Использование обобщенного метода минимальных невязок для определения деформаций упругих элементов лепесткового газодинамического подшипника

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА МИНИМАЛЬНЫХ НЕВЯЗОК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕПЕСТКОВОГО ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА

уравнение линейный матрица разреженный

Федоров Д. И.

In this paper, iterative solver techniques belonging to the family of projection methods for solving the system of linear equations, Ax=b, are discussed. Specifically, we consider the Generalized Minimal Residual Method (GMRES), which can handle unsymmetric sparse matrices and application of this method for petal gas-dynamic bearing calculation

Подавляющее большинство численных методов решения задач механики, в том числе метод конечных разностей (МКР) [3], основаны на использовании матричных структур, и решение задачи в общем случае сводится к выполнению стандартных матричных операций. Основной особенностью, которой обладают матричные структуры сеточных методов, является их очень большая размерность. Большая размерность разрешающих систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) рассматриваемых краевых задач связана с желанием увеличить точность получаемых решений. Чем выше дискретизация задачи, тем выше размерность разрешающей СЛАУ, тем выше точность решения. Этап решения СЛАУ при расчете задачи на ЭВМ оказывается наиболее громоздким. Этот этап содержит большую часть всех затрат машинной памяти и времени, которые необходимы для решения задачи. Хорошо разработанный, эффективный алгоритм решения СЛАУ, адаптированный к особенностям конкретного численного метода, может в значительной степени облегчить решение конкретной задачи на ЭВМ.

Наиболее эффективными и устойчивыми среди итерационных методов решения больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами нерегулярной структуры являются так называемые проекционные методы [2,5], и особенно тот их класс, который связан с проектированием на подпространства Крылова. Эти методы обладают целым рядом достоинств: она устойчивы, допускают эффективное распараллеливание, работу с различными строчными (столбцовыми) форматами и предобуславливателями разных типов.

Основная идея, положенная в основу проекционных методов решения СЛАУ, заключается в следующем. Для системы и некоторых пространств и требуется найти такой вектор , который обеспечивал бы решение исходной системы, оптимальное относительно подпространства , то есть, чтобы выполнялось условие:

, (1)

называемое условием Петрова-Галеркина. Сгруппировав обе части равенства и заметив, что , это условие можно переписать в виде

, (2)

то есть . Такая задача называется задачей проектирования решения на подпространство ортогонально к подпространству . Введем в подпространствах и базисы и соответственно. При введении для базисов матричных обозначений и проведении некоторых преобразований можно получить формулу, в соответствии с которой должно уточняться приближенное решение задачи :

. (3)

В общем случае алгоритм любого метода проекционного класса включает следующие этапы:

- выбор подпространств и ;

- построение для и базиса;

- уточнение приближенного решения задачи по формуле (3).

При построении и реализации проекционных методов важную роль играют так называемые подпространства Крылова, часто выбираемые в качестве . Подпространством Крылова размерности , порожденным вектором и матрицей , называется линейное пространство

. (4)

В качестве вектора обычно выбирается невязка начального приближения , тогда выбор подпространства и способ построения базисов подпространств полностью определяет вычислительную схему метода.

Основными проекционными методами крыловского типа являются:

- метод сопряженных градиентов (CG);

- обобщенный метод минимальных невязок (GMRES);

- квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS);

- метод квазиминимальных невязок (TFQMR);

- метод бисопряженного градиента со стабилизацией (BiCGStab).

Автором использовался обобщенный метод минимальных невязок для решения СЛАУ, сформированной в процессе решения системы дифференциальных уравнений (5), описывающей деформации тонкостенной цилиндрической оболочки [4], методом конечных разностей. Данная задача возникла в процессе разработки программы расчета лепестковых газодинамических подшипников в рамках создания программного комплекса «Подшипники скольжения». Конструкция данного типа подшипниковых узлов предусматривает наличие упругих элементов, деформации которых описываются системой (5).

, (5)

где - нормальное контактное усилие (давление), - касательное контактное усилие.

