Курьезы, софизмы и парадоксы в математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

МИНИСТЕРСТВО СПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное БЮДЖЕТНОЕ учреждение

профессиональнАЯ образоваТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«БрянскОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧИЛИЩЕ (КОЛЛЕДЖ)

ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА»

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ

Курьезы, софизмы и парадоксы в математике

Дисциплина - Математика

Специальность Самбо - физическая культура

Луцакова Александра Владимировича

Руководитель проекта:

ХодотоваМ.И.

Председатель ПЦК:

Моисеев А.Н.

Брянск 2020



ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Определение понятий «софизм», «парадокс» и «курьез»

Глава 2. История софизмов и парадоксов

Глава 3. Классификация математических Софизмов

Глава 4. Математические курьезы

Глава 5. Парадоксы

Вывод

Список использованной литературы



ВВЕДЕНИЕ

Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» - каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Относятся все ли эти случаи к чистой или прикладной математике, решить трудно. С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать чистой математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой стороны, она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре.

Вероятно, такая потребность в игре лежит в основе даже чистой математики. Не так уж велико различие между восторгом неофита, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истинной красоты - того ясного, ч?тко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явления. Не удивительно, потому что чистую математику порой трудно отличить от занимательной. Так, в топологии проблема четыр?х красок, несмотря на свою важность, вс? еще оста?тсянереш?нной, хотя ей посвящена не одна страница во многих книгах по занимательной математике. Никто не станет отрицать, что флексагоны - игрушки весьма занимательные, тем не менее анализ их структуры очень скоро упирается в необходимость использования высших разделов теории групп, и статьи о флексатонах можно встретить на страницах многих сугубо специальных математических журналов. Математики творческого склада обычно не стыдятся своего интереса к занимательным задачам и головоломкам.

В конце концов, что такое математика, как не систематические попытки найти все лучшие и лучшие ответы на те головоломки, которые ставит перед нами природа?

В истории развития математики софизмы, курьезы и парадоксы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов, курьезов и парадоксов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов, курьезов и парадоксов известно очень давно, их можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение. Применение софизмов, курьезов и парадоксов на уроках математики могли бы помочь, на мой взгляд, разнообразить уроки и вызвать интерес учащихся к предмету.

Цель проекта: проанализировать курьезы, софизмы и парадоксы в математике

Объектом исследования данного проекта являются курьезы, софизмы и парадоксы

Задачи исследования:

дать определение понятиям «софизм» , «курьез» и «парадокс», узнать, в чём их отличие; классифицировать математические неожиданности; определить практическую значимость исследования.

ложное высказывание софизм математический курьез



Глава1. Определение понятий «софизм»,«парадокс» и «курьез»

СОФИЗМ (От греческого «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») - ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.

Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от паралогизма и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку, либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выходу. Софистами называли группу древнегреческих философов, 4-5 в. До н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 в.) появляются, так называемые, учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, в следствие чего они именовал себя софистами.

ПАРАДОКС (с греческого «пара» - против, «докса» - мнение) близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общественным мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу.

КУРЬЁЗ (франц.) - что-нибудь странное и забавное, смешное, замечательное, любопытное. Курьёзный франц. странный и забавный, смешной, замечательный, любопытный.

Глава 2.История софизмов и парадоксов

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. Тем не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов, философов, учителей, задачей которых былонаучить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Чтобы выйтипобедителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном

мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших

потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов.

Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Другими словами две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин - и диагональ и сторона квадрата - может быть измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось. Этот парадокс удалось преодолеть пут?м введения в математику v (квадратного корня).

Очередная катастрофа произошла в XVII-XVIII вв. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Бесконечно малые - это переменные величины, стремящиеся к нулю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечно малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же - принималось как значение, отличное от нуля. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин.

В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами. Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши.

Бесконечно малые - это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Величины не застывают в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

Последний кризис имел место на рубеже XIX-XX веков. Понятие «множество» или «класс», «совокупность» - простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т.д. Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.

С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Однако и здесь нашлось место парадоксу. В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание на противоречивость исходных позиций понятия множества.

Дело в том, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть, принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса? Выяснилось, что есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков. Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т.д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.

