Проблема применения символьной математики в высшей школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

ПРОБЛЕМА ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

КОРМИЛИЦЫНА Т.В.,

МИРОНОВА С.М.,

СОКОЛОВА С.Н.

The problems and possibility of the using the systems computer mathematics when learning in high school. It Is Analysed experience of the using professional and liberally spread systems on example of the systems Maple, MathCAD, GAP. Cite an instance decisions of the problems to theories of the groups on language of the system GAP.

компьютерная математика язык системный разрыв

Современный период развития сферы российского образования характеризуется процессом информатизации, который предполагает реализацию возможностей информационных технологий с целью совершенствования учебно-воспитательного процесса, организационных форм и методов обучения, воспитания, обеспечивающих развитие учащегося, формирование у него умений осуществления самостоятельной учебной деятельности по сбору, обработке, передаче информации об изучаемых объектах, явлениях, процессах.

В первое время область применения ЭВМ составляли численные расчёты и моделирование. В начале 90-х появились системы компьютерной алгебры, лежащей в основе программирования научных задач на стыке математики и программирования. Компьютерная математика не только вобрала в себя весь арсенал классической математики, но и обогатила её множеством новых, поистине революционных идей.

Эта математика уже реализована аппаратно (например, в математических сопроцессорах и микрокалькуляторах с символьными вычислениями) и программно (в виде систем символьной математики). Самой важной и отличительной особенностью ее является практическая направленность на автоматизацию любых видов вычислений.

Отметим, что термин «компьютерная математика» (в настоящее время чаще употребляют «символьная математика») включает в себя совокупность теоретических и методических, современных программных и аппаратных средств, позволяющих производить все математические вычисления с высокой степенью точности и производительности, а также строить сложные цепочки вычислительных алгоритмов с широкими возможностями визуализации процессов и данных при их обработке. Современные системы к своим «алгебраическим» возможностям добавили возможности мощного численного процессора, а также редактора научных текстов с полиграфическим качеством документов, качественную графику и визуализацию исследований.

В государственных стандартах нового поколения перечислены конкретные системы символьной (компьютерной) математики, возможности которых студенты высшей школы должны освоить и применять в своей будущей профессиональной и научной деятельности. В частности, названы системы Maple, Mathematica, MathCAD, Derive, MatLab. Несколько лет назад изучение таких систем было доступно в силу наличия так называемых условно-бесплатных версий для высшей школы. Особой популярностью у студентов, как показал наш опыт, пользовались системы MathCAD и Maple.

Математик почти на каждой стадии своих исследований использует ряд формул, не вникая в их доказательство. Если исследование предмета требует большей точности или применяемая формула не «работает» в данном случае, появляется необходимость разобраться в доказательстве формулы и модернизировать как его, так и саму формулу соответственно случаю.

Программа MathCAD (здесь и в дальнейшем под словом MathCAD может подразумеваться имя любой системы символьной математики) фактически представляет собой расширенное средство применения определенных формул. Таким образом, может идти речь не о замене математического мышления программой, а о новом, несравненно более мощном виде «справочника формул». В отличие от простого справочника по математике, налицо такие средства, как численное решение и символьные преобразования, продвинутые возможности графики, программирование алгоритмов и т.д. С другой стороны, в математике перед употреблением формулы происходит анализ ситуации на возможность ее применения, т.е. анализируется выполнение условий применимости (истинности) формулы и, по надобности, ситуация преобразуется так, чтобы можно было применить данную формулу. Нужно удостовериться, что вложенные в компьютерную программу, например в MathCAD, символьные преобразования происходят точно по общепринятым законам математической логики.

