11 |
7 |
0,11666 |
|
|
3 |
11-14 |
4 |
0,06666 |
|
|
4 |
14-17 |
1 |
0,01666 |
|
|
5 |
17-20 |
3 |
0,05 |
Построим гистограмму относительных частот
Вычислим накопленные частоты
|
i |
xi < X ? xi+1 |
ni |
Накопленная частота |
||
|
1 |
5-8 |
5 |
0,15 |
0,15 |
|
|
2 |
8-11 |
7 |
0,35 |
0,5 |
|
|
3 |
11-14 |
4 |
0,2 |
0,7 |
|
|
4 |
14-17 |
1 |
0,05 |
0,75 |
|
|
5 |
17-20 |
3 |
0,15 |
0,9 |
Построим кумуляту
Мода Мо для дискретного ряда - это значение признака, наиболее часто встречающее у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:
где XMo - нижняя граница модального интервала,
h - величина модального интервала,
ѓMo - частота модального интервала,
ѓMo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,
ѓMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Согласно таблице модальным интервалом построенного ряда является интервал 8 - 11, так
как его частота максимальна (f3 = 7).
Расчет моды по формуле (3):
Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности. Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:
2. Построить 95 % доверительный интервал для генерального среднего на основе распределения выборки, считая выборку повторной.
|
xi |
2 |
6 |
8 |
9 |
|
|
ni |
20 |
13 |
12 |
5 |
Решение
Так как генеральное среднее квадратическое отклонение нам неизвестно, то точность, с которой выборочная средняя оценивает генеральную среднюю будем искать согласно
n= 20+13+12+5=50
Из таблиц t-распределения для числа степеней свободы
v=n-1=49 и б=1-г=1-0,95=0,05 найдем tб=2.01
Вычислим величины x?,S
Тогда получаем
3. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение а0=60 является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5% -м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n=10 получено выборочное среднее x? =64, а выборочное среднее квадратичное отклонение равно s1=6.
Решение
Для проверки нулевой гипотезы Н0: µ=60 при конкурирующей гипотезе Н1:µ?=60 используем статистику , так как значение у неизвестно.
В случае двусторонней критической области tкр ищем по таблице распределения Стьюдента с количеством степеней свободы, равным 10-1=9 при уровне значимости б=0,05? tкр =2,262.
Так как |tH|>tкр, нулевая гипотеза Н0 отвергается, то есть принимается гипотеза Н1
4. При уровне значимости б=0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и У на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе
|
X |
Y |
|||
|
xi |
ni |
yi |
mi |
|
|
6.1 |
2 |
5.8 |
6 |
|
|
6.5 |
3 |
6.0 |
4 |
|
|
6.6 |
1 |
6.2 |
5 |
|
|
7.0 |
4 |
6.3 |
2 |
|
|
7.4 |
2 |
6.8 |
3 |
Решение
Вычислим выборочные дисперсии для X,Y
N=? ni=2+3+1+4+2=12
M=? mi=6+4+5+2+3=20
Пусть нулевая гипотеза Н0 о равенстве дисперсий этих случайных величин: у2(X)= у2(Y). Находим значение критерия Фишера-Снедекора
Fнабл=. Число степеней свободы 12 и 20, а значение , по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора находим Fкр=2,28. Поскольку Fнабл<Fкр, нулевая гипотеза принимается.
5. Найти выборочные уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y на основании корреляционной таблицы. Сделать чертеж. На том чертеже построить эмпирические линии регрессии. Оценить тесноту и направленность связи.
мода медиана вариационный выборка регрессия
|
X Y |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
|
|
15 |
6 |
4 |
|||||
|
25 |
6 |
8 |
|||||
|
35 |
20 |
2 |
5 |
||||
|
45 |
5 |
12 |
6 |
||||
|
55 |
1 |
5 |
Решение
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
(10*6+15*(4+6)+20*8+25*(20+5)+30*(2+12+1)+35*(5+6+5))/80=25,0625
(15*(6+4)+25*(6+8)+35*(20+2+5)+45*(5+12+6)+55*(1+5))/80=35,125
Дисперсии:
у2x=(102*6 + 152*(4 + 6) + 202*8 + 252*(20 + 5) + 302*(2 + 12 + 1) + 352*(5 + 6 + 5))/80 - 25,06252=56,5586
у2y=(152*(6 + 4) + 252*(6 + 8) + 352*(20 + 2 + 5) + 452*(5 + 12 + 6) + 552*(1 + 5))/80-35,1252=126,2344
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
уx=7.52 и уy=11.24
и ковариация:
Cov(x,y) = (10*15*6 + 15*15*4 + 15*25*6 + 25*20*8 + 25*20*35 + 30*2*35 + 35*35*5 + 5*25*45 + 12*30*45 + 35*45*6 + 35*55*1 + 35*55*5)/80 - 25,0625*35,125=77.18
Определим коэффициент корреляции:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0,1<rxy<0.3: слабая;
0,3<rxy<0.5: умеренная;
0.5<rxy<0.7: заметная;
0.7<rxy<0.9: высокая;
0,9<rxy<1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма слабая и обратная.
