Аналитические функции комплексного переменного с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитические функции комплексного переменного с параметрами

Научная статья

Алыбаев К.С.^1, *, Нарымбетов Т.К.²

^{1, 2} Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Киргизская Республика

Аннотация

комплексный переменная функция

В данной работе рассматриваются аналитические функции комплексного переменного с малыми параметрами порождаемые некоторыми операторами. Исследуется асимптотическое поведение функции, по малому параметру. Задача решена с использованиям линии уровня гармонических функции. Область аналитичности функции разделяется некоторыми линиями на части и в некоторых частях пределы (по малому параметру) существуют, а в других бесконечны или не существуют.

Ключевые слова: Аналитические функции; отображения пространств; линии уровня; параметры; пути интегрирования.

ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS

Research article

Alybaev K.S.^1, *, Narymbetov T.K.²

^{1, 2} Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyz Republic

Abstract

In this paper, we consider the analytic functions of a complex variable with small parameters generated by some operators. We study the asymptotic behavior of a function with respect to a small parameter. The problem is solved using line-level harmonic functions. The analytic domain of the function is divided by some lines into parts, and in some parts the limits (by a small parameter) exist, but in others they are infinite or do not exist.

Keywords: analytical functions; display spaces; level lines; options; integration paths.

Введение

Теория функций комплексного переменного имеют многочисленные приложения для решения задач гидро-, аэродинамики, теории упругости, электростатистики, магнитных и тепловых полей и т.д. Следовательно развитие теории функций комплексного переменного для разработки новых методов решения различных математических и практических задач является актуальной.

Обозначения и вспомогательные понятия

· - соответственно множество натуральных, действительных и комплексных чисел;

· - комплексная переменная, где - действительные переменные; ;

· е - малый положительный вещественный параметр, если функция зависит от е“по е” будет обозначать ;

· - комплекснозначная функция комплексной переменной, где вещетвеннозначные функции двух вещественных переменных;

· - односвязная область в том смысле, что две любые ее точки можно соединить спрямляемой кривой;

· - пространство аналитических комплекснозначных функций в D;

· - пространство аналитических комплекснозначных функций в D с параметром е;

· Множество называется линией уровня функции в области D;

· - означает: для любого t из D функция a(t) обладает свойством P:

Постановка задачи

Рассмотрим пространство

Определение 1. Если для любого найдется такое, что при (или на кривой p) имеет место неравенство

то будем говорить, что стремится при к функции равномерно относительно t в области D (или на кривой c).

Далее согласно принятого определения исследуем задачу В частности к таким задачам сводятся исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений или систем в комплексных областях.

Решение поставленной задачи для произвольной функции комплексной переменной практически является неразришимой. Ограничимся рассмотрением некоторых аналитических функций комплексного переменного.

Пусть заданы пространства и оператор переводящий элемент пространства в элемент пространства .

Если

1.Представление аналитических функций на линиях

Справедливо утверждение: Гармонические функции принимают каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и совпадают с постоянными на линиях будучи торжественно не равными постоянной.

Функция z(t) в целом на линии (p) представляется в виде

, причем в каждой точке функция принимает значение p согласно утверждения. Выражение означает значение функции в некоторой точке .

В нащих дальнейщих исследованиях при рассматрение аналитических функций на линиях будем учитывать такие представления.

2.Решения задачи для некоторых операторов

Пусть скалярная функция.

I. Определим оператор . Пусть и её внутренняя точка, и выполняется следующее условие:

Из условия вытекает, функция в области D не имеет кратных точек и t₀ является простым нулем функции [1,2,3].

Область D полностью покрывается взаимно ортогональными линиями уровней функций

Для внесения ясности в топологию области D в терминах линии уровня введем в рассмотрение линию . В силу условия такая линия существует. Линия проходит через точку t₀ и область D делит на части где выполняются соотношения причем выполнения одновременно в двух областях исключается. Для определенности возьмём , причем равенства имеет место только на линии

Рассмотрим следующие случаи:

1. Пусть t произвольная точка принадлежащая . Рассмотрим функцию

Функция принимает значение 0.

