Решение задач проектирования машин и механизмов методом ПЛП-поиска

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Решение задач проектирования машин и механизмов методом ПЛП-поиска

Статников И.Н., Фирсов Г.И.

Общим для проектирования машин и механизмов является то, что они относительно просто поддаются математической формализации как задачи нелинейной (в общем случае) оптимизации: для заданной математической модели требуется подобрать такие значения варьируемых параметров, чтобы они обеспечивали получение экстремальных величин одного или нескольких критериев качества. Значит, приходится иметь дело с задачами многопараметрической и многокритериальной оптимизации.

Среди численных методов поиска оптимальных решений (а именно эти методы в абсолютном большинстве используются для решения практических задач) очевидно не существует универсального, пригодного для решения любой задачи нелинейной оптимизации. Поэтому естественным для разработчиков методов является обращение к вероятностным и статистическим интерпретациям решаемой задачи, в частности, к методу Монте-Карло. Одной из разновидностей этого метода при решении задач проектирования явился ЛП-поиск, получивший в настоящее время название «метод исследования пространства параметров» [5].

Однако при вероятностном и статистическом подходе к решению задачи проектирования возникает важная проблема: обилие информации требует умения ее преобразовывать в характеристики, зависящие и определяющие одновременно свойства проектируемого объекта, а не только отыскивать экстремумы заданных критериев качества. Одним из путей решения проблемы может стать применение различных эвристических приемов сокращения пространства параметров, в котором происходит поиск наилучших решений. Здесь целесообразно опираться на когнитивное правило, выведенное Полем Фитсом: время достижения цели обратно пропорционально ее размеру и дистанции до нее. Если объем исходной области поиска обозначить через D, а объем области, содержащей предпочтительные решения, как S, то число вычислительных экспериментов может быть определено по формуле: где a и b - некоторые константы.

Одним из методов, объединяющих стохастические модели, свойственные методу Монте-Карло, и планирование вычислительного эксперимента, является разработанный в ИМАШ РАН планируемый ЛП-поиск (ПЛП-поиск), который благодаря одновременной реализации в нем идеи дискретного квазиравномерного по вероятности зондирования J - мерного пространства варьируемых параметров aj (j = 1,…,J) и методологии планируемого математического эксперимента позволяет, с одной стороны, осуществлять глобальный квазиравномерный просмотр заданной области варьируемых параметров, а с другой стороны, применить многие формальные оценки из математической статистики. Метод ПЛП-поиска (планируемого ЛП-поиска) [7] рекомендуется использовать, прежде всего, на предварительных этапах анализа и синтеза технического устройства, когда первоначальная подробная аналитическая проработка математической модели, достаточно адекватно описывающей функционирование устройства, практически невозможна (или неэффективна с позиций трудоемкости анализа и интерпретируемости получаемых решений), а также когда полученная информация позволяет принять решение об использовании других методов оптимизации (но значительно эффективнее), или об окончании решения (такое тоже возможно). Разработанный метод является естественным развитием эвристических подходов к моделированию систем и активно разрабатываемых в последние годы эволюционных подходов к моделированию, поскольку в процессе моделирования статистически генерируется некоторое множество моделей, из которых отбираются наиболее подходящих для данной постановки задачи исследования или проектирования.

Рассмотрим формализованную постановку решаемой задачи, когда используется ПЛП-поиск. Пусть задана математическая модель исследуемой системы, - вектор коэффициентов уравнений. Исходная область изменения коэффициентов задается в виде I-мерного параллелепипеда aj* Ј a j Ј aj**, где aj* и aj** - соответственно нижние и верхние граничные значения j-го коэффициента И, наконец, задается система критериев качества функционирования устройства (в явном или неявном виде) В основание метода положена рандомизация расположения в области векторов , рассчитываемых по ЛПt-сеткам [6], и которая оказывается возможной благодаря тому, что весь вычислительный эксперимент проводится сериями. Для рандомизации (случайного смешения уровней варьируемых параметров ) дискретного обзора могут быть использованы многие существующие таблицы равномерно распределенных по вероятности целых чисел. Рандомизация состоит в том, что для каждой h-ой серии экспериментов (h = 1,…, H()), где H() - объем выборки из элементов для каждого критерия, вычисляется свой вектор случайных номеров строк в таблице направляющих числителей (ТНЧ) по формуле:

= [R ґ q] + 1, (1)

а значения в h-ой серии рассчитываются с помощью линейного преобразования:

где - соответственно верхние и нижние границы области ; q = 1, …, J; R - любое целое число (в ПЛП-поиске R = 51); - фиксированный номер варьируемого параметра; = =1,…, M() - номер уровня -го параметра в h - й серии; M() - число уровней, на которое разбивается -ый параметр; в общем случае (в чем и состоит одна из целей рандомизации). Было доказано с помощью критерия Романовского [2], что числа , вырабатываемые по формуле (1), оказываются совокупностью равномерно распределенных по вероятности целых чисел.

