Заметка о необходимости создания инструментальных средств для решения дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАМЕТКА О НЕОБХОДИМОСТИ СОЗДАНИЯ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

уравнение дифференциальный решение

РАКОВ В.И., ВЕРСТАКОВА Е.П., ГЛЯНЦЕВ В.К.,

НЕСТЕРОВ Е.В., БЕЛКИН Н.Д.

Opportunities of the decision of the differential equations are researched

Численное решение дифференциальных уравнений (дифур) - это интерактивный процесс взаимодействия человека и ЦВМ или неформальных и формальных процедур по поиску аналитического описания интегральной кривой или собственно ее вида (графика, образа). Фактически это обусловлено отсутствием в каждом конкретном случае адекватного метода решения, аналитических описаний нелинейностей, входящих в структуру уравнения, и сведений о точности представления параметров уравнения (знаний о подходящей разрядной сетке представления чисел).

Традиционно процесс решения дифур сводится к применению или адаптации одного из известных методов [1-4]. При этом вся деятельность человека, которая предшествует подготовке уравнения к численному решению, остается уделом личностных пристрастий, привычек и опыта. Однако именно эта деятельность в конечном итоге и определяет успех в организации процессов решения. В связи с этим любые исследования, направленные на автоматизацию выполнения мероприятий такого подготовительного этапа, фактически являются достаточно актуальными.

В плане такого рассуждения понимаема потребность не только уточнения подготовительных мероприятий и вариантов последовательности их исполнения, но и некоторой унификации всего множества работ, предшествующих применению формального метода. В настоящей заметке сформулированы идеи и предложены простейшие программные модели, работа которых может склонить исследователей сделать их исходным материалом для создания инструментальных средств диалогового решения дифференциальных уравнений.

1 Исходные положения

Интерактивность современного численного метода предполагает визуализацию процесса и результатов, что само по себе определяет многообразие инструментальных средств демонстрационного характера (первую группу): отображение и ввод чисел, кривых, рисунков, графиков, таблиц, диаграмм, анимации, схем.

Не будет ошибкой считать, что задача по решению дифур - это задача прикладной математики, а само дифференциальное уравнение является континуальной математической моделью (какого-то явления объективной реальности). Тогда естественно полагать, что запись дифференциального уравнения может подвергаться изменениям (корректированию отдельных выражений дифур, замене вида нелинейных функций, полного изменения структуры) в связи с уточнением или детализацией представлений об описываемом явлении. Это дает основание предположить о необходимости второй группы интерактивных программных средств по оперативному заданию и изменению структуры дифур и его начальных условий.

Любой процесс решения дифференциального уравнения - это построение и реализация формулы прогноза. Поэтому, по-видимому, нельзя исключать из рассмотрения третью группу инструментальных средств построения структуры формулы прогноза и организации процесса использования этой формулы для построения точек интегральной кривой. Кроме того, не всегда в реальных условиях используется одна формула прогноза, что, естественно, требует инструментария по выбору формулы в соответствующие шаги построения интегральной кривой, а также наличия возможностей манипулирования формулами прогноза в зависимости от текущих (экспертных) оценок вида конструируемой интегральной кривой.

Еще одна группа инструментальных средств интерактивного решения дифур обусловлена, по нашему мнению, оценкой устойчивости и метода, и алгоритма. Здесь особенно интересны три фактора подобной оценки. Во-первых, построение «фундаментальной» последовательности интегральных кривых, указывающей на истинное решение (искомую интегральную кривую). Во-вторых, оценка чувствительности решения от изменения различных числовых параметров дифференциального уравнения, включая представление начальных условий. В-третьих, оценка изменения интегральной кривой при задании начальных значений, отличных от исходных, но принадлежащих интегральной кривой.

Пятая группа инструментальных средств связана с поиском наилучшего численного метода решения дифур. Эти непростые вопросы можно рассматривать с двух позиций: а) поиск из совокупности запрограммированных способов или формул прогноза; б) поиск из оперативно конструируемых формул прогноза, возможно для каждого шага (для каждой последующей вычисляемой (определяемой) точки интегральной кривой).

