Исследование модели боевых действий двух армий

4. Руководитель практики от выпускающей кафедры: к.т.н., доцент Черушева Т. В.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Существующие модели боевых действий

1.1. Классификация

1.2. Теоретико-игровые модели военных действий

1.3. Модели Осипова-Ланчестера

1.3.1.Модель высокоорганизованного боя в динамике средних

2. Практическая часть

Заключение

Список используемых источников

Введение

Подсчитано, что за последние 3400 лет человечество прожило в мире только 268, т. е. около 8% своей письменной истории. Всего за всю человеческую историю жертвами войны по разным оценкам стали от 150 миллионов до полумиллиарда человек. Из них 108 миллионов стали жертвами войн 20 века. Подобный рост смертоносности боевых действий положил начало развитию математического моделирование боевых столкновений.

Моделирование боевых и военных действий является важнейшей научной и практической задачей, направленной на предоставление командованию количественных оснований для принятия решений. Первые модели боя были разработаны в годы первой мировой войны Михаилом Павловичем Осиповым и Фредериком Уильямом Ланчестером, а затем были развиты в работах Алексеева, Анисимовых, Митюкова, Чуева и многих других.

Существенной особенностью процессов вооруженной борьбы является невозможность однозначно предсказать ход и исход борьбы на основе имеющейся априори информации. Несмотря на то, что боевые действия подчиняются определенным объективным законам, количество факторов, влияющих на процесс боевых действий огромно, а потому в каждом конкретном бою или операции эти законы проявляются через множество неопределенностей.

Сегодня в локальных войнах и вооруженных конфликтах применяются образцы вооружения, обладающие как классическими функциями разведки, управления, огневого поражения, связи, радиоэлектронного подавления, психического воздействия, радиационного, химического и биологического воздействия, имитации обстановки и другие виды вооружения, способные повлиять на исход боя. Однако системно эти функции образцов вооружения в существующих моделях боя не учитываются, что значительно снижает адекватность результатов планирования боевых действий.

1. Существующие модели боевых действий

1.1 Классификация

Условно можно выделить четыре общих класса математических моделей военных действий (основанием выделения являются функции моделирования[1]):

· описательные модели;

· имитационные модели;

· оптимизационные модели;

· модели принятия решений.

Каждый из этих классов включает множество подклассов, различающихся используемым математическим аппаратом (рисунок 1).

Так, описательные модели военных действий основываются на методах теории вероятностей и статистической теории решений (принятие решений в условиях «природной» неопределенности) [2] теории надежноститеории экспертных оценок [3] и теории массового обслуживания [4]. К описательным моделям можно отнести и качественный анализ соответствующих динамических систем, исследование их структурной устойчивости.

Имитационные модели военных действий основываются на аппарате марковских цепей[5], дифференциальных уравнений, конечных автоматов или методах распределенного искусственного интеллекта (так называемые мультиагентные системы - МАС).

Наиболее известными и получившими широкое развитие являются так называемые ланчестеровские модели, использующие аппарат дифференциальных уравнений для описания динамики численности сил участников военных конфликтов.

Значительное место занимают так называемые военные игры (деловые, имитационные), основывающиеся на тех или иных математических моделях [6, 7]. На сегодняшний день создаются и эксплуатируются многочисленные компьютерные системы (включая среды имитационного моделирования и специальные языки - например, Battle Management Language и т.п.) и имитационные модели (включая элементы систем поддержки принятия решений (СППР)) по управлению военными действиями - в авиации [8], на флоте [7].

Оптимизационные модели военных действий используют аппарат линейного и динамического программирования, теории оптимального управления, дискретной оптимизации (включая теорию графов и методы календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) применительно к планированию боевых действий и управлению войсками [3]) и отчасти теории массового обслуживания и теории управления запасами [3].

Модели принятия решений можно условно разделить на модели индивидуального и коллективного принятия решений. В первых основной акцент обычно делается на многокритериальное принятие решений [9], во-вторых - на использование теории игр (принятие решений в условиях игровой неопределенности). Теоретико-игровые модели военных действий более подробно рассматриваются ниже.