Рассмотрим случай кратного интегрирования в случае двух и трех измерений. Обычной задачей является вычисление кратного интеграла по данной подынтегральной функции и уравнениям поверхностей, ограничивающих область интегрирования. Но как определить по уравнениям поверхностей существование (и/или единственность) ограниченной данными поверхностями области? Если имеется какое-нибудь интуитивное предположение, то проверка его путем решения систем неравенств явным путем даст ответ на поставленный вопрос. Это интуитивное предположение можно получить с помощью MathCAD. В самом деле, в программе имеются мощные, но, разумеется, не универсальные средства графического изображения поверхностей. Вполне отдавая себе отчет, что сегодняшняя компьютерная графика не в силах воспроизвести, например, рисунок графика простейшей, с точки зрения математического анализа, функции Дирихле, все-таки построенные в MathCAD рисунки графиков могут служить хорошим средством «увидеть» искомую ограниченную область. После этого, разумеется, обязательно нужно произвести точное доказательство существования и ограниченности «увиденной» фигуры по уравнениям поверхностей. Таким образом, MathCAD применяется на этапе создания рабочей гипотезы - интуитивного предположения. Перейдем к применению MathCAD конкретно в случае математического анализа. В этой области в основном интересны не численные результаты, а «функциональные» свойства рассматриваемых математических объектов, такие, как существование предела, наличие и анализ точек разрыва, дифференцируемость, интегрируемость и т.д. Например, не представляется корректным, с математической точки зрения, численное «доказательство» существования предела, во время которого записывается алгоритм численного вычисления по данному . В математическом анализе в этом случае акцент стоит на доказательстве существования решения определенного неравенства или же уравнения, хотя, разумеется, в определенных вопросах могут представлять интерес и конкретные числовые значения. Также численное вычисление предела - скорее область численных методов, а не математического анализа. Практика использования систем символьной математики показала существенное повышение мотивации изучения высшей математики и ее специальных разделов, так как решение любой математической задачи, выполненное в некоторой системе символьной математики, требует дальнейшего аналитического осмысления, так как при всей своей «интеллектуальности» системы являются все же программными продуктами со всеми более или менее присущими им достоинствами и недостатками.

Следует отметить, что у студентов-физиков большей популярностью пользовалась система MathCAD. Студенты-математики отдавали предпочтение системе Maple с ее богатой библиотекой расширений. Программа Maple корпорации Waterloo Maple Inc. -- патриарх в мире систем символьной математики. Эта система, снискавшая себе мировую известность и огромную популярность, является одной из лучших среди систем символьной математики, позволяющих решать математические задачи в аналитическом виде. Все эти возможности в сочетании с прекрасно выполненным и удобным пользовательским интерфейсом и мощной справочной системой делают Maple первоклассной программной средой для решения разнообразных математических задач: от самых простых до самых сложных. В качестве иллюстрации приведем таблицу 1 сравнения встроенных алгоритмов в системы Maple и MathCAD, предназначенных для решения некоторых задач линейной алгебры. Подобные таблицы позволяют увеличить процент запоминаемости синтаксиса встроенных алгоритмов систем символьной математики.

Таблица 1 - Сравнение встроенных алгоритмов решения задач линейной алгебры

Казалось бы, почему при таком раскладе системы символьной математики не получают достаточно широкого распространения и применения при изучении математики в высшей школе? Причин несколько. Конечно, во-первых, это стоимость систем. В настоящее время оснащение компьютерных классов специализированными предметными программами является делом дорогостоящим и поэтому малоприменимым на практике. Во-вторых, это кадровый вопрос. Чтобы реализовать обучение высшей математике с применением систем символьной математики, необходимы специалисты, в равной степени хорошо владеющие и математикой, в том числе методикой её преподавания, и программированием. Тем более, что справочная литература по такого рода программа труднодоступна, несмотря на большую популяризацию и подвижническую деятельность в этом вопросе уважаемого нами доктора технических наук Дьяконова В.П., без работ и книг которого применение систем в вузе было бы просто невозможно. Сделаем ссылку только на работу [2], хотя имеется целый список подобных работ по всем без исключения перечисленным системам символьной математики.