В результате замены производных, входящих в уравнения системы (5), их конечно-разностными аналогами формируется СЛАУ с сильно разреженной несимметричной матрицей. Решение подобных систем уравнений с помощью таких традиционно применяемых методов, как метод Гаусса, Зейделя или методы прогонки малоэффективно, зачастую с помощью этих методов не удается получить хоть сколько-нибудь точное решение. Поэтому для решения данной задачи был использован один из методов крыловского типа - обобщенный метод минимальных невязок.

Блок-схема алгоритма данного метода представлена на рисунке 1. На входе алгоритма должны быть заданы матрица коэффициентов и вектор свободных членов СЛАУ, приближенное начальное решение , допустимое количество итераций и величина конечной невязки . Для определения , при котором минимизируется значение выражения , используется метод наименьших квадратов.

Рисунок 1 - Блок-схема алгоритма обобщенного метода минимальных невязок

Достоинством метода является лучшая сходимость в некоторых сложных задачах, чем у других методов (например, QMR), вместе с тем, по сравнению с тем же QMR, алгоритм выглядит более трудоемким. В отличие от случая с симметричной положительно определенной матрицей, при несимметричной матрице A невозможно построить ортогональный базис с использованием коротких рекуррентных соотношений. Алгоритм QMR использует короткие рекуррентные соотношения для построения биортогонального базиса - вместо ортогонального, в результате стоимость одной итерации алгоритма остается постоянной, но в ряде случаев ухудшается сходимость. В методе GMRES выбран противоположный подход - каждый новый вектор ортогонализируется по отношению к предыдущим при помощи процесса Грама-Шмидта (Арнольди). Это дает нам лучшую сходимость, однако стоимость отдельной итерации линейно растет с её номером, а общая трудоемкость алгоритма растет пропорционально квадрату числа итераций. Чтобы избежать этого, метод GMRES перезапускают после нескольких итераций, при этом GMRES(m) обозначает, что алгоритм перезапускают после каждых m итераций и после обновления решения по формуле (3) оно принимается за новое начальное приближение, после чего процесс повторяется. Такое обновление после построения m базисных векторов и нахождения коэффициентов их комбинирования называется GMRES-циклом, тогда как построение одного очередного базисного вектора считается GMRES-итерацией.

Определенные сложности возникают при выборе правильного значения m: слишком малое значение приведет к медленной сходимости (с точки зрения числа итераций) или отсутствию сходимости вообще, слишком большое m приведет к быстрой сходимости с точки зрения числа итераций, но эти итерации будут стоить слишком дорого. Обычно m выбирают исходя из доступного объема оперативной памяти.

Достоинства обобщенного метода минимальных невязок: а) решение СЛАУ с несимметричной матрицей коэффициентов; б) возможность решения СЛАУ с прямоугольной матрицей; в) лучшая сходимость по сравнению с другими методами; г) возможность представления матрицы в сжатой форме (хранение только ненулевых элементов), так как в процессе решения используется лишь операция умножения матрицы на вектор; д) возможность параллельных вычислений.

Единственным недостатком метода является то, что для расчетов необходим достаточно большой объем оперативной памяти ЭВМ.

Поскольку решение СЛАУ является стандартным этапом численного моделирования, для его реализации разработано большое количество программного обеспечения, большинство из которого является бесплатным и ведет свою историю еще от появления первых электронно-вычислительных машин. Информация о пакетах программ для решения СЛАУ проекционными методами, доступных в сети Internet, представлена в таблице 1. Автором также была разработана и использована в процессе решения системы (5) программная реализация обобщенного метода минимальных невязок на языке программирования С++.

Таблица 1 - Пакеты программ для решения СЛАУ проекционными методами

В статье были рассмотрены вопросы практического применения обобщенного метода минимальных невязок для решения СЛАУ, его достоинства и недостатки, представлен алгоритм. GMRES - метод, сочетающий скорость, сходимость и точность результата. Он является наиболее оптимальным для решения СЛАУ с большой разреженной несимметричной матрицей.

Литература

1. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров [Текст]: учеб. пособие / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова. - М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

2. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности [Текст] / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.- 70 с.

3. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов [Текст] / В. М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2005. - 458 с.

4. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки [Текст] / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер; под ред. И. К. Снитко. - М.:Наука, 1966 г. - 636 p.

5. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear System [Text] / Y. Saad - PWS Publishing Company, 2000. - 447 p.

Размещено на Allbest.ru