1.2. Теоретико-игровые модели военных действий

Многие авторы ограничиваются, в основном, рассмотрением антагонистических игр. Классическая теория игр (некооперативные, в первую очередь - биматричные игры) используется в приложении к задачам организации, планирования и проведения военных операций, выбора оптимальных группировок вооруженных сил и систем вооружения. Сюда же следует отнести:

· задачу распределения ограниченных ресурсов обороны и нападения (обобщенное название - игра полковника Блотто, рассматриваемая более подробно в разделе 1.3), в том числе - с разведкой (игра в развернутой форме сводится к матричной игре [10]);

· игры типа дуэлей (выбор оптимальных моментов или оптимальных дистанций открытия огня) [10];

· «политологические» модели анализа причин войн;

Рисунок 1 - Классификация математических моделей боевых действий

Вторым обширным классом теоретико-игровых моделей, нашедших широкое применение в военном деле, являются дифференциальные игры и игры поиска [2], включая современные задачи управления движением в конфликтной среде.

Задачи поиска подвижного объекта, активно противодействующего обнаружению поисковой системой, получили название «поиск в условиях конфликта». Можно выделить две основные группы постановок задач, в зависимости от характера противодействия:

· поиск истинной цели в наблюдаемом составе группы целей, включающей ложные цели; идеологически эти задачи близки к задачам о распределении ресурсов, и, в частности, к задаче о коммивояжере;

· поиск цели при подавленном канале наблюдений.

Задачи второй группы формулируются как дифференциальные игры в смешанных стратегиях с критерием «вероятность обнаружения». Конструктивных решений на сегодняшний день немного; они получены для случаев, когда удается свести дифференциальную игру к игре на компакте (см. [1] и источники оттуда).

Другие «неклассические» разделы теории игр также имеют отдельные (далеко не массовые) примеры приложений в моделировании военных действий и принятии решений по управлению силами и средствами в военных конфликтах:

· иерархические игры, включая динамические иерархические игры;

· модели коллективного поведения;

· повторяющиеся игры и игры в развернутой форме;

· рефлексивные игры и метаигры [11] для моделирования принятия стратегических и оперативных военных решений;

· игры на сетях и сетевые игры

· алгоритмическая (вычислительная) теория игр

· поведенческая теория игр (экспериментальная экономика)

· когнитивные игры, позволяющие осуществлять прогноз стратегического взаимодействия факторов и субъектов

Эмпирической основой теоретико-игрового моделирования обычно являются стратагемы и их рефлексивный анализ [12]. При этом очень популярен опыт Древнего Китая и Древнего Рима, а также история европейских войн.

Далее приведен краткий обзор результатов построения и исследования ланчестеровской модели.

1.3. Модели Осипова-Ланчестера

Общеизвестными и получившими широкое развитие являются так называемые модели Осипова или, в англоязычных источниках, Ланчестера, использующие аппарат дифференциальных уравнений для описания динамики численности сил участников военных конфликтов.

Пусть имеются две противоборствующие стороны. Обозначим через x(t) (y(t)) численность войск первой (второй) стороны в момент времени t 0. Начальные условия (численности в нулевой момент времени) - x₀ и y₀ соответственно. Скорость изменения численности войск каждой из сторон определяется тремя факторами:

- операционными потерями (пропорциональными численности своих войск);

- боевыми потерями (пропорциональными численности войск противника или произведению численностей войск обеих сторон);

- вводом резервов (выводом в резерв).

Обычное сражение описывается следующей системой дифференциальных уравнений (слагаемые соответствуют вышеперечисленным факторам):

(1)

где a, b, c и d - положительные константы; и - функции ввода резервов. Аналогично описывается партизанская война (многие современные войны приобрели иррегулярный «партизанский» характер):

где g иh- положительные константы, и смешанная война:

Модели отличаются учетом боевых потерь. Предполагается, что в обычном сражении каждая сторона в единицу времени поражает число противников, пропорциональное своей численности - коэффициенты b и c, называемые коэффициентами боевой эффективности, могут измеряться как число выстрелов, производимое одним сражающимся в единицу времени, умноженное на вероятность поражения одним выстрелом одного противника (именно такую модель первоначально и предложил Ф. Ланчестер).

Другой тип сражения - «партизанский», или «стрельбы по площадям», когда потери противника зависят как от интенсивности огня, так и от концентрации его войск, что отражается «смешанными» слагаемыми, пропорциональными x(t)y(t). Существует и другая (так называемая дуэльная) интерпретация модели. в соответствии с которой сражение рассматривается как война в древнем мире - набор индивидуальных попарных поединков между воинами (в условиях невозможности локализации и концентрации поражающих факторов). Можно говорить не о типах сражений, а о типах ведения огня:

1. Прицельный огонь по рассредоточенным целям.

