Приближение периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГУП Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СОСТАВНЫМИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА

Шустов В.В.

Москва



Аннотация

эрмит многочлен периодический функция

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных в заданной точке. Указана связь двухточечных многочленов Эрмита и многочлена Тейлора применительно к представлению периодической функции. Приведена оценка приближения, выраженная через оценку производной соответствующего порядка. Указан достаточный признак сходимости последовательности составных двухточечных многочленов к периодической функции. Даны примеры разложения периодических функций с данными о погрешности и ее оценке.

Ключевые слова: периодические функции, двухточечный многочлен Эрмита, оценка погрешности приближения, сходимость последовательности двухточечных многочленов.



Annotation

APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS BY COMPOSITE TWO-POINT HERMITE POLYNOMIALS

Shustov V.V. State Research Institute of Aviation Systems, Moscow, Russia

This paper deals with polynomial approximating a periodic functions by composite two-point Hermite polynomials. The final formulas of these polynomials, using the function values and its derivatives at a given point, are constructed. The relation of Taylor's polynomial and two-point polynomials with respect to representation of periodic function is specified. The estimation of proximity, expressed through the evaluation of the derivative of the corresponding order is given. A sufficient condition for the convergence of a sequence of two-point polynomials to a given periodic function is established. Examples are given in which periodic function is approximated by a sequence of two-point Hermite polynomials with data on an errors and its evaluation.

Keywords: periodic functions, two-point Hermite polynomial, approximation error estimate, convergence of two-point polynomials sequence.



Введение

Периодическими функциями называются функции, которые удовлетворяют условию f(x)=f(x+T), где период T > 0 [1, C. 9].

Для представления этих функции используются ряды Фурье. Теория этих рядов представлена в различных источниках, начиная от учебников курса математического анализа и теории функций [2], [3, C. 343], [4] и включая работы, в которых освещаются теоретические и практические аспекты использования этих рядов в курсе численных методов [5, C. 390], [6, C. 282], [7, C. 218].

В рядах Фурье применяются тригонометрические функции f(x) = sin x и f(x) = cos x. Для использования этих функций их необходимо вычислить, применяя многочлены Тейлора.

В настоящей работе предлагается использование составных многочленов для представления периодических функций.

Основные идеи и положения статьи анонсированы в докладе автора [14].



1. Постановка и решение задачи

Пусть периодическая функция f(x), которая имеет период T, т.е.

f(x) = f(x+T),

задана на интервале (-?<x<?) и имеет производные на этом промежутке.

Пусть также в некоторой точке x₀ интервала (-?,?) заданы значения функции f(x), а также, ее производных до порядка m включительно:

(2)

Требуется построить составной многочлен H(x), который определен на заданном интервале (-?<x<?). Многочлен H(x) должен удовлетворять также условиям (1) и (2).

Пусть о - новая переменная, связанная с переменной x формулой:

(3)

в которой функция обозначает дробную часть своего аргумента, т.е . Диапазон изменения переменной о, таким образом, определен соотношением:

(4)

Преобразование (3) отображает неограниченный интервал задания функции на промежуток [0,1).

Так как заданная функция периодическая и для нее по условию (2) существуют производные до порядка m включительно, то эти производные должны быть периодическими функциями.

Запишем условия периодичности производных в виде соотношений:

(5)

Задача аппроксимации периодической функции на бесконечном интервале преобразована в задачу приближения этой функции на отрезке [0,1] с условиями (2) и (5) на ее производные.

В качестве аппроксимирующей функции будем использовать двухточечный многочлен Эрмита, рассмотренный в [10] и [11].

Такой приближающий многочлен H_m(о(x)), удовлетворяющий условиям (2) и (5), с использованием переменной о, определенной формулой (3), можно представить в виде [10, C. 1097]:

(6)

где коэффициент выражается через биномиальный коэффициент (см. например, [12, C. 163]) как

Группируя слагаемые, входящие в правую часть формулы (6), получим компактную формулу для составного двухточечного многочлена H_m(о), построенного для периодической функции:

(7)

где функции влияния определены соотношением:



(8)

Из представления (7) наглядно видно, что двухточечный многочлен для периодической функции представляется в виде модифицированного многочлена Тейлора, построенного в заданной точке. Модификация состоит в том, что каждый член многочлена Тейлора умножается на соответствующую функцию влияния .

Многочлен H_m(о) с использованием (7) и (8) может быть также записан в виде:

(9)

где координатные функции , являясь единственными сомножителями в (9), которые зависят от переменной о, представляются в виде:

(10)

Связь функций влияния и координатных функций в соответствии с (8) и (10) осуществляется согласно соотношению:

(11)

В таблице 1 представлены соотношения для многочлена H_m(о) при некоторых значениях m, полученные из формулы (13).