Обратим внимание, что M(j) и есть количество экспериментов, реализуемых в одной серии. И если M(j) = M = const и H(i,j) = H = const, то в этом случае параметры N0, M и H связаны простым соотношением:

N0 = M ґ H, (2)

где N0 - общее число вычислительных экспериментов, при этом длина выборки из в точности равна H. Но в общем случае, когда M(j) = var, то и H(i,j) = var, и тогда формула (2) для одного критерия примет такой вид:

Для проведения однофакторного дисперсионного анализа [10] по всем параметрам для каждого критерия производится сортировка результатов вычислений, полученных при вычислениях в точках матрицы планируемых экспериментов. В результате сортировки для одного критерия будет получено J матриц, состоящих из элементов , а для K критериев будет получено J ґ K матриц, состоящих из элементов , где - номер критерия. Этот анализ позволяет принять (или отвергнуть) с требуемой вероятностью , где a - заданный уровень значимости, следующую нулевую гипотезу: средние значения не существенно (случайно) отличаются от общего среднего значения -го критерия . Если принят положительный ответ (гипотеза принята), то допускается на следующем этапе решения задачи несущественно влияющий параметр не варьировать, а зафиксировать одно из его значений, например, для такого i, где имеет наилучшее значение в смысле искомого экстремума.

В данной работе демонстрируется использование ПЛП-поиска в комбинации с ЛП-поиском для решения многокритериальной и многопараметрической задачи проектирования сложного технического устройства на примере тягового расчета двухцепного скребкового конвейера из [1]. Авторы [1] показали, как важен при тяговом расчете учет дополнительных сопротивлений, возникающих на криволинейном участке конвейера, по сравнению с расчетами конвейера как прямого, что следует из следующих результатов: необходимая мощность двигателя при расчете конвейера как прямого составит 42,5 кВт, в то время как для конвейера с начальным криволинейным участком длиной 166,5 м мощность составит 58 кВт, а при начальном прямолинейном участке длиной 166, 5 м мощность достигает значения 70,4 кВт. При этом максимальное натяжение цепи составит 28,7, 39,8 и 59,6 кН соответственно. Иначе говоря, неучет дополнительных сопротивлений на изогнутом участке конвейера может привести к преуменьшению максимального натяжения в цепном контуре более чем на 107.7% ((59.6 - 28.7) / 28.7) 1.077), а также к преуменьшению потребной мощности двигателя более, чем на 65% ((70.4 / 42.5) - 1) 0.66). Однако реальные условия залегания подземных пластов, содержащих полезные ископаемые, требуют использования конвейеров сложной конфигурации. Естественно, возникает задача рационального подбора такого сочетания (сочетаний) параметров, когда определяемые значения характеристик (критериев) работы конвейера наименьшим образом отклонялись бы от вышеприведенных значений в сопоставимой метрике.

Несколько слов об исследуемом конвейере. В подъемно-транспортном машиностроении широко применяют бесконечные (замкнутые) цепные органы в качестве тяговых (скребковые и пластинчатые конвейеры, элеваторы и др.). Эти органы приводятся в движение приводной звездочкой, на которую крутящий момент поступает от источника (например, электродвигателя). В горнодобывающей промышленности используются скребковые конвейеры, в которых груз (чаще всего, сыпучий материал) перемещается по неподвижному желобу волочением при помощи скребков, соединенных с движущейся цепью (тяговым органом). Процесс сплошного волочения основан на том, что сопротивление прохождения скребков сквозь сыпучий материал, помещенный в желоб с гладкими стенками, оказывается больше, чем сопротивление трения перемещаемого материала о дно и стенки желоба.