2. Прицельный огонь по сосредоточенным целям.

3. Стрельба по площадям.

Отметим, что возможно рассмотрение более общих моделей, т.е. таких, в которых скорости изменения численностей пропорциональны произведению численностей, возведенных в определенные степени (эти степени могут быть и дробными - так называемые фрактальные модели Ланчестера).

Следует подчеркнуть, что разновидностей моделей Ланчестера великое множество. Выше речь идет только о традиционном оружии (боевых единицах с низкой вероятностью поражения в отдельном выстреле): применение современного высокоточного оружия, разведывательно-огневых и разведывательно-ударных комплексов описывают другими моделями.

Самым простым (ставшим хрестоматийным) случаем является случай отсутствия операционных потерь и резервов, когда (1) превращается в

(2)

Решением системы является так называемая квадратичная модель динамики численности войск:

1.3.1. Модель высокоорганизованного боя в динамике средних

Две группировки А и Б ведут бой. В составе группировок А и Б и боевых единиц со скорострельностями и и вероятностями поражения цели при одном выстреле и соответственно. Каждая группировка однородна, но не обязательно группировки однородны между собой. Например, бой танков с танками, танков с противотанковыми средствами, истребителей с бомбардировщиками и т.д.

Высокоорганизованным боем называют бой с полной информацией, а именно:

· любая боевая единица одной стороны, пока она не поражена, может вести огонь по любой непораженной боевой единице другой стороны;

· разведка, связь и управление идеальны, то есть перенос огня каждого средства на новую цель происходит мгновенно после поражения предыдущей цели;

· пораженная боевая единица в дальнейших действиях не участвует, то есть за время боя не восстанавливается, пополнения сторон нет;

· временем полета носителя заряда пренебрегаем;

· перенос огня не влияет на скорострельность и вероятность поражения;

· количество боеприпасов неограниченно;

· противоборствующие группировки достаточно многочисленны (это необходимое допущение будет обосновано при моделировании).

При этих допущениях процесс динамики боя двух группировок может рассматриваться как случайный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, для которого могут быть получены уравнения динамики средних, позволяющие определить для любого момента времени средние численности сторон.Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода системы в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние[5].

Модель высокоорганизованного боя прогнозирует количество пораженных и непораженных боевых единиц каждой группировки на любой момент времени.

Опишем состояние отдельной боевой единицы. Каждая единица противоборствующих сторон А и Б может находится в двух состояний соответственно:
1)
2)

Графы состояний для каждой группировки элементарны

Рисунок 2 - граф состояний противоборствующих сторон

Интенсивность - интенсивность потока поражающих выстрелов стороны Б, приходящихся на одну боевую единицу стороны А, то есть переводящих ее из состояния в состояние ; аналогично для Очевидно, что для начального состояния ():

Зависимость и от случайных значений и делает аналитическое решение задачи практически невозможным. Поэтому, используя принцип квазирегулярности, заменим и их математическими ожиданиями и Заметим, что и являются целью моделирования.

После замены выражения для и принимают вид:

Запишем уравнения динамики средних для состояний и :

Для состояний и уравнения не нужны, так как средние численности этих состояний и однозначно связаны с и :

После очевидного упрощения уравнения динамики средних принимают вид:

Полученную систему уравнений обычно называют уравнениями динамики боя, уравнениями Осипова-Ланчестера.

Решим уравнений динамики средних. Искомые численности сторон и находятся интегрированием системы уравнений динамики средних при начальных условиях: Решение имеет вид:

(1)

Для лучшей обозримости введем обозначения:

-эффективная скорострельность стороны А;

-эффективная скорострельность стороны Б.

Эффективные скорострельности характеризуют плотности потоков успешных выстрелов соответствующей стороны.

- доля боеспособных единиц стороны А;

- доля боеспособных единиц стороны Б;

- коэффициент преимущества стороны А над стороной Б;

- приведенное время.

С учетом этих обозначений решение модели высокоорганизованного боя выглядит так:

2. Практическая часть

Применим модель высокоорганизованного боя к результатам реальных сражений

Таблица 1 - характеристики сражений

и -- численность сражавшихся сторон, тыс. чел.; и -- потери убитыми и ранеными, тыс. чел.