Таблица 1

Формулы для H_m(о)

На рис. 1 для примера представлены зависимости функций .

Рис. 1 Зависимость при j=0-4 и для m=4

На рис. 2 представлены эти же зависимости, выполненные с использованием логарифмической шкалы по оси ординат, и, соответственно, на рисунке показаны графики модуля этих функций, т.е. .

Рис. 2 Зависимость

Из рисунка видно, что функции при четных значениях j принимают положительные значения и имеют максимум в середине отрезка, который монотонно убывает с увеличением j. Функции при нечетных значениях j до середины отрезка принимают положительные значения, обращаются в нуль в середине отрезка и имеют отрицательные значения во второй половине отрезка, при этом максимум модуля функции также монотонно убывает с увеличением j.

2. Остаточный член и его оценка

Для определения погрешности представления периодической функции составным двухточечным многочленом необходимо определить остаточный член приближения и сделать его оценку. Вследствие выбора способа аппроксимации в виде составных многочленов, выраженного преобразованием (3), исследование остаточного члена приближения периодической функции на всей области может быть ограничено рассмотрением этого члена только на отрезке [x₀, x₀+T].

Остаточный член r(x), определенный как разность между заданной периодической функцией и многочленом H(x)

r(x)=f(x)-H(x)

согласно [10, C. 173], можно записать в виде:

(13)

где , т.е. з - некоторая внутренняя точка отрезка [x₀, x₀+T].

С использованием переменной о, определенной (3), остаточный член двухточечного представления согласно формуле (13), может быть записан в виде:

(14)

Для погрешности д(x) представления многочлена H(x), которая по определению равна модулю остаточного члена, т.е.

д(x)=|r(x)|,

в соответствии с (14) при 0?о? 1 можно записать:

Пусть производная функции порядка 2m+2 на интервале (-?,?) ограничена некоторой константой M_2m+2 >0, т.е. считаем, что

(16)

Тогда погрешность аппроксимации функции на отрезке может быть записана как

(17)

где Д(о) обозначена оценка локальной погрешности

(18)

Из того, что (например, [10, с. 1098]), и из формулы (18) следует, что погрешность приближения функции д(x) удовлетворяет соотношению , где оценка погрешности Д выражается соотношением

(19)

Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть периодическая функция f(x) с периодом T определена на интервале (-?<x<?) и имеет достаточный набор производных на этом интервале. Пусть также в некоторой точке x₀ интервала (-?,?) заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка m включительно:

Тогда функция f(x) может быть представлена в виде



Следствие. Пусть производная функции порядка 2m+2 на интервале (-?,?) ограничена некоторой константой M_2m+2>0, т.е. выполняется условие

Тогда для погрешности д(x) аппроксимации функции имеет место

где оценка погрешности Д выражается соотношением

Действительно, эта формула для оценки погрешности Д следует из (18) и из того, что

Доказательство этой формулы приведено, например, в [10, C. 1098].

3. Сходимость приближений функции

Если функция имеет неограниченное число производных, то для нее может быть построена последовательность приближающих ее многочленов.

Исследуем условия, при которых последовательность составных двухточечных многочленов H_m(x) сходится к функции f(x) при .

Из формулы (12) следует, что функцию f(x) можно записать как:

f(x)=H_m(x)+r_m(x).

Из представления (20) видно, чтобы последовательность двухточечных многочленов H_m(x) сходилась к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы для всех x имело место (см. [13, C. 549])

При условии, когда рост производных ограничен некоторой показательной функцией их порядка, имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема 2. Пусть периодическая функция f(x) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (-?<x<?) показательной функцией их порядка j, т.е существуют такая постоянные M>0 и q>0, такие, что для всех и всех j=0,1,… имеет место

(21)

Тогда на этом интервале функция f(x) представляется сходящейся последовательностью соответствующих ей составных двухточечных многочленов H_m(о(x)), т.е.

(22)

или в соответствии с (9)

где функции определены формулами (11) и (3), соответственно.

Доказательство. Заметим сначала, что для любого числа a (см., например, [13, C.551])

(23)

Для модуля остаточного члена |r_m(x)| с использованием (16), (17) и с учетом (19) можно записать:

(24)

В силу (23) следует то, что

(25)

Кроме того, очевидно, имеет место

(26)

Из оценки (24) в силу (25) и (26) следует, что

что и означает в соответствии с (20), что имеет место доказываемое утверждение (22) теоремы.