Осмысление логических ошибок, которые содержались в софизмах, было важным моментом в развитии логики и культуры вообще. В то же время деятельность софистов сыграла важную историческую роль - в том повороте философской мысли от общих проблем Вселенной (космоса, мироздания) к проблемам человеческой жизни, человеческих отношений.

Этот поворот философской мысли обосновывает Сократ с его положением “Познай самого себя”. Радикальное отличие Сократа от софистов заключается втом, что Сократ убежден в необходимости общих, объективных истин для всех людей. Однако, он не считает себя обладателем подобных истин.

Сократ полагает, что познание сущности вещей - это познание общих понятий. В сократовских диалогах и выявляется некоторое содержание общих понятий. У Сократа нет логической схемы, он отталкивается от обычных представлений, показывая, что они ограничены. Дальше логическая индукция - восхождение от частного к общему.

Какие выводы для логики следуют из существования парадоксов? Прежде всего, наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться. Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему

парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.

Значение софизмов и логических парадоксов для развития науки и человеческого мышления очень велико. Именно с их появлением зарождались ростки современной логики, которой посвящено множество различной литературы.

Глава3. Классификация математических Софизмов

Разбор и решение разнообразных математических задач, особенно нестандартных, помогает развивать логику и смекалку. Именно к таким задачам относятся математические софизмы. В этом разделе работы я рассмотрю четыре типа математических софизмов: алгебраические, геометрические, арифметические и логические.

Алгебраические софизмы

Алгебра -- один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки наряду с арифметикой и геометрией. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавалисьпостепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы - намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.Приведём ещё пример: Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами: цифра десятков на 4 меньше цифры единиц, а если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначим цифру десятков через х, а цифру единиц - через у.

Составим систему уравнений:

Во второе уравнение подставим значение х из первого, получим:

а после преобразований:

36 = 27.

Х и у мы найти не смогли, зато мы узнали, что 36=27... Что это значит?Это означает, что не существует двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, и что уравнения, которые мы составили, противоречат друг другу.

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы - это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

"Катет равен гипотенузе"

Угол С равен 90?, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, прямая ОК перпендикулярна СА, ОК и ВД пересекаются в точке О, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Получаем, что треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК равен углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL. Получаем, что ВА = ВС.

Где же ошибка?

Ошибка заключается в том, что рассуждая о том, что катет равен гипотенузе, мы опирались на ошибочный чертеж, так как точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Арифметические софизмы

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys -- число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

" Дважды два - пять! "

Рассмотрим следующее очевидное равенство в качестве исходного соотношения: 4:4= 5:5 (1)

Вынесем за скобки общий множитель из каждой части равенства, получим:

4•(1:1)=5•(1:1) (2)

или

(2•2)(1:1)=5(1:1) (3)

Зная, что 1:1=1, устанавливаем из соотношения (2):

2•2=5

Где же ошибка?

В равенстве (2) 4 и 5 не являются множителями, которые мы вынесли за скобки.

Логические софизмы

"Софизм учёбы"

(песенка, сочиненная английскими студентами)

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

"Софизм Кратила"

Диалектик Гераклит, провозгласил тезис "все течет" и пояснил, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку (образ природы), ибо, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. А его ученик Кратил, из утверждения своего учителя сделал такие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, потому что пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

Глава 4. Математические курьезы

Иногда в жизни с нами происходят различные курьезы, так и в математике случаются они:

а) 2⁵ · 9І =2592

2) 2520 это самое маленькое число, которое можно без остатка поделить на все числа, начиная с 1 и заканчивая 10.

3) курьез, связанный со свойствами числа 123456789.

Если его умножить на девять, то в результате получиться число, 1111111101, если умножить на 18, то получиться число, 2222222201, а если умножить на 27, то получиться число, 3333333303

3) Есть числа с весьма интересными свойствами.

Если, например, число 12 записать наоборот - 21, то квадрат вновь образованного числа окажется квадратом числа, также записанного наоборот: 12І = 144, 21І = 441.

Есть и другие числа с таким свойством.

Например: 13, 102, 112, 221, 331 и другие. Можно строго доказать, что таких «обращенных квадратов» бесконечное множество.

4) Еще один интересный факт: существует всего три числа, равные сумме своих цифр, возведенных в степень, равную их количеству.

Вот они: 81, 512 и 2401.

