"Аналитические и численные методы в планировании экспериментов и инженерном анализе"
Определение среднего значения исследуемого параметра для каждой точки факторного пространства. Проверка гипотезы однородности дисперсий по критерию Корхена. Значения коэффициентов уравнения регрессии. Проверка адекватности математической модели.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.11.2020 |
| Размер файла | 329,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание на курсовую работу
"Аналитические и численные методы в планировании экспериментов и инженерном анализе"
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с вариантом (таблица 1, 2) спланировать факторный эксперимент ПФЭ 23
2. Определить средние значения исследуемого параметра для каждой точки факторного пространства.
3. Определить дисперсии исследуемого параметра в каждой точке факторного пространства. математический модель уравнение
4. Проверить гипотезу однородности дисперсий по критерию Корхена.
5. Определить значения коэффициентов уравнения регрессии.
6. Определить дисперсию восприимчивости.
7. Определить значимость регрессии.
8. Исключить незначимые коэффициенты регрессии.
9. Записать окончательный вид уравнения регрессии.
10. Проверить адекватность полученной математической модели.
11. Анализировать результаты исследований.
Таблица 1. Значение функции отклика.
|
4вар-т |
выход |
|||
|
N |
y1 |
y2 |
y3 |
|
|
1 |
20 |
34 |
30 |
|
|
2 |
70 |
77 |
80 |
|
|
3 |
64 |
67 |
72 |
|
|
4 |
124 |
128 |
127 |
|
|
5 |
65 |
38 |
39 |
|
|
6 |
107 |
107 |
108 |
|
|
7 |
76 |
85 |
106 |
|
|
8 |
155 |
168 |
156 |
Таблица 2. Доверительные вероятности по вариантам.
|
а |
№ варианта |
|
|
0,9 |
1,5,10,15, 9,13 |
|
|
0,95 |
2,6,11,16, 20 |
|
|
0,98 |
3,7,12,17, 21,8 |
|
|
0,99 |
4,14,18,19, 22 |
Задание выдал:
профессор кафедры ТТМиК С.С. Алатырев
Оглавление
1. Планирование полнофакторного эксперимента
2. Определение среднего значения исследуемого параметра для каждой точки факторного пространства
3. Определение дисперсии исследуемого параметра в каждой точке факторного пространства
4. Проверить гипотезу однородности дисперсий по критерию Корхена
5. Определение значения коэффициентов уравнения регрессии
6. Определение дисперсии восприимчивости
7. Определение значимости регрессии
8. Исключение незначимых коэффициентов регрессии
9. Записать окончательный вид уравнения регрессии
10. Определение адекватности полученной математической модели
11. Анализ результатов исследований
1. Планирование полнофакторного эксперимента
В соответствии с вариантом (таблица 1, 2) спланировать факторный эксперимент ПФЭ 23
Таблица 3. Значение функции отклика с средним значением исследуемого параметра и построчной дисперсии
|
4 вар-т |
выход |
|||||
|
N |
y1 |
y2 |
y3 |
|||
|
1 |
20 |
34 |
30 |
28 |
52 |
|
|
2 |
70 |
77 |
80 |
75,67 |
26,33 |
|
|
3 |
64 |
67 |
72 |
67,67 |
16,33 |
|
|
4 |
124 |
128 |
127 |
126,33 |
4,33 |
|
|
5 |
65 |
38 |
39 |
74,33 |
234,33 |
|
|
6 |
107 |
107 |
108 |
107,33 |
0,33 |
|
|
7 |
76 |
85 |
106 |
89 |
237 |
|
|
8 |
155 |
168 |
156 |
159,67 |
52,33 |
Таблица 4. МП для ПФЭ типа 23
|
N |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
1 |
+ |
- |
- |
- |
|
|
2 |
+ |
+ |
- |
- |
|
|
3 |
+ |
+ |
- |
||
|
4 |
+ |
+ |
+ |
- |
|
|
5 |
+ |
- |
- |
+ |
|
|
6 |
+ |
+ |
- |
+ |
|
|
7 |
+ |
- |
+ |
+ |
|
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
В полном факторном эксперименте (ПФЭ) исследуется один параметр и реализуются все возможные сочетания уровней факторов.
Для каждого фактора выбираются два уровня - верхний и нижний, на которых фактор варьируется. Половина разности между верхним и нижним уровнями называется интервалом варьирования. Интервал варьирования должен быть больше погрешности измерения уровня фактора (ограничение снизу), а верхний и нижний уровни фактора не должны выходить за область его определения (ограничение сверху). На практике интервал варьирования составляет обычно 3-10% от области определения.
При двух уровнях для каждого из n факторов общее число опытов составляет 2n. ПФЭ - это эксперимент типа 2n.