4. Результаты численных экспериментов

Пример 1. Как известно, функция f(x) = sin x является периодической функцией, которая имеет период T=2р. Производные этой функции вычисляются по формуле: (см. например [13, C. 149]):

(27)

Подставляя эти соотношения в формулы, приведенные в таблице 1, получим выражения для H_m(о), которые представлены в таблице 2.

Таблица 2

Выражения для многочлена H_m(о)

На рис. 3 приведены графики многочленов H_m(x), для m = 0,1,2,3,4. Здесь же для сравнения представлен график функции f(x) = sin x, обозначенный пунктирной линией.

Рис. 3 Приближение функции f(x) = sin x

Из рисунка видно, что аппроксимирующие многочлены приближаются к данной функции при увеличении m.

На рис. 4 показаны графики погрешности приближения д(x), которая определена по формуле

д(x)=|f(x)-H_m(x)|

для значений параметра m = 0-4.



Рис. 4 Погрешность приближения д(x)

Из графиков, представленных на рисунке, видно, что погрешность д(x) также является периодической функцией с те же периодом, что и заданная функция, обращается в ноль при x_k=2рk, k=0, ±1,±2… и в данном случае монотонно уменьшается с возрастанием m.

В таблице 3 представлены в числовой форме значения многочлена H_m, его погрешности д_m и ее оценки Д_m для значения x = р/2, при котором функция y = sin x принимает максимальное свое значение.

Таблица 3

Значения многочлена H_m, его погрешности д_m и ее оценки Д_m

s	m	Hm(р/2)	дm	Дm
1	0	0.000000000000	1.00000000000	4.93480220054
3	1	0.589048622548	0.410951377452	4.05871212642
5	2	0.920388472731	0.079611527269	1.33526276885
7	3	0.991217827278	0.008782172722	0.23533063036
9	4	0.999377014126	0.000622985874	0.02580689139
11	5	0.999969215729	0.000030784271	0.00192957431
13	6	0.999998879582	0.000001120418	0.00010463810
15	7	0.999999968709	0.000000031291	0.00000430307

Из таблицы 3 видно, что при увеличении m значение многочлена H_m стремятся к точному значению функции y = sin x, погрешность д_m стремится к нулю и оценка погрешности Д_m, ограничивая саму погрешность сверху, также стремится к нулю.

Пример 2. Рассмотрим периодическую функцию вида f(x) = sin 2x - cos x, которая также имеет период T=2р. Производные этой функции определяются соотношением:

Подставляя производные этой функции в формулы, представленные в табл. 2, получим соответствующие выражения для аппроксимирующих многочленов.

На рис. 5 представлены графики приближающих многочленов для m=2,4,6,8. При увеличении m аппроксимирующие многочлены также стремятся к заданной функции.

Рис. 5 Приближение функции f(x) = sin 2x - cos x

На рис. 6 показаны графики погрешности приближения д(x), полученной по формуле (28) для различных значений параметра m.

Рис. 6 Погрешность приближения д(x)

Из представленных графиков видно, что погрешность приближения д(x) имеет более сложный характер, но также стремится к нулю при возрастании m. Это объясняется выполнением достаточного условия теоремы 2 о сходимости последовательности аппроксимирующих многочленов.



Список литературы

1. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / Романовский П.И.. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. 336 с.

2. Архипов Г.И.. Лекции по математическому анализу. / Архипов Г.И., Садовничий А.А., Чубариков В.Н.- М.: Высшая школа, 1999. 695с.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. т. II. / Кудрявцев Л.Д. М.: Высшая школа, 1981. 584с.

4. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / Колмогоров А.Н., Фомин С.В.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 624 с.

5. Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1 / Березин И.С., Жидков Н.П. М.: Физматлит, 1962.- 464 с.

6. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. / Хемминг Р.В. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. 400 с.

7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. / Ланцош К. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. 524 с.

8. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа./ Микеладзе Ш.Е. М.: Гостехтеориздат, 1953. 528 с.

9. Воробьев Н.Н. Теория рядов / Воробьев Н.Н. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 406 с.

10. Шустов В.В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита / Шустов В.В. // ЖВММФ, 2015, № 7, С. 1091-1108.

11. Шустов В.В. Аппроксимация функций несимметричными двухточечными многочленами Эрмита и ее оптимизация / Шустов В.В. // ЖВММФ, 2015, № 12, С. 1999-2014.

12. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. СПб.: Изд. Лань, 2010 - 608 с.

13. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1./ Кудрявцев Л.Д. М.: Высшая школа, 1970. 592с.

14. Шустов В.В. О приближении периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита / Шустов В.В. // Современные методы теории функций и их приложения: материалы 18 Саратовской зимней математической школы / Саратовский гос. ун-т. Саратов, 2016. С. 338-341.

Размещено на Allbest.ru

...