В данном исследовании для тягового расчета двухцепного скребкового конвейера ставится на вербальном уровне следующая задача: найти такую область варьируемых параметров j (j, где J - число варьируемых параметров), которая содержала бы наибольшее (концентрированное) количество (множество) вариантов конвейера, соответствующих минимуму потребной мощности электродвигателя, минимуму максимального натяжения в цепи и минимуму отношения максимального натяжения цепи к минимальному. стохастический однофакторный дисперсионный

Выполнение всех указанных условий обеспечивает возможность создания наиболее экономичных и долговечных вариантов рассматриваемого устройства.

Приведем описание процедуры тягового расчета, опираясь на упрощенную кинематическую схему конвейера ([1], рис. 6.8) и формализованную постановку решения задачи.

Задан вектор варьируемых параметров физический смысл и размерности составляющих которого следующие: 1 - угол наклона конвейера к горизонту, рад; 2 - шаг изгиба конвейера, м; 3 - длина кривой изгиба, м; 4 - длина прямолинейного участка, м; 5 - натяжение цепи в точке сбегания для ведущей звездочки с левой стороны (по ходу цепи) конвейера, Н; 6 - отношение натяжений цепи в точках сбегания ведущих звездочек с левой и правой стороны конвейера соответственно, и исходная область его допустимых значений (варьирования)

0.170 1 0.262; 1.6 2 1.8; 12.5 3 14.5;

0 4 167; 2800 5 3200; 0.95 6 1.05.

Задано лишь одно геометрическое ограничение (функциональное): общая длина конвейера (расстояние между осями тяговых и ведомых звездочек) 180 м. Сформулированы три критерия качества: - мощность двигателя (кВт), определяемая по формуле (6.31) из работы [1] (во всех расчетах скорость движения тягового органа принята v = 0.6 м/с., как в [1]), = Fmax - максимальное натяжение в цепных контурах данного варианта (Н) и = (Fmax / Fmin) - равнопрочность цепного контура в данном варианте. Как было сказано выше, искались области допустимых решений , где k = 1, 2, 3 (соответствующие минимумам этих критериев). В совокупности все описанное и определило математическую модель тягового расчета.

В последующих расчетах для сравнения эффективности найденных ПЛП-поиском различных подобластей использовалась идея об «идеальной» математической модели [4] и связанная с ней нормировка реальных критериев качества:

при . (3)

В этой формуле и - соответственно верхнее и нижнее допустимые значения k-го критерия, определяемые либо из физических соображений, либо из литературных источников, либо из данных вычислительного эксперимента. В настоящей работе в соответствии с результатами [1] и данными предварительного вычислительного эксперимента на математической модели были приняты такие значения для и : = (100; 100; 20) и = (10; 10; 5). В дальнейшем во всех вычислительных экспериментах эти величины не пришлось уточнять. Очевидно, что 0 1 и “идеальность” математической модели предполагает, что одновременно все = 1 (т.е., для “идеальной” модели что, безусловно, нереально). Но такая идея указывает направление поиска рациональных значений параметров в связи со сформулированными требованиями и отыскания, при необходимости, компромисса при выборе окончательного проектного решения.

По данным экспериментов были выделены три подобласти концентрации наилучших решений , и соответственно:

Конечно, все три выделенные подобласти входят в исходную область поиска решений . В каждой из указанных подобластей было проведено по N0 = 32 экспериментов (небольшая статистика) и рассмотрены несколько наилучших решений по каждому критерию. Из каждой подобласти выбрано по два лучших варианта, и результаты расчетов по этим вариантам помещены в таблице.

Таблица 1 - Наилучшие значения критериев по результатам экспериментов

Теперь проведем анализ вариантов, приведенных в этой таблице. Сравнивая по сформулированным критериям данные таблицы с вышеприведенными величинами из работы [1], мы видим, что и с учетом изгиба конвейера можно отыскать варианты, когда максимальное натяжение в цепи превышает аналогичную величину при расчете конвейера как прямого всего на 16.05% (вариант 3) и на 16.07% (вариант 4). В то же время в обоих этих вариантах максимальная потребная мощность электродвигателя больше аналогичной величины из работы [1] только на 15.75%. Сравнивая варианты по первому критерию (потребной мощности электродвигателя), видим, что из двух вариантов 1 и 2 максимальное превышение мощности по сравнению с аналогичной величиной из работы [1] составляет всего 15.73%, а для варианта 1 - 15.66%. При этом для рассматриваемых вариантов превышение максимального натяжения в цепном контуре практически такое же, как и для вариантов 3 и 4. Что касается результатов по третьему критерию, не сформулированному в [1] (варианты 5 и 6), то здесь чуть-чуть подрастают максимально возможные превышения потребной мощности электродвигателя (21.65%) и максимального натяжения в цепном контуре (22.66%). Разумеется, и в этом случае приведенные результаты не идут в никакое сравнение с приведенными выше результатами из работы [1] (в пользу первых).

