Значение и роль решения проблем простых чисел в математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Значение и роль решения проблем простых чисел в математике

Уштенов Е

Введение. История появления проблем простых чисел

Арифметика зародилась в древнейшие времена человечества. Счет велся мелкими подручными предметами - камешками, деревянными палочками и т.д., а для длительного пользования - метками на деревьях, камнях, стенах и т.д. Так зародился первый счетный ряд, без цифр, без разделений на группы чисел. Счет велся в целых положительных числах без названий цифр и чисел. Это было предпосылкой появления цифр. Натуральные числа появились намного позже, до их пользования были несколько видов исчисления. Большим достиженим в свое время было изобретение цифры нуля к после натурального ряда.

Со временем появились арифметические действия: суммирование и вычитание. Деление и умножение, вероятно, появились позже. Так как древние люди пользовались тоько целыми положительными числами, то им хорошо доступны были суммирование и вычитание, в то время как деление одного числа на другое меньшее число без остатка было невыполнимо. Так появились простые числа. Древнегреческий математик и философ Евклид первым доказал бесконечность числа простых чисел в 9-ой книге своих трудов “ Начала” в 3-ем веке до н.э. [1; 2, 34]

После Евклида тоже греческий астроном и математик Эратосфен изобрел метод определения простоты числа, так называемое “Решето Эратосфена”. Этот метод применим для определенного отрезка числа, хотя компьютеры с его помощью могут вычислить простые числа очень больших численных значений. Недостатком “Решета Эратосфена” является многооперационность математических операций и результатом вычислений выдается список простых чисел, начиная с 2-х и до заданного числа.[3, 30-33; 4, 18-20].

Позже были найдены другие методы определения простоты числа, такие как по теореме Вильсона, по теореме Лейбница, по методу Серпинского, по методу Уштенова и Мамараимова. [3, 89-90; 5, 93-94; 6, 49-53; 7, 90-92; 8,16-18; 9,255-257; 10,655-659].

Проблемы простых чисел накапливались по мере их изучения и применения для решения различных задач.

Классификация проблем простых чисел

В 1742 году в переписке швейцарского и немецкого математиков Л. Эйлера и Гольдбаха появились “бинарная” и “тернарная” проблемы простых чисел.[5, 278-281]. См. ниже в 4-х проблемах Ландау.

В 1798 году Лежандр выдвинул предположение о максимальном “расстоянии” между двумя последовательными простыми числами.(6, 14-15) . См. ниже в 4-х проблемах Ландау.

Но центральной задачей оставалась проблема распределения простых чисел в натуральном ряде. Этойпроблемой в 18-20-х веках занимались многие знаменитые математики.

Великий немецкий математик К.Ф. Гаусс уже в юношеском возрасте предположил, что число простых чисел р(x) до числа (x) можно выразить следующим выражением:

~ [5,53-54]

Наконец, в 1896 году французский математик Ж.Адамар и бельгийский математик Валле-Пуссен независимо друг от друга доказали Теорему распределения простых чисел (ТРПЧ):

= 1 (1). Формула (1) представляет собой Асиптотический Закон рапределения простых чисел в натуральном ряду. [5, 255-257 ; 12, 59]

После появления Асиптотического Закона в проблеме распределения простых чисел оставался открытым вопрос числа простых чисел до некоторого определенного числа.

И в августе 1859 года немецкий математик Бернхард Риман по случаю принятия его в члены - корреспонденты Берлинской Академии наук представил работу «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». [2,Prologue]. В ней Риман,на основе ряда Фурье и впервые введенным Л. Эйлером элемента степени s, для решения проблемы распределения простых чисел предложил новый математический аппарат - так называемую дзета - функцию ж(s):

ж(s)=;

где s=у+it - комплексное число,i= ,

Риман высказал, что нули этой функции тесным образом связаны с распределением простых чисел [ 2, 137-150; 13,353-354; 14,5-8].