Отсюда вытекает для функции в рассматриваемой точке не существует, но она ограничена по модулю. Точка t произвольная из не существует, но она ограничена по модулю.

2. Введем на рассмотрение линию

и область, ограниченную линиями обозначим , а оставшуюся часть D₁ обозначим D₁₁. Линию отнесем к области D₁₁.

3. . Рассмотрим линии

Область ограниченную линиями обозначим оставшуюся часть D₂ обозначим D₂₁. Линию отнесем к области D₂₁. Далее, если не существует, но по мере приближения t к линии

Примечание. Если условие U заменить на следующее.

то линия в точке разветвляется и области D разделяет на частей, причем ровно в областях (содержащие ветви ) предел по е не существует, а в n областях . Такие области чередуются. К примеру

II. Пусть

(1)

Пусть выполняются условия:

Как и в предыдущем случае определим линию и области .

Для исследования функции по е определим пути интегрирования. Согласно U2 функция . Следовательно пути интегрирования можно выбрать произвольными, но полностью принадлежащими D. Если , то путь состоит из части соединяющую точки .

Если , то путь состоит из части соединяющую точки и части линии соединяющую точки . Линии порождаемые гармоническими функциями, являются аналитическими кривыми и их уравнения можно представит параметрически . В качестве параметра возьмём длины кривых . Пусть длина кривой отчитываемого точки t₀ до точки. Уравнение кривой представим в виде

где текущие координаты точек принадлежащие кривым .

С учетом выбранных путей интегрирования и их параметрическое представление, (1) представим в виде

В (4) интеграл в правой части имеет порядок е. Следовательно не имеет предела по е, но ограничена по модулю.

Пусть . Из (2), интегралы в правой части проинтегрировав по частям, получим

(5)

В ,

а интеграл имеет порядок е. Для значений имеем Тогда

Пусть . Рассмотрим линию . Линией область D₂ разделяется на части . Если линия

III. Рассмотрим векторные аналитические функции комплексного переменного.

Определение. Пусть то будем говорить, что векторная аналитическая функция комплексного переменного с компонентами .

Пространство таких функций обозначим . Пространство функций обозначим .

Норму определим так

Из U2 вытекает, что функции не имеют кратных точек и через каждую точку области D проходит единственная линия уровня функций . В отличие от примера I в данном случае область D покрывается линиями уровней двух пар и это затрудняет описание топологии области D в терминах линии уровня. Но согласно U2 линии

пересекаются в точке

В общем случае линии могут иметь несколько точек пересечения отличных от t₀ и определить такие точки практически невозможно.

Для наглядности предположим:

U3. Линии в области D не имеют других точек пересечения, кроме точки t₀.

Тогда в силу область D линиями разделяется на четыре части и только в одной части, эту часть обозначим D1, выполняются соотношения.

причем равенства имеет место только на границе D1, состоящее из частей линии (рис. 1).

Рис. 1 - Деление области D линиями

Заметим, если в условии то линии совпадают и область D разделяется на две части, при этом не существует область, где одновременно выполняются неравенства

Линиями уровня разделим на части (рис. 2).



Рис. 2 - Деление областей

Далее исследуем предел

Если учесть результаты I, то

Для областей не существуют.

IV. Пусть

и выполняются условия U2, U3.

Для этого случая, учитывая вычисления проведенные в случаях II, III получим

а для областей не существуют.

V. Пусть скалярные функции;

(7)

- константа не зависящая от е.

Далее будем рассматривать пространство с множеством

некоторая положительная не зависящая от е}

Пусть выполняется условия U1.

Решим задачу при каких условиях

с множеством H.

Для решения этой задачи как и в I определим линию и области

В (7) пути интегрирования определим как и в случае II и используем их параметрическое представление.

Пусть Тогда из (7) имеем

(8)

где

Поведение интеграла в (8) при , имеющимися сведениями о функции невозможно определить, но этот интеграл ограничен. Наличие первого слагаемого показывает, в рассматриваемом случае, предел не существует.

Из (8) переходя к модулю получим

где

Отсюда при

 (9)

Теперь рассмотрим случай .