Важно подчеркнуть, что конструктивные параметры во всех вариантах таблицы физически реализуемы.

Можно сделать следующие выводы:

- расчет конвейера как прямого дает наилучшие результаты по критериям и , а варианты таблицы дают наилучшее приближение к ним и это - следствие наличия ограничения на расположение и длину конвейера;

- каждая из подобластей , и позволяет получать неограниченное множество вариантов по каждому критерию, аналогичных вариантам из таблицы, что представляет богатый выбор вариантов при проектировании конвейера; однако, решение проблемы выбора единственного варианта из множества найденных (а такая проблема имеет практическое значение) требует привлечения методов теории принятия решений [3];

- если же для проектировщика первоначально все критерии равнозначны, то можно выбрать единственный вариант по максимуму при этом наилучший вариант будет находиться в подобласти, образованной комбинацией пересечений или объединений, или того и другого подобластей , и ;

- использование метода ПЛП-поиска позволяет все же, не прибегая к регулярным методам, найти просто области рациональных значений конструктивных параметров, дающих устойчиво решения, намного лучшие в сравнении с приведенными в третьем и четвертом столбцах таблицы (“крайние” варианты в сравнении с вариантом конвейера, рассчитанного как прямой).

Эффективность описанного подхода объясняется, с одной стороны, упорядоченным целенаправленным характером проведения вычислительных экспериментов, а с другой стороны, использование планирования экспериментов на ЭВМ обеспечивает широкое применение различных эвристических процедур исследования и анализа, в результате чего увеличивается интеллектуальная мощь лица, принимающего решение, особенно в диалоге с ЭВМ [8,9].

Литература

Давыдов, Б.Л. Статика и динамика машин [Текст]: монография / Давыдов Б.Л., Скородумов Б.А. - М.: Машиностроение, 1967. - 431 с.

Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений [Текст]: монография / Митропольский А.К. - М.: Наука, 1971. - 576 с.

Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения в многокритериальных задачах [Текст]: монография / Подиновский В.В., Ногин В.Д. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1982.- 256 с.

Сергеев, В.И. Об одном способе принятия решений в задачах со многими функциями цели [Текст] / Сергеев В.И., Статников Р.Б., Статников И.Н. // Решение задач машиноведения на ЭВМ. - М.: Наука, 1975.- С. 28 - 36.

Соболь, И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями [Текст]: монография / Соболь И.М., Статников Р.Б.. - М.: Дрофа, 2006. - 175 с.

Соболь, И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара [Текст]: монография / Соболь И.М. - М.: Наука, 1969. - 288 с.

Статников, И.Н. ПЛП-поиск - эвристический метод решения задач математического программирования [Текст]: монография / Статников И.Н., Андреенков Е.В.; под ред. И.Н. Статникова. - М.: МГУДТ, 2006. - 140 с.

Статников, И.Н. Об информационных технологиях в решении задач проектирования машин и механизмов [Текст] / Статников И.Н., Фирсов Г.И. // Известия Орловского государственного технического университета. Серия «Информационные Системы и Технологии». № 1(2). Информационные технологии в науке, образовании и производстве (ИТНОП). Материалы II международной научно-технической конференции (Орел, 25-26 мая 2006 г.). Том 2. - Орел: ОрелГТУ, 2006. - С. 208-212.

Статников, И.Н. Методы компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента в задачах многокритериального синтеза динамических систем машин [Текст] / Статников И.Н., Фирсов Г.И. // Известия Орловского государственного технического университета. Серия «Информационные Системы и Технологии». № 2(3). Информационные технологии в науке, образовании и производстве (ИТНОП). Материалы международной научно-технической конференции (Орел, 11-12 мая 2004г.). Том 2. - Орел: ОрелГТУ, 2004. - С. 60-64.

Шеффе, Г. Дисперсионный анализ [Текст]: монография / Шеффе Г. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1980. - 512 с.

Размещено на Allbest.ru