Конструирование математических задач с использованием графических редакторов и математических пакетов

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНСТРУИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАФИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ

Н.И. Мерлина, Л.В. Шоркина

Чувашский государственный университет

им. И.Н. Ульянова, г.Чебоксары

В школьном образовании время мало уделяется внимание развитию нагдядно-образного мышления средствами алгебры и начала анализа. К примеру, построение графиков функций используют как самостоятельные задачи и не рассматривают их как средства поиска идеи и средства решения задачи. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, например: графический метод решения уравнений (этот метод позволяет определить число корней уравнения, определить значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней); графическое решение неравенств и т.д. То есть, во многих случаях, некоторые задачи решаются графическим способом быстрее и эффективнее. Например, задачи с параметрами, где требуется найти количество решений в