Программное обеспечение для исследования процесса разрушения материалов с использованием математической модели двухконсольной балки
Рассмотрение программного обеспечения для исследования параметров процесса разрушения двухконсольной балки с физическим разрезом, равным толщине слоя взаимодействия на основе математической модели. Блок-схема решения системы нелинейных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.08.2020 |
| Размер файла | 172,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Программное обеспечение для исследования процесса разрушения материалов с использованием математической модели двухконсольной балки
Мерцалова Т.А.
При создании сложных конструкций в процессе изготовления в результате различных внешних и внутренних воздействий вводятся начальные деформации, что может привести к появлению трещин на каком-либо технологическом этапе. Поэтому возникает необходимость проведения расчетов для выяснения критических размеров трещины при некоторой нагрузке, коэффициентов запаса по прочности и долговечности. Расчеты с учетом наличия трещин ведутся на основе критериев механики разрушения, при этом характеристики трещиностойкости оценивают сопротивлением материала распространению в нем трещины [1, 2].
Один из распространенных образцов для проведения экспериментов по определению трещиностойкости представляет собой двухконсольную балку (ДКБ). двухконсольный балка математический уравнение
В статье рассматривается программное обеспечение для исследования параметров процесса разрушения ДКБ (рисунок 1) с физическим разрезом, равным толщине слоя взаимодействия [2] на основе математической модели. По математической модели определяется критическое значение расклинивающего усилия , соответствующее началу образования новых поверхностей. Начало неподвижной декартовой системы координат поместим в конце разреза. Берега разреза нагружены сосредоточенной силой на расстоянии от начала координат.
Рисунок 1 - Общая схема исследуемой ДКБ
Необходимо определить критическое значение расклинивающего усилия , соответствующее началу образования новых поверхностей и эпюры напряжений, отражающих взаимодействие между берегами слоя и консолями в критическом состоянии. В силу того, что учет стадии разупрочнения влияет на значение расклинивающего усилия [2] несущественно, считаем, что в момент образования новых поверхностей материал слоя взаимодействия (рисунок 1) деформируется устойчиво в смысле Дракера. Вне слоя взаимодействия среда полагается упругой, а перемещение точек и считаются нулевыми.
В силу симметрии задачи рассмотрим только верхнюю консоль , а ее взаимодействие со слоем заменим искомой нагрузкой (рисунок 2).
Рисунок 2 - Расчетная схема математической модели ДКБ
При дальнейшем изложении ограничимся случаем малых деформаций, обусловленных малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения.
Математическая модель поставленной задачи [3] представляет собой систему нелинейных уравнений.
Неизвестными являются: длина пластической зоны , критическое усилие , а также постоянные интегрирования .
При присвоении элементу определенного значения данная система сводится к системе линейных уравнений.
Таким образом, задача решения системы нелинейных уравнений разбивается на две: выбор параметра и определение неизвестных величин путем решения линейной системы уравнений.
Для определения параметра применен метод половинного деления (или бисекции). В рассмотрение берется последнее уравнение полученной системы . Для определяется некоторый интервал , в котором меняет знак. Затем сужаем этот интервал настолько, насколько позволяет заданная точность.
Решение системы линейных уравнений - одна из задач, наиболее часто встречающихся в научных вычислениях, при этом обычно число уравнений равно числу неизвестных. В данном случае получаем десять уравнений и девять неизвестных. Последнее уравнение в рассматриваемой системе является условием достижения критического перемещения в точке . Оно используется как условие выбора и соответствующих ему остальных параметров. Систему девяти линейных уравнений с девятью неизвестными решаем методом исключений Гаусса, проверяя перед этим разрешимость системы. Применение метода исключений Гаусса экономично и точно.
Разработанное программное обеспечение, решающее построенную математическую модель, имеет достаточно простую структуру (рисунок 3).
Рисунок 3 - Блок-схема решения системы нелинейных уравнений
Функция det проверяет матрицу на вырожденность.