Наконец, последняя шестая группа инструментальных средств интерактивного решения дифур - это программы, обслуживающие собственно процесс решения: сохраняющие процесс решения с целью дальнейшего его возобновления; загружающие; помехозащищающие; формирующие разные документы и отчеты; осуществляющие откаты назад и вперед; осуществляющие разное графирование сведений, получаемых в процессе решения; моделирующие потоки исходных данных для получения серий интегральных кривых с определенными свойствами и т.д.

2 Первые пробы и первые впечатления от «игры с природой»

Для попытки успешного применения выбрано простейшее дифференциальное уравнение первого порядка и разработано несколько программных систем с соответствующими инструментальными средствами, обеспечивающими определенную автоматизацию процесса подготовки и решения дифференциального уравнения.

Реализация универсальной возможности изменения структуры дифференциального уравнения (см рис. 1) показала сомнительность унификации представления дифур посредством языкового формирования его структуры. В виду того, что исследователь практически всегда работает с определенным классом дифур и определенными классами нелинейных функций для них, по-видимому, адекватнее (удобнее, проще, легче, эффективнее) проводить задание структуры исходного дифференциального уравнения посредством заранее определенных операторов и операндов (см. рис. 2).

Тривиальное отображение интегральных кривых с различным шагом показало эффективность инструментальных средств задания шага (см. рис. 3), его изменения и вывода графического отображения интегральных кривых в одном масштабе и одном окне, поскольку дает исследователю возможность представить образ истинной интегральной кривой (как некий предел «фундаментальной» последовательности построенных интегральных кривых - см. рис. 4).

Надо отметить, что методом и соответствующим алгоритмом решения дифур являются такие методы и алгоритмы, которые обладают свойством устойчивости. Можно утверждать, что устойчивость метода (алгоритма) является квалификационным признаком того, что предложенные процедуры и являются методами и алгоритмами решения дифур. Реализация различных вариантов инструментальных средств оценки устойчивости привели к двум альтернативам: а) задание требуемого значения параметра, с которым необходимо решить дифур (построить интегральную кривую) (см. рис. 5); б) задание величины приращения параметра (см рис. 6).

Практика показывает высокую комфортность проведения процесса оценки устойчивости при задании величины приращения параметра и наличия «кнопки» моделирования дифур с новым значением параметра.

При изучении вопроса устойчивости немаловажным является общее представление того, насколько отличаются интегральные кривые, построенные по разным (начальным) точкам интегральной кривой (см. рис. 7). Поэтому инструментарий, обеспечивающий гибкое задание или смену начальной точки на сконструированной интегральной кривой, при знакомстве с ним проявляет себя крайне востребованно. Есть основания утверждать, что исследование устойчивости посредством задания серии начальных точек на сконструированной интегральной кривой позволяет реально охарактеризовать и численный метод и алгоритм.

Отмеченные выше положения безусловно значимы и полезны при организации процессов моделирования дифур. Однако трудно переоценить решение вопросов выбора наилучшего численного метода для решения конкретной задачи, в частности, исследования концептуальной математической модели. По-видимому, возможны разные подходы к исследованию задачи наилучшего метода. В конструктивном аспекте, несомненно, тривиальным, но, возможно, и наиболее практичным является путь решения одной или нескольких дифур одного «класса» разными методами и последующего выбора лучшего для решения остальных дифур этого «класса».

Вывод

Проблема автоматизации выполнения мероприятий по подготовке и проведению процессов моделирования дифференциальных уравнений и, в частности, задача создания инструментальных средств для решения дифференциальных уравнений заслуживает внимания.

Литература

1. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики. [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1966. - 724 с.

2. Хемминг, Р.В. Численные методы. [Текст] / Р.В. Хеммниг - М.: Наука, 1972. - 400с.

3. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). [Текст] / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 1973. - 632 с.

4. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики. [Текст] / Г.И. Марчук - М.: Наука, 1989. - 608 с.

Размещено на Allbest.ru