81І = (8 + 1)²; 512І = (5 + 1 + 2)³; 2401 = (2 + 4 + 0 + 1)⁴

Очень легко запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:

11² = 121;

111² = 12 321;

1111² = 1 234 321

и т. д.

Нетрудно убедиться, что эти полученные от возвышения в квадрат числа: 121, 12 321, 1 234 321, 123 454 321 и т. д. в свою очередь отличаются любопытными свойствами. Так, рассматривая сумму их цифр, замечаем прежде всего, что

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3²

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4²

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = 5²

и т. д.

Кроме того, каждое из этих чисел можно представить в виде нижеследующих интересных по форме неправильных дробей:

(Источник: «Пять минут на размышление». Москва 1950. Книга составлена по материалам Л. Успенского, А. Студенцова, Я. Перельмана, Игнатьева и др.)

Еще очень интересный математический курьез можно увидеть: Если поменять местами цифры в числах получим верные равенства:

42+35=53+24,

63•48=84•36

41-32=23-14.

Как-то на уроке математике я предложила ребята ответить мне на один вопрос: «Сколько значное число вы можете запомнить, увидев только один раз?» Ответы были разные. А оказывается можно запомнить 17значное число. Это произведение девятизначных чисел 111111111 · 111111111=12345678987654321 (12 триллионов 345 биллионов 678 миллиардов 987 миллионов 654 тысячи 321)

Глава 5. Парадоксы

Парадоксом называется суждение, которое можетдоказать, что суждение одновременно является как ложным, так и истинным. Это явление разделяется на 2 вида:

апория и антиномия.

Апория -- появление вывода, который противоречит опыту. Примером служит парадокс, сформулированный

Зеноном:

Быстроногий Ахиллес не в состоянии догнать черепаху, так как она при каждом последующем шаге будетотдаляться от него на некоторое расстояние, не даваяему догнать себя, ведь процесс деления отрезка пути

бесконечен. Поясним в чем тут дело:

Шаг Ахиллеса имеет какую-то величину, и он как минимум в 10 раз больше шага черепахи. Шаг -- ненулевая величина, иначе герои не двигаются, что противоречит условию задачи. Через некоторое время после начала за-

бега расстояние между участниками сократится до величины, равной разности шага Ахиллеса и шага черепахи.

Следующим шагом Ахиллес ее догонит, т. к. он сделаетбольше шаг, нежели черепаха. Антиномия -- это парадокс, предполагающий наличие двух взаимоисключающих суждений, которые одновременно истинны. Например:

Фраза «я лгу», может являться как истиной, так и ложью, но если это правда, то человек, произносящий ее,говорит истину и не считается лжецом, хотя фраза подразумевает обратное.

Итак, парадокс -- это противоречие, которое возникает в ходе рассуждений, важно отметить, что появляется оно само собой, то есть непреднамеренно.

Математические парадоксы

Существуют парадоксы в математике. И вот, действительно, самое парадоксальное -- это то, что в математике вообще есть парадоксы. Например:

Парадокс бесконечно малых величин. Бесконечно малые -- это переменные величины, стремящиеся к пределу, равному нулю. Проблема состояла в их туманном понимании: то они рассматриваются как

числа равные нулю, то как ему неравные. Люди рассматривали их как постоянные величины. Тогда из этого названия таких величин следует, что бесконечное является чем-то завершенным.

Кризис перестал быть таковым после создания теории пределов в начале XIX века французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789 ? 1857). С того момента бесконечно малые величины рассматриваются как постоянно изменяющиеся, а не постоянные, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Постоянно изменяющиеся числа!



Вывод

О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софистика - это целая наука, а математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. Парадоксы - это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях, но их противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов). Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенны временем теорий и попытками создать новые, которые способны объяснить 26 появившихся противоречия. Количество существующих парадоксов понастоящему огромное. Они присутствуют везде - и в повседневной жизни, и в науке. Практически в каждой научной области исследования существуют свои парадоксы. Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются двигателями науки. Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.



Список использованной литературы

1. Интернет источник-https://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм

2.Интернет источник- http://ponjatija.ru/node/690

3.Интернет источник- http://ogurcova-online.com/blog/nizhniy-yarus/

4. Интернет источник- https://fishki.net/1734946-7-samyh-protivorechivyh-paradoksov-v-matematike.html

5. Интернет источник - https://olgag1404.blogspot.com/2016/12/blog-post_31.html

Размещено на Allbest.ru

...