Исходя из цифр потерь при Аустерлице, делаем вывод, что эффективная скорострельность французской армии в 2,208 раз выше.Рассмотрим модель аустерлицкого сражения в случае, если бы оно шло до полного поражения одной из сторон.

Рисунок 3 - исходные данные Аустерлицкого сражения

Рассчитаем мат. ожидание количества боеспособных единицпервой армии и второй армии по формуле (1).

Рисунок 4 - диаграмма Аустерлицкого сражения

Как видно из графика при подобной динамике боя армию союзников ждало поражение, вне зависимости от действий.Рассмотрим другие сражения.

Как видно по результатам моделирования (рисунок 5), отступление русской армии в бородинском сражении и капитуляция французов в битве на реке Березине являются закономерными итогами.

Однако, результаты ляоянского и мукденского сражений русско-японской войны, напротив, противоречат результатам моделирования (рисунок 6). Несмотря на превосходство русской армии при Ляояне и Мукдене, российская армия проиграла в каждом из сражений.

Рисунок 5 - диаграмма Бородинского сражения и сражения на Березине

Рисунок 6 - диаграмма Ляоянского и Мукденского сражения

Как видно на диаграмме, и в Ляоянском и в Мукденском сражении у русской армии было превосходство, но в действительности русская армия проиграла оба сражения, несмотря на меньшие потери. Сражение при Мукдене же полностью сломило наступательную мощь японской армии, потерявшей более 70 тыс. солдат в одном сражении. Очевидно, что причина подобной ошибки в результатах моделирования - неучтенные в модели факторы, помимо численности и эффективной скорострельности войска.

Раннее были рассмотрены пехотные сражения, рассмотрим, как модель высокоорганизованного боя ведет себя при моделировании танкового боя на примере сражения под Прохоровкой.

Заключение

Рассмотренная в работе модель высокоорганизованного боя основана на уравнениях Осипова-Ланчестера, которые легли в основу моделирования военных конфликтов. Полученная модель, основанная на «подгонке» результатов под ограниченный набор статистических данных, не предусматривает такие значимые факторы как моральный дух войска, искусство полководца, особенностей рельефа и неоднородность войска. Вместе с прочими допущениями это приводит к ошибочным результатам моделирования.

В настоящее время моделирование военных конфликтов активно развивается, учитывая все новые и новые факторы. Уравнения Ланчестера послужили отправной точкой для создания большинства моделей военных конфликтов.

уравнение модель высокоорганизованный бой

Список литературы

1.Новиков А.М., Новиков Д.А. Методология. - М.: Синтег, 2007. - 668 с

2.Чуев Ю.В. Исследование операций в военном деле. - М.: Воениздат, 1970. - 256 с.

3.Тараканов К.В. Математика и вооруженная борьба. - М.: Воениздат, 1974. - 250 с.

4.Ткаченко П.Н. и др. Математические модели боевых действий. - М.: Советское радио, 1969. - 240 с.

5.Алексеев О.Г., Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г. Марковские модели боя. Министерство обороны СССР, 1985, 85 с. - 85 с.

6.Roberson B. The Colonel Blotto Game // Economic Theory. 2006. Vol. 29. P. 1 - 24.

7.Гаррет Р., Лондон Д. Основы анализа операций на море. - М.: Воениздат, 1974. - 270 с.

8.Паньковский Ю.И., Бобин А.В., Слатин А.В. Технология построения имитационной математической модели воспроизведения хода боевых действий // Труды конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика». - Т. 1.- СПб.: СПИИРАН, 2011. - С. 229-233

9.Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. - М.: Советское радио, 1964. - 388 с.

10.Дрешер М. Стратегические игры. Теория и приложения. - М.: Советское радио, 1964. - 353 с.

11.Корепанов В.О., Новиков Д.А. Задача о диффузной бомбе // Проблемы управления. - 2011. - №5. - С. 66-73.

12.Воеводин А.И. Стратагемы - стратегии войны, манипуляции, обмана. - М.: Белые Альвы, 2002. - 256 с.

13.Borel E. La thйorie du jeu les йquations intйgrales б noyau symйtrique // Comptes Rendus de l'Acadйmie. - 1921. - Vol. 173. - P. 1304-1308

14.Gross O.,Wagner R. A Continuous Colonel Blotto Game / RAND Corporation RM-408, 1950. - 13p

Размещено на Allbest.ru