Инварианты многоканального изображения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Инварианты многоканального изображения

При автоматизированной цифровой обработке многоканальных изображений (космических снимков, геофизических полей) возникает естественная задача определения характерных (особых) точек изображения [1]. Такие точки могут быть использованы в различных прикладных задачах: в проблемах распознавания, отыскания снимка по образцу, в задачах фотограмметрии и т. д. Так как условия съемки: освещенность, ориентация камеры, положение объекта в различные моменты съемки отличаются, то желательно, чтобы выбор характерных точек изображения не зависел от качества, ориентации, масштаба снимка. Другими словами, был бы инвариантен относительно определенной группы преобразований снимка.

Ранее в основном изучались инварианты относительно группы движений [2,3,4], состоящей из поворотов и параллельных сдвигов. В данной работе определяются и исследуются числовые инварианты относительно более широкой группы преобразований; включающей в себя повороты, трансляции, растяжения снимков и различные калибровки каналов. Этот подход позволяет выделять более «грубые» и, значит, более устойчивые признаки и особенности изображений. Данная статья посвящена разработке математических основ предлагаемого подхода к цифровой обработке космических снимков и разработке алгоритмов вычисления инвариантов. В работе определяется понятие инвариантного RGB симплекса изображения, в экспериментальной части вычисляется RGB симплекс для конкретных изображений. Данные инвариантные характеристики могут быть использованы в геоинформационных системах.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим трехканальное изображение. В математической постановке это означает, что заданы три неотрицательные функции в некоторой области на плоскости. В данном пункте будем предполагать, что функции -раз непрерывно дифференцируемы, тогда справедливо разложение Тейлора -го порядка с центром в произвольной точке области. Можно считать, не ограничивая общности, что данная точка - начало координат на плоскости. Например, разложение второго порядка будет иметь вид:

Предположим, что снимок подвергся преобразованию

Здесь коэффициент соответствует гомотетии изображения, угол - повороту, а коэффициенты , , - калибровке 1, 2 и 3 слоев соответственно. Множители можно интерпретировать как факторы поглощения среды, действующие в окрестности исследуемой точки и соответствующие частотному диапазону данного слоя. Пусть - соответствующий вектор.

Нетрудно видеть, что преобразования удовлетворяют тождеству

и образуют пятимерную коммутативную группу Ли . Рассматривая действие группы на пространстве -струй функций (тейлоровских разложений -го порядка) получим, что группа действует в пространстве размерности . Здесь - порядок тейлоровского разложения, а 3 - число каналов.

Определение 1. Будем называть числовую функцию , нетождественно равную константе, инвариантом -го порядка, если под действием преобразований группы она не меняется.

Замечание. Размерность пространства инвариантов равна .

В данной статье рассмотрим инварианты первого порядка.

Произвольная функция имеет вид и для неё определены инфинитезимальные дифференциальные операторы , , ;

(1)

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Дифференциальные операторы , , , где равны

(2)

Доказательство. Действие группы на параметр определяется формулами , т.е.

где . Применив данное преобразование и проведя необходимые вычисления при указанных начальных условиях, получим искомые выражения (2) для значения дифференциальных операторов (1).

Теорема 2. Следующие функции являются инвариантами:

Доказательство. Проверяется непосредственно.

Замечание. Инварианты , , представляют собой косинусы углов между векторами системы . Матрица Грамма для системы векторов имеет вид:

В силу того, что определитель данной матрицы равен нулю, имеем зависимость:

Замечание. Нетрудно заметить, что инварианты , , также зависимы

В итоге получим четыре независимых инварианта.

Замечание. Наряду с инвариантами будем рассматривать сопряженные к ним инварианты представляющие собой синусы углов между векторами системы .

4. ИНВАРИАНТНЫЙ RGB СИМПЛЕКС

В силу инвариантности относительно калибровки каналов, гомотетии и поворота изображения при вычислении инвариантов можно перейти к "нормированным" функциям имеющим вид:

(3)

Здесь, а . Отсюда получим:

, ,

,.

Геометрический смысл векторов , , заключается в том, что они представляют собой градиенты нормированных функций .

Треугольник не зависит от калибровки каналов и поворотов исходного изображения относительно начала координат. Назовем его инвариантным RGB симплексом.

Координаты вершин треугольника следующие:

Рисунок 1 Инвариантный симплекс, отвечающий RGB - изображению

Определим попарные векторные произведения векторов - эти произведения будут представлять собой удвоенные площади треугольников, определенных этими векторами (см. рис. 1):

,

,

.