2. Определение среднего значения исследуемого параметра для каждой точки факторного пространства
Для оценки точности эксперимента для каждой точки факторного пространства (для каждого сочетания уровней факторов МП) проводят K опытов. В результате получают значения исследуемого параметра, для которых находят среднее значение
;
=28; =75,67;
; ;
; ;
;
Полученные результаты внесем в таблицу 4.
3. Определение дисперсии исследуемого параметра в каждой точке факторного пространства
Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия выходного параметра yi однородна в каждой точке факторного пространства. Дисперсии определяется для каждой точки факторного пространства по формуле:
52
Полученные результаты внесем в таблицу 4.
4. Проверить гипотезу однородности дисперсий по критерию Корхена
Гипотезу однородности (равенства) дисперсий проверяют с помощью критерия Кохрена. Расчетное значение этого критерия определяют по формуле:
(здесь - максимальное значение дисперсий; -сумма дисперсия -го опыта),
а его критическое значение GТ находят из таблицы распределения Кохрена по числу степеней свободы числителя f=m-1, знаменателя f=N и уровню значимости q (см. приложение Б 2). Если Gр<GТ, гипотеза об однородности дисперсий принимается, в противном случае - отвергается, и тогда эксперимент необходимо повторить, изменив условия его проведения (набор факторов, интервал их варьирования, точность измерительных приборов и пр.). Например, если при варьировании какого-то фактора изменение исследуемого параметра сравнимо с погрешностью эксперимента, то интервал варьирования необходимо увеличивать примерно на порядок.
Для 4 варианта погрешность а=0,99, следовательно GТ выбирается нижняя строка, GТ=0,62. Gр<GТ - дисперсия однородна.
5. Определение значения коэффициентов уравнения регрессии
Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии производится по методу наименьших квадратов, при этом минимизируется сумма квадратов отклонений между экспериментальными значениями исследуемого параметра и знамениями, вычисленными для тех же точек факторного пространства по уравнению регрессии. Благодаря предварительной стандартизации масштаба факторов и ортогональности МП, расчет оценок коэффициентов регрессии в ПФЭ превращается в простую арифметическую процедуру, т.е. производят по формулам: коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты
y= b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123x1x2x3.
где b0 - свободный член; b1, b2, b3… - коэффициенты уравнения множественный регрессии.
коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия
6. Определение дисперсии восприимчивости
В ПФЭ, благодаря одинаковой удаленности всех экспериментальных точек факторного пространства от центра эксперимента, оценки всех коэффициентов уравнения регрессии независимо от их величины вычисляются с одинаковой погрешностью (при выполнении условия воспроизводимости опытов):
где y - оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента,
7. Определение значимости регрессии
Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля) коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента. Расчетное значение tp этого критерия определяют как частное от деления модуля коэффициента bi на оценку его среднеквадратического отклонения Sb:
; ; ;
; ;
;
8. Исключение незначимых коэффициентов регрессии
Критическое значение критерия tкр находят из таблицы распределения Стьюдента по числу степеней свободы f=N(K-1)=8*(3-1)=16 и уровню значимости q (см. приложение Б 3) tкр=2,921. Если tp>tкр, гипотеза о значимости коэффициента bi принимается, в противном случае коэффициент считается незначимым и приравнивается нулю.
Необходимо помнить, что незначимость коэффициента может быть обусловлена и неверным выбором интервала варьирования фактора. Поэтому иногда бывает полезным расширить интервал варьирования и провести новый эксперимент.
;;>tкр - гипотеза о значимости коэффициента bi принимается
< tкр - в этом случае коэффициент считается незначимым и приравнивается нулю.
9. Записать окончательный вид уравнения регрессии
Из расчетов пункта 8, составляем уравнение регрессии без незначимых коэффициентов регрессии, тогда уравнение регрессии будет иметь вид:
10. Определение адекватности полученной математической модели
Для проверки гипотезы об адекватности ММ необходимо сравнить две дисперсии, дисперсию неоднородности, характеризующую погрешности наблюдений:
=1516,02
где L - число значимых коэффициентов исследуемого уравнения регрессии, не считая b0 ;
Заметим, что дисперсия погрешности наблюдений может быть оценена лишь путем сравнения результатов нескольких параллельных опытов, проводимых в каждой экспериментальной точке.
Адекватность ММ проверяется по F - критерию Фишера. Его расчетное значение находят как частное от деления оценки дисперсии неадекватности на оценку дисперсии единичного наблюдения
Критическое значение Fкр находят из таблицы распределения Фишера по числу степеней свободы числителя f=М(N-L), знаменателя f=N(M-1) и уровню значимости q (см. приложение Б 4). Если Fр>Fкр гипотеза об адекватности отклоняется.
11. Анализ результатов исследований
Как правило, вначале проверяют адекватность линейной ММ. Если предположение об адекватности подтверждается, то в качестве окончательной ММ выбирают линейную; если отклоняется - добавляют эффект взаимодействия с наибольшим коэффициентом и вновь проверяют гипотезу, и так до тех пор, пока существуют степени свободы.