Запишем уравнения линий регрессии y(x): и вычиляя получаем:
yx= -0.37x + 44.88
Запишем уравнения линий регрессии x(y): и вычиляя получаем:
xy= -0.12y + 28.05
Сделаем чертеж
6. При уровне значимости б=0,05 методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании пяти измерений для трех уровней фактора.
|
Номер измерения |
Ф1 |
Ф2 |
Ф3 |
|
|
1 |
12 |
10 |
20 |
|
|
2 |
16 |
8 |
26 |
|
|
3 |
15 |
7 |
28 |
|
|
4 |
17 |
5 |
24 |
|
|
5 |
14 |
9 |
27 |
Решение
Находим групповые средние:
|
N |
Ф1 |
Ф2 |
Ф3 |
|
|
1 |
12 |
10 |
20 |
|
|
2 |
16 |
8 |
26 |
|
|
3 |
15 |
7 |
28 |
|
|
4 |
17 |
5 |
24 |
|
|
5 |
14 |
9 |
27 |
|
|
? |
74 |
39 |
125 |
|
|
xср |
14.8 |
7.8 |
25 |
Обозначим р - количество уровней фактора (р=3). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=5.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общая средняя вычисляется по формуле:
Для расчета Sобщ составляем таблицу квадратов вариант:
|
N |
Ф21 |
Ф22 |
Ф23 |
|
|
1 |
144 |
100 |
400 |
|
|
2 |
256 |
64 |
676 |
|
|
3 |
225 |
49 |
784 |
|
|
4 |
289 |
25 |
576 |
|
|
5 |
196 |
81 |
729 |
|
|
? |
1110 |
319 |
3165 |
Sобщ=1110 + 319 + 3165 - 5 * 3 * 15.872 = 816.15
Находим Sф по формуле:
Sф = 5(14,82 + 7,82 + 252 - 3*15,872)=746,55
Получаем Sост:Sост=Sобщ - Sф = 816,15 - 746,55 = 69,6
Определяем факторную дисперсию: и остаточную дисперсию:
Проверим нулевую гипотезу Н0: равенство средних значений х.
Находим fнабл
Для уровня значимости б=0,05, чисел степеней свободы 2 и 12 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
fкр(0,05; 2; 12) = 3,89
В связи с тем, что fнабл>fкр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем (нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем). Другими словами, групповые средние в целом различаются значимо.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Порядок и принципы построения вариационного ряда. Расчет числовых характеристик статистического ряда. Построение полигона и гистограммы относительных частот, функции распределения. Вычисление асимметрии и эксцесса. Построение доверительных интервалов.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 03.10.2010Длина интервала группирования. Графическое описание выборки. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Границы доверительного интервала математического ожидания. Вычисление коэффициента корреляции. Эмпирическая функция распределения.
практическая работа [737,5 K], добавлен 14.02.2009Построение уравнения регрессии. Оценка параметров линейной парной регрессии. F-критерий Фишера и t-критерий Стьюдента. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной регрессии. Расчет и оценка ошибки прогноза и его доверительного интервала.
презентация [387,8 K], добавлен 25.05.2015Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009Теоретические основы юридической статистики, числовые характеристики. Построение гистограммы выборки. Оценка среднего значения, дисперсии и эксцесса. Выборочное уравнение регрессии по данным корреляционных таблиц. Интервальная оценка распределения.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 16.11.2013Числовые характеристики для статистических распределений. Построение интервального вариационного ряда, многоугольника частостей, графика выборочной функции распределения и определения среднего значения выборки и выборочной дисперсии двумя способами.
презентация [140,3 K], добавлен 01.11.2013Определение числовых характеристик производной случайной функции. Расчет корреляционной функции и дисперсии спектральной плотности. Группировка заданной выборки, построение выборочной функции распределения и гистограммы, доверительного интервала.
контрольная работа [681,0 K], добавлен 02.06.2010Определение закона распределения вероятностей результатов измерения в математической статистике. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому. Определение доверительного интервала, в котором лежит значение измеряемой величины.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2012Построение диаграммы рассеивания, полигонов, гистограмм нормированных относительных частот, эмпирических функций распределения по X и по Y. Параметры для уравнения параболической регрессии. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х.
курсовая работа [511,8 K], добавлен 08.12.2013Таблица значений выборки дискретных случайных величин в упорядоченном виде. Таблица интервального статистического ряда относительных частот. Задание эмпирической функции распределений и построение ее графика. Полигон и распределение случайной величины.
практическая работа [109,3 K], добавлен 26.07.2012Интервальный вариационный ряд. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х. Функция плотности рассматриваемого закона распределения "Построение ее на гистограмме".
курсовая работа [104,4 K], добавлен 20.03.2011Методы составления закона распределения случайной величины. Вычисление средней арифметической и дисперсии распределения. Расчет средней квадратической ошибки бесповторной выборки. Построение эмпирических линий регрессии, поиск уравнения прямых регрессий.
контрольная работа [77,6 K], добавлен 20.07.2010Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010Построение линейной множественной регрессии для моделирования потребления продукта в разных географических районах. Расчет оценки дисперсии случайной составляющей. Вычисление и корректировка коэффициентов детерминации. Расчет доверительного интервала.
контрольная работа [814,0 K], добавлен 19.12.2013Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала и его границ. Закон распределения оценки. Построение доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии.
презентация [124,9 K], добавлен 01.11.2013Планирование эксперимента и факторы параметра оптимизации. Математическая модель и матрица планирования, коэффициенты уравнения регрессии и абсолютная величина доверительного интервала. Имитационный эксперимент и дифференциальные уравнения колебаний.
курс лекций [240,8 K], добавлен 22.09.2011Нахождение вероятности того, что наудачу взятое натуральное число не делится. Построение гистограммы для изображения интервальных рядов, расчет средней арифметической дискретного вариационного ряда, среднего квадратического отклонения и дисперсии.
контрольная работа [140,8 K], добавлен 18.05.2009Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Построение аналитической группировки с целью изучения зависимости между стажем работы рабочих, выработкой и качеством изготавливаемой продукции. Интервальный вариационный ряд распределения с равновеликими интервалами. Средняя выработка, мода и медиана.
контрольная работа [911,4 K], добавлен 14.07.2009