Для того, чтобы начало координат лежало внутри указанного треугольника , должны одновременно выполняться следующие три условия:

Или

.

В зависимости от положения начала координат относительно треугольника выделяются следующие области:

· - область внутри треугольника, соответствующая знакам величин или ;

· - область, соответствующая знакам или ;

· - область, соответствующая знакам или ;

· - область, соответствующая знакам или .

Данные области отображены на рисунке 2, сплошная черта у границы области означает, что граничные точки принадлежат области, а пунктирная линия - не принадлежат.

На рис. 2 каждой точке RGB-изображения соответствует одно из указанных выше положений начала координат относительно треугольника . Соответственно все множество точек изображения разбивается на четыре группы . Определим частоты попадания точек в каждую из этих групп.

Введем следующие обозначения:

· - относительная мера точек из ;

· - относительная мера точек из ;

· - относительная мера точек из ;

· - относительная мера точек из ,

здесь - общая площадь изображения.

Определение 2. Определим множество особых точек - для RGB изображения (3), как особые точки суммы нормированных функций RGB-изображения.

В этих точках сумма градиентов нормированных каналов равняется нулю, т.е. начало координат лежит на пересечении медиан или в терминах величин это означает равенство .

Замечание. Величины и множество являются инвариантными характеристиками изображения в целом.

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

1) восьмиканальное изображение, полученное со спутника Landsat 7. Данный спутник обеспечивает съемку земной поверхности в шести зонах с разрешением 30 м, в инфракрасной зоне - с разрешением 60 м, и одновременную панхроматическую съемку с разрешением 15 м. Выберем для дальнейшей обработки три первых канала (слоя) с диапазонами спектрального разрешения 0.45 ? 0.52, 0.52 ? 0.6 и 0.63 ? 0.69, соответствующие синей, зеленой и красной цветовым зонам;

2) фотографический снимок;

3) искусственно сгенерированное изображение.

Проверим гипотезу о равновероятном попадании пикселя в области для изображений одного типа. Предположим, что величины попадания в области для определенного класса изображений равны:

Для проверки гипотезы воспользуемся методом корреляции, т.е. вычислим корреляцию между распределением пикселей по областям для изображений одного типа.

Проведем проверку для изображений всех рассматриваемых видов.

Для изображений, полученных со спутника Landsat 7 (рис. 3), получили следующее распределение: при общем количестве пикселей пиксели распределились следующим образом:

В результате проведенных экспериментов можно сделать следующий вывод: в силу того, что значения корреляции между распределением точек по областям для изображений каждого из рассмотренных типов достаточно велики, гипотеза о стабильности распределения попаданий точек в указанные области для изображений каждого из рассмотренных типов может быть принята.

Рассмотрим особые точки для нормированного RGB-изображения. Как мы уже знаем, в этих точках сумма градиентов равняется нулю, а в терминах величин это означает их равенство.

Приближенное равенство можно записать в виде системы неравенств:

Замечание. При множество будет лежать во множестве . На рисунке 6 изображены множества при , равном и .

Для отсева "особых" точек, используем систему (4). Будем подбирать таким образом, чтобы в область попадало около 10 наиболее характерных точек. Опытным путем было выяснено, что для удовлетворения этого условия рекомендуется выбирать в пределах .

Заключение

На основании проведенных экспериментов можно сделать вывод о том, что рассмотренные в данной статье инварианты, показатели распределения точек изображения по областям RGB симплекса и особые точки этого симплекса можно использовать в качестве ключевых характеристик изображения в проблемах распознавания изображений, отыскания снимков по образцу, решаемых в современных геоинформационных системах.

Литература

снимок автоматизированный цифровой

1.Прэтт, У. Цифровая обработка изображений [Текст] / У. Прэтт под ред. Д.С. Лебедева в 2-х книгах - М.: Мир, 1982. - 620 с.

2.Peter J. Olver. Equivalence, Invariants, and Symmetry. - Cambridge University Press, 1995. - 525 p.

3.Gouet MV., Montesinos P., Pele D. Stereo Matching of Color Images Using Differential Invariants // International Conference on Image Processing. - 1999. - Р. 152-156.

4.Zisserman Mundy. Geometric Invariance in Computer Vision - MIT Press. 1996. - 560 p.

Размещено на Allbest.ru