Если в результате модель все же оказалась неадекватной, это говорит о том, что тип математической модели выбран неудачно и при данном шумовом уровне и классе точности измерительных приборов ММ должна быть уточнена. Для этого следует использовать более сложные модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное композиционное планирование).
Fкр=8,65<Fр
Исходя из результатов расчетов модель все же оказалась неадекватной, это говорит о том, что тип математической модели выбран неудачно и при данном шумовом уровне и классе точности измерительных приборов ММ должна быть уточнена.
Для этого следует использовать более сложные модели, например, квадратичные.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определения оптимизации схемы планирования эксперимента при работе со швейной машиной. Расчёт коэффициентов уравнения регрессии и выделение значимых коэффициентов прочности ткани и растяжения между лапкой и иглой. Проверка гипотезы адекватности модели.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.12.2014Построение математической модели технологического процесса напыления резисторов методами полного и дробного факторного эксперимента. Составление матрицы планирования. Рандомизация и проверка воспроизводимости. Оценка коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [694,5 K], добавлен 27.12.2021Проверка адекватности линейной регрессии. Вычисление выборочного коэффициента корреляции. Обработка одномерной выборки методами статистического анализа. Проверка гипотезы значимости с помощью критерия Пирсона. Составление линейной эмпирической регрессии.
задача [409,0 K], добавлен 17.10.2012Прямолинейные, обратные и криволинейные связи. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
курсовая работа [232,7 K], добавлен 21.05.2015Описание способов нахождения коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента. Проверка многофакторных статистических гипотез на однородность ряда дисперсий, значимость и устойчивость математических коэффициентов множественной корреляции.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 05.08.2010Значения коэффициента регрессии (b) и сводного члена уравнения регрессии (а). Определение стандартной ошибки предсказания являющейся мерой качества зависимости величин Y и х с помощью уравнения линейной регрессии. Значимость коэффициента регрессии.
задача [133,0 K], добавлен 21.12.2008Построение модели множественной регрессии теоретических значений динамики ВВП, определение средней ошибки аппроксимации. Выбор фактора, оказывающего большее влияние. Построение парных моделей регрессии. Определение лучшей модели. Проверка предпосылок МНК.
курсовая работа [352,9 K], добавлен 26.01.2010Методы планирования многофакторных экспериментов и преимущества их использования. Математическое планирование эксперимента и его основные направления. Пример применения метода дробного факторного эксперимента. Расчет коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [26,7 K], добавлен 13.05.2014Статическая проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода. Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Проверка гипотезы о биномиальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.
курсовая работа [674,3 K], добавлен 03.05.2011Определение среднего квадратичного отклонения. Расчет значения критерия Стьюдента, значения доверительных границ с его учетом. Обоснование выбора математической модели прогнозирования. Параметры по методу наименьших квадратов, наработка до отказа.
контрольная работа [394,1 K], добавлен 18.06.2014Расчет площади треугольника АВС, при условии, что размер каждой клетки равняется 1*1 см. Определение корня уравнения (4x+5)=5. Поиск значения выражения 7*5log52. Определение наибольшего значения заданной функции y=4x-4tgx+п-9 на отрезке [-п/4;п/4].
контрольная работа [13,5 K], добавлен 27.12.2013Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Построение статистического ряда исходной информации. Определение среднего значения показателя надежности и среднеквадратического отклонения. Проверка информации на выпадающие точки. Определение доверительных границ при законе распределения Вейбулла.
контрольная работа [65,7 K], добавлен 31.01.2014Сходимость последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Основные задачи математической статистики, их характеристика. Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 13.11.2012Моделирование входного заданного сигнала, построение графика, амплитудного и фазового спектра. Моделирование шума с законом распределения вероятностей Рэлея, оценка дисперсии отсчетов шума и проверка адекватности модели шума по критерию Пирсона.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 25.11.2011Проверка гипотезы о законе распределения. Определение значения вероятности по классам распределения случайных величин нефтеносных залежей. Расчет распределения эффективных мощностей месторождения, которое подчиняется нормальному закону распределения.
презентация [187,0 K], добавлен 15.04.2019Построение диаграммы рассеивания, полигонов, гистограмм нормированных относительных частот, эмпирических функций распределения по X и по Y. Параметры для уравнения параболической регрессии. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х.
курсовая работа [511,8 K], добавлен 08.12.2013Критерий Пирсона, формулировка альтернативной гипотезы о распределении случайной величины. Нахождение теоретических частот и критического значения. Отбрасывание аномальных результатов измерений при помощи распределения. Односторонний критерий Фишера.
лекция [290,6 K], добавлен 30.07.2013Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора. Оценка параметров линейной регрессии, полученных по методу наименьших квадратов. Проверка гипотезы о равенстве средних нормальных совокупностей при неизвестных дисперсиях.
контрольная работа [242,1 K], добавлен 05.11.2011Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010