Роль простых чисел в математике

Один из виднейших математических умов своего времени, Давид Гильберт, выступая на II Международном конгрессе математиков в 1990году в Париже, представил доклад с 23 кардинальными задачами на ближайщее будущее. Под номером 8 была задача «Проблемы простых чисел

Математический институт Клея (основанный в 1998 году бостонским финансистом ЛэндономТ.Клеем) установил премию в один миллион долларов США за доказательство или опровержение каждой из 7 так называемых «задач тысячелетия в том числе и за Гипотезу Римана [2, 351-354].

На сегодня решена всего одна задача - гипотеза Пуанкаре выдающимся российским математиком Григорием Перельманом в 2002 году.На Пятом Международном Математическом Конгрессе в 1912 году в г.Кембридже список проблем для Теории чисел аналогичный списку Гильберта предложил известный немецкий математик и физик Эдмунд Ландау.

1. Первая проблема Ландау.

"Бинарная" проблема Гольдбаха: Любое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. (Л. Эйлер, 1742г.). простое число гильберт

"Тернарная " проблема Гольдбаха: Любое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.(Гольдбах, 1742г.).

2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» - простых чисел, разность между которыми равна 2? (Э. Ландау, 1900 г.)

3. Третья проблема Ландау. Гипотеза Лежандра: верно ли, что для всякого натурального числа n между n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?(Лежандр, 1798г.)

4.Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1, где n- натуральное число. (Ландау, 1900г.). [5, 278-281; 6, 18-19;].

Простые числа играют огромное значение в Теории чисел и в математике в целом. Продолжительное время в 20-м столетии в криптографии пользовались простыми числами. Решение многих задач Теории чисел зависят от верности Гипотезы Римана.

В квантовой физике проблемы можно решить только в целых положительных числах и потому большой проблемой становится задача факторизации числа которая в свою очередь упирается в проблемы простых чисел.[2,312-326].157 летГипотезеРимана иот 116 до 274 лет проблемам Ландау не решенными до сих пор. По Гипотезе Римана получены результаты очень далекие от истинных значений, а из проблем Ландау частично решена только “тернарная” задача.

Список литературы

Gauss C. F. DisqnisitionesArithmeticae, 1801. Springer, 1986.979стр.

Derbyshire John. Prime Obsession - Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematicsa. Joseph Henry Press. Washington, D.C. 2003.432 page.

НестеренкоЮ. В. Теориячисел.Издательский центр «Академия». Москва. 2008г.272 стр. .

Виноградов И.М. Основы теории чисел. ИдательствоЛань , Санкт-Петербург, 2009г.180 стр.

Михелович Ш.Х. Теория чисел. Издательство «Высшая школа», Москва, 1967г.336 стр.

Ushtenov E.R., Akulbaev M.I. “Terms of primality of a number. Number theorem 2 of prime number criteria.” Журнал “Life Science of Jornal”. США. 2014, №11 6(S). http: www.lifesciencesite.com,2014, 11(6s).618 стр.

Уштенов Е.Р., Мамараимов М.Т. “Проблемы простых чисел и теорема о критерии простого числа “ . Журнал “THEORYAND PRACTICEINTHEPHISICAL, MATEMATICALANDTECHNICAL SCIENES”, Лондон, Великобритания, 3-13 мая, МАНВО. Стр. 16-18.http://www.gisap.eu>/node/7190. 108 стр.

Акылбаев М.И. 1, Уштенов Е.Р. 1“ Новая теорема о критерии простого числа”. Журнал “Международный журнал фундаментальных и прикладных исследований” №1, 2014г., часть 1. Москва, 2014г. ISSN 1996-3955.http://www.rae.ru/upfs/393-c4658. 282стр.

Ushtenov E.R., Mamaraimov M.T. “The new theorem on prime number criterion with few operaitions for the identification of prime number”. Журнал “World Applied Sciences Journal”. ISSN 1818-4952. Пакистан, Карачи, 29.05.2014г. http://www.wasj, 2014, 29.05. 712стр.

Размещено на Allbest.ru