Актуальной стала задача использования «альтернативных» свободно распространяемых систем символьной математики. Анализ рынка таких программных средств привел к плачевным выводам: по разным причинам разнообразие ассортимента отсутствует. Однако наши поиски дали неожиданно положительный результат: обнаружена созданная достаточно давно система символьной математики GAP, правда, предназначена она в основном для решения задач теории групп. Система доступна на сайте [3].

Система символьной алгебры GAP, название которой расшифровывается как "Groups, Algorithms and Programming" ("Группы, алгоритмы и программирование"), была спроектирована в 1985 году как инструмент комбинаторной теории групп - раздела алгебры, изучающего группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. Однако с выходом каждой новой версии программы сфера ее применения охватывала все новые и новые разделы, и сейчас это довольно масштабная по своему охвату система. Основные центры разработки системы находятся в университетах г.Сент-Эндрюс (Шотландия), гг. Ахен, Брауншвейг (Германия), Университете штата Колорадо (США). Система GAP является свободно распространяемой, открытой и расширяемой системой. Она распространяется в соответствии с GNU Public License. Система поставляется вместе с исходными текстами, которые написаны на двух языках: ядро написано на Си, а библиотека функций - на специальном языке, также называемом GAP, который по синтаксису напоминает Pascal, однако является объектно-ориентированным, на котором можно создавать собственные программы и расширять систему. При анализе информационных источников найдены работы, использующие GAP в научных исследованиях и посвященные теории групп [4].

В своей работе приведем оригинальные алгоритмы решения некоторых задач теории групп в системе GAP, сформулированные в [1].

Задача 1 [1, c. 48]. Элементы произвольной природы группы G и их произведения (взятые в конечном числе) образуют группу, называемую коммутантом группы G. Эта подгруппа является нормальной и факторгруппа по ней абелева. Каждая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева, содержит коммутант.

gap> g:=Group((1,2,3,4),(1,2));;NormalSubgroups(g);

[Group(()), Group([(1,4)(2,3), (1,3)(2,4)]), Group([ (2,4,3), (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ]), Group([ 1,2,3,4), (1,2) ]) ]

gap> n:=Subgroup(g,[(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)]);

Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ])

gap> CommutatorFactorGroup(g);

Group([ f1 ])

gap> CommutatorSubgroup(Group((1,2,3),(1,2)),Group((2,3,4),(3,4)));

Group([ (1,4)(2,3), (1,3,4) ])

gap> d:=Group([(1,4)(2,3),(1,3,4)]);

Group([ (1,4)(2,3), (1,3,4) ])

gap> IsNormal(d,g);

true

gap> HasAbelianFactorGroup(g,d);

true

gap> HasCommutatorFactorGroup(f);

true

Задача 2 [1, c. 44]. Абелевы группы не имеют внутренних автоморфизмов, отличных от тождественного.

AbelianGroup([1,2,3]);

<pc group of size 6 with 3 generators>

gap> d:=AbelianGroup([1,2,3]);

<pc group of size 6 with 3 generators>

gap> au:=AutomorphismGroup(d);

<group with 2 generators>

gap> InnerAutomorphismsAutomorphismGroup(au);

<trivial group>

Таким образом, так как насущным требованием времени стало обязательное владение возможностями систем символьной математики, следует расширять класс используемых программных продуктов и за счет имеющихся свободно распространяемых систем, любезно представленных разработчиками и постоянно совершенствующихся и расширяющихся.

ЛИТЕРАТУРА

1.Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра [Текст] / Б. Л. Ван дер Варден. - М.: Наука.1979. - 650 с.

2.Дьяконов, В.П. Mathematica в математических и научно-технических расчетах [Текст] / В.П.Дьяконов. - М.: Солон-Пресс.2004. - 696 с.

3.GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra [Электронный ресурс] / http://www.gap-system.org/Download/copyright.html

4.Украинская группа пользователей GAP [Электронный ресурс] / http://ukrgap.exponenta.ru/

Размещено на Allbest.ru