Заметим, что проверка на вырожденность является неотъемлемой частью вычислительного процесса, так как недостаточное исследование системы может повлечь за собой множество ошибок, которые в итоге приведут к неверному результату. При определенном подборе входных параметров определитель исследуемой системы может быть очень близок к нулю, это свидетельствует о том, что система является плохо обусловленной и требуются дополнительные исследования. В качестве меры обусловленности системы служит число обусловленности системы. Иногда выгоднее использовать более грубую оценку, то есть обращаться к числу обусловленности матрицы системы. К плохо обусловленным системам чаще всего применяются специальные методы. Чаще всего пользуются методом регуляризации. В рассматриваемом случае существенно влияет на определитель системы значение толщины слоя взаимодействия.
Функция find определяет . Здесь же вызывается функция Gauss, которая решает систему линейных алгебраических уравнений, то есть находит критическое усилие , а также постоянные интегрирования , соответствующие рассматриваемому на данном шаге .
Рисунок 4 - Ввод исходных данных системы моделирования разрушения ДКБ
На рисунке 5 приведен график зависимости длины пластической зоны от высоты консоли, полученный в результате моделирования. Высота консоли (рисунок 1) существенно влияет на длину пластической зоны слоя взаимодействия. В случае варьирования плеча существует широкий диапазон, при котором не меняется.
Рисунок 5 - График зависимости длины пластической зоны от высоты консоли
Созданная программа имеет простой и удобный интерфейс (рисунок 4), с помощью которого можно вводить исходные данные процесса разрушения и наблюдать изменения, позволяет выявлять закономерности процесса.
Литература
1. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М., Физматлит, 2004, -407 с.
2. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин А.А. Модель процесса разделения деформируемого тела//Известия РАН. МТТ. №6. 2003. С. 71-78.
3. Глаголев В.В. Модель разделения двухконсольной балки в континуальном подходе к разрушению // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Механика - 2003, -№6, -С 61-69
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.
контрольная работа [239,6 K], добавлен 20.04.2016Методы решения нелинейных уравнений: касательных и хорд, результаты их вычислений. Алгоритм и блок схема метода секущих. Исследование характерных примеров для практического сравнения эффективности рассмотренных методов разрешения нелинейных уравнений.
дипломная работа [793,2 K], добавлен 09.04.2015Изучение физического процесса как объекта моделирования. Описание констант и параметров, переменных, используемых в физическом процессе. Схема алгоритма математической модели, обеспечивающая вычисление заданных зависимостей физического процесса.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 21.05.2022Создание математической модели движения шарика, подброшенного вертикально вверх, от начала падения до удара о землю. Компьютерная реализация математической модели в среде электронных таблиц. Определение влияния изменения скорости на дальность падения.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 09.03.2016Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
курсовая работа [997,2 K], добавлен 21.01.2014Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
курсовая работа [489,1 K], добавлен 17.11.2016Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Проектирование математической модели. Описание игры в крестики-нолики. Модель логической игры на основе булевой алгебры. Цифровые электронные устройства и разработка их математической модели. Игровой пульт, игровой контроллер, строка игрового поля.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 28.06.2011Сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Описание программного обеспечения и тестовых задач.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 26.02.2011Разработка программного обеспечения для решения нелинейных систем алгебраических уравнений методом дифференцирования по параметру и исследование влияние метода интегрирования на точность получаемого решения. Построение графиков переходных процессов.
курсовая работа [619,3 K], добавлен 26.04.2011Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Алгоритм проведения регрессионного анализа для создания адекватной модели, прогнозирующей цены на бензин на будущий период. Основы разработки программного обеспечения, позволяющего автоматизировать исследования операций в заданной предметной области.
контрольная работа [182,0 K], добавлен 06.02.2013История возникновения и развития математической логики как раздела математики, изучающего математические обозначения и формальные системы. Применение математической логики в технике и криптографии. Взаимосвязь программирования и математической логики.
контрольная работа [50,4 K], добавлен 10.10.2014Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009Решение систем уравнений по правилу Крамера, матричным способом, с использованием метода Гаусса. Графическое решение задачи линейного программирования. Составление математической модели закрытой транспортной задачи, решение задачи средствами Excel.
контрольная работа [551,9 K], добавлен 27.08.2009Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
курсовая работа [863,4 K], добавлен 21.06.2015Геометрический, кинематический и силовой анализ механизма навески трактора Т150К. Использование плоской математической модели механизма. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата. Определение координат характерных точек механизма.
курсовая работа [547,1 K], добавлен 22.12.2015