Для этого случая из (7) имеем

(10)

где

В (10) проведем следующее преобразование

(11)

В (11) выражение содержащееся в […] даёт функцию . Учитывая это (11) перепишем в виде

(12)

Если (определена в I), то из (12) вытекает

(13)

где

К интегралу (13), применяя метод интегрирование по частям (функция ) строго монотонна вдоль линии , что и обеспечивает такую возможность) получим

где некоторая постоянная не зависящая от е.

Таким образом

По определению

Отсюда при условии

Пусть (11) представим в виде

Если органичена.

Если а выражение содержащееся в […] ограничена по модулю. Следовательно не ограничена.

Выводы

Таким образом доказано, что аналитические функции (скалярные или векторные) с малыми параметрами обладают рядом специфических свойств. В частности существуют линии делящие области на части и на таких линиях и областях примыкающих к данным линиям пределы функции по малому параметру не существуют, а в других областях бесконечны или существуют и в последнем случае предельная функция принадлежит к пространству или

При рассмотрении операторов отображающих элементы из пространства только при определенных условиях принадлежит пространству .

Конфликт интересов Не указан.	Conflict of Interest None declared.

Список литературы / References

комплексный переменная функция

1. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А. Евграфов. - Москва: Наука, 1991. - 448 с.

2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - Москва: Наука, 1973. - 739 с.

3. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В.Федорюк. - Москва: Наука, 1977. - 368 с.

4. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / Алыбаев К.С. // Вестник КГНУ. - Серия 3, Выпуск 6. - Бишкек, 2001. - С. 190-200.

5. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями /К.С. Алыбаев, К.Б. Тампагаров //Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. № 10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. - С.59-66.

6. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных /М.А.Шишкова//Доклады АН СССР. - 1973. - Т. 209, № 3. - С. 576-579.

7. Алыбаев К.С. Построение областей притяжения при вырождении сингулярно возмущенных уравнений /К.С. Алыбаев, А.Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. № 9 (75). Екатеринбург, 2018. - С. 7-11.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Evgrafov M. A. Analiticheskie funkcii [Analytical functions]/ M. A. Evgrafov. - Moscow: Nauka, 1991. - 448 PP. [in Russian]

2. Lavrentiev M. A. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] / M. A. Lavrentiev, B. V. Shabat. - Moscow: Nauka, 1973. - 739 p [in Russian]

3. Fedoryuk M. V. Metod perevala [The method of the pass] / M. V. Fedoryuk. Moscow: Nauka, 1977. - 368 p. [in Russian]

4. Alybaev K. S. Metod linij urovnya issledovaniya singulyarno vozmushchennyh uravnenij pri narushenii usloviya ustojchivosti [Method of level lines of the study of singularly perturbed equations in violation of the conditions of stability] / Alybaev K. S. // Vestnik KNU. - Series 3, Issue 6. - Bishkek, 2001. - Pp. 190-200. [in Russian]

5. Alybaev K. S. Metod pogranslojnyh linij postroeniya regulyarno i singulyarnyh oblastej dlya linejnyh singulyarno vozmushchennyh uravnenij s analiticheskimi funkciyami [Method of boundary-layer lines of regular and singular domains construction for linear singularly perturbed equations with analytical functions] /K. S. Alybaev, K. B. Tampagarov //Natural and mathematical Sciences in the modern world: collection of articles based on XLVII international scientific-practical conference. 10 (45). Russia, Novosibirsk: Sibak, 2016. - Pp. 59-66. [in Russian]

6. Shishkova M. A. Rassmotrenie odnoj sistemy differencial'nyh uravnenij s malym parametrom pri vysshih proizvodnyh [Consideration of one system of differential equations with a small parameter at higher derivatives] /M. A. Shishkova/ / Reports of the USSR Academy of Sciences. - 1973. - Vol. 209, No. 3. - Pp. 576-579. [in Russian]

7. Alybaev K. S. Postroenie oblastej prityazheniya pri vyrozhdenii singulyarno vozmushchennyh uravnenij [Construction of regions of attraction at degeneration of singularly perturbed equations] / K. S. Alybaev, A. B. Murzabaeva / / international scientific research journal. 9 (75). Ekaterinburg, 2018. - Pp. 7-11. [in Russian]

Размещено на Allbest.ru

...