Методы компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента в задачах многокритериального синтеза динамических систем машин

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Методы компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента в задачах многокритериального синтеза динамических систем машин

Статников И.Н.

Развитие современных информационных технологий приводит к драматическим противоречиям между объемами получаемой информации (в любой области знания) и возможностями усвоения ее и интерпретации специалистами. Немаловажную роль в уменьшении остроты этих противоречий в технике играют САПР и экспертные системы, аккумулирующие в себе уже достигнутые фундаментальные знания в данной конкретной области и, что весьма существенно, способные к обновлению знаний. Так, одной из основных процедур, реализуемых САПР в машиностроении и приборостроении, является выбор вариантов проектируемых объектов по многим критериям качества, с учетом динамических явлений, сопровождающих функционирование проектируемого изделия на всех этапах его жизненного цикла. Общепризнанным является факт, что разработки объектов и систем объектов без использования САПР (в широком смысле слова) являются неконкурентоспособными как вследствие больших материальных затрат и временных затрат, так и из-за невысокого качества проектов [1]. Но очевидным стало и то обстоятельство, что эффективность проектного решения в машиностроении и приборостроении может быть обеспечена при комплексном подходе: наличие достоверного эмпирического материала, тщательный анализ динамики проектируемого устройства, идеология многокритериального синтеза [2]. Такой подход, благодаря постоянному развитию методов математического моделирования и одновременно с этим развитию и совершенствованию ЭВМ, ныне практически реализуется в большинстве САПР, предлагаемых на рынке.

Математическое моделирование и ЭВМ в совокупности приводят к осознанию значения вычислительного эксперимента в теоретических и прикладных науках [3]. Возникают проблемы рационального проведения вычислительных экспериментов (минимизация числа экспериментов на ЭВМ при максимизации их информативности). Тем более велика значимость этих проблем, так как подсистема, реализующая проведение вычислительных экспериментов на математических моделях проектируемых устройств, является важной, если не наиважнейшей с точки зрения конечного результата.

Общим для проектирования машин и механизмов является то, что они относительно просто поддаются математической формализации как задачи нелинейной (в общем случае) оптимизации: для заданной математической модели требуется подобрать такие значения варьируемых параметров, чтобы они обеспечивали получение экстремальных величин одного или нескольких критериев качества. Значит, приходится иметь дело с задачами многопараметрической и многокритериальной оптимизации [4].

Среди численных методов поиска оптимальных решений (а именно эти методы в абсолютном большинстве используются для решения практических задач) очевидно не существует универсального, пригодного для решения любой задачи нелинейной оптимизации. Поэтому естественным для разработчиков методов является обращение к вероятностным и статистическим интерпретациям решаемой задачи, в частности, к методу Монте-Карло. Однако при вероятностном и статистическом подходе к решению задачи проектирования возникает важная проблема: обилие информации требует умения ее преобразовывать в характеристики, зависящих и определяющих одновременно свойства проектируемого объекта, а не только отыскивать экстремумы заданных критериев качества.

Одним из таких методов, позволяющих рационализировать проведение вычислительных экспериментов как в системах автоматизированного проектирования (диалог человека и ЭВМ), так и при автоматическом проектировании (без участия человека на промежуточных этапах), представляется планируемый ЛП-поиск (ПЛП-поиск) [5], который реализует эту потребность благодаря одновременной реализации в нем идеи дискретного квазиравномерного по вероятности зондирования J - мерного пространства варьируемых параметров aj (j = 1,…,J) и методологии планируемого математического эксперимента. Сочетание таких идей в алгоритме ПЛП-поиска позволило, с одной стороны, осуществлять глобальный квазиравномерный просмотр заданной области варьируемых параметров, а, с другой стороны, применить многие формальные оценки из математической статистики.

Рассмотрим кратко сущность ПЛП-поиска. В основание метода положена рандомизация расположения векторов в области , задаваемой неравенствами типа (, а само J - число варьируемых параметров; ) и рассчитываемых с помощью ЛП-сеток [4]. На сегодняшний день в ПЛП-поиске используются величины J 51 и N < 220.

Процесс рандомизации расположения векторов в области состоит в случайном смешении уровней параметров ijhk тем или иным способом, где - номер уровня, а M(j) - число уровней варьируемого j-ro параметра по k-му критерию; , а Hijk - число значений k - го критерия на i-м уровне j-го параметра; - номер критерия, где К -количество критериев качества. В результате обработки всех N вычислительных экспериментов, проведенных на математической модели, появляются выборочные множества значений , где - среднее значение k-го критерия качеств в i-м сечении j-го варьируемого параметра. Естественно рассматривать множество значений как аналог чувствительности в среднем критерия к изменениям параметра j при возможных сочетаниях значений других варьируемых параметров в заданной области .

Анализ графических зависимостей от ij позволяет визуально (конечно, приближенно) выделять области , концентрированно содержащие наилучшие результаты по , и одновременно, область , в которой сконцентрировано множество Парето-решений, либо компромиссных решений, если задана какая-либо схема компромисса. Разумеется, такой анализ подается и автоматизации, что требует дополнительной программной реализации. На сегодняшний день все алгоритмы ПЛП - поиска реализованы в пакете MATLAB.

Наличие графических зависимостей , а также возможность определения влияющих параметров на критерии качества с требуемой доверительной вероятностью, в значительной мере решают проблему интегрирования огромной численной информации, полученной в эксперименте, в ясные и поддающиеся логическому анализу (вплоть до "здравого смысла") характеристики.

Для использования ПЛП-поиска характерна следующая постановка задачи проектирования. 3адана математическая модель проектируемого устройства в виде

математический эксперимент интегрирование

(1)

(2)

где L - оператор, воздействующий на систему уравнений (1) (линейный или нелинейный); - вектор фазовых координат системы; - вектор функциональных ограничений на параметры и поведение системы; - вектор коэффициентов системы (1), соответствующий, соответствующий определенным конструктивным параметрам; - область допустимых значений параметров в виде J -мерного параллелепипеда

(3)

где и - соответственно нижние и верхние граничные значения j-го параметра. И, наконец, задана система критериев качества (в явном или неявном виде)

(4)

характеризующая технико-экономические свойства проектируемого изделия.

В результате использования ПЛП-поиска для решения задачи проектирования в постановке (1) - (4) возможно получение одновременно следующих результатов:

1) определение существенных параметров в смысле их влияния на значения каждого критерия ;

2) выделение областей концентрации наилучших решений по каждому критерию при заданной метрике где - экстремальное значение k-го критерия качества, заранее известное или определяемое по ходу проведения вычислительных экспериментов;

3) построение на основе определенных существенных параметров и выделенных подобластей регрессионных зависимостей;

4) выделение в K-мерном пространстве критериев множества с высокой концентрацией точек Парето (или, если возможно, построение поверхности Парето); в случае задания какой-либо схемы компромисса - выделение подобласти содержащую наибольшую концентрацию требуемых компромиссных решений.

Рисунок 1 - Построение множества компромиссных решений.

В качестве примера рассмотрим задачу выбора оптимальных параметров виброзащитного покрытия ткацкого станка [6]. Качество этого покрытия оценивалось двумя критериями: функцией характеризующей уровень шумов станка, и функцией определяющей расход виброизолирующего материала. В обеих функциях - вектор коэффициентов внутренних потерь j (j = 1, ..., 6). Стояла задача минимизации обоих критериев. Однако с самого начала из физического смысла было ясно, что оба критерия - и - противоречивы в смысле влияния на них коэффициентов j: смещение в сторону больших значений j приводит к уменьшению и росту и наоборот. Необходимо было отыскать компромиссное решение. В такой постановке задача решалась на основе выделения в "пространстве параметров j областей концентрации наилучших решений по каждому критерию методом ПЛП-поиска. Результаты поиска компромиссного, решения оценивались следующим образом. Были введены безразмерные критерии и , полученные по. формуле

так, что 0 1 2 1: Далее сравнивались количества N1 вариантов виброзащитного покрытия, у которых и одновременно больше некоторой константы, задаваемой ЛПР,. для двух случаев: при слепом поиске в исходной области параметров j и в выделенной при одинаково затраченном общем числе N = 1024 испытаний на ЭВМ. Результаты приведены на рис. 1, где кривая 1 соответствует выделенной области, а кривая 2 - исходной области. Как видно из рисунка, в выделенной области сконцентрировано множество компромиссных решений, у которых одновременно и достигают максимального значения (в этом и выражается стремление заказчика при выборе вариант покрытий). Более того, можно утверждать с-вероятностью, не меньшей 0,95, что выделенная область является областью Парето [4, 5] (или почти достоверно содержит ее), поскольку не удалось найти ни одного варианта, у которого бы достижение значения 1 0,9 не сопровождалось одновременно уменьшением значения 2 (и наоборот). Этот вывод подтверждается и тем, что при проведении контрольных испытаний в выделенной области (N = 200):были достигнуты следующие средние значения по 1 и 2 с соответствующими стандартными отклонениями: 0,843 0,047. и 0,715 0,075.

Таким образом, метод ПЛП-поиска не только позволяет на основе проведения имитационных модельных экспериментов осуществить квазиравномерный просмотр пространства параметров в заданных диапазонах их изменения, но и в результате специального рандомизированного характера планирования этих экспериментов применить количественные статистические оценки влияния изменения варьируемых параметров и их парных сочетаний на анализируемые свойства рассматриваемой динамической системы.

Литература

1. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: - М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 336 с.

2. Пупков К.А., Коньков В.Г. Интеллектуальные системы. Исследование и создание. - М,: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 348 с.

3. Попов Ю.И., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. - М.: Знание, 1983. - 64с.

4. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах проектирования со многими критериями. - М.: Наука, 1981. - 110с.

5. Статников И.Н. О структурировании пространства исследуемых параметров в задачах проектирования машин и механизмов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000, № 5, с.11-17.

6. Поболь О. И., Статников И. И., Фирсов Г. И., Чернявский И. Т. О решении двухкритериальной задачи оптимального проектирования системы вибропоглощения ткацкого станка // Методы решения задач машиноведения на вычислительных машинах. М. Наука. 1979. С.62-68.

Размещено на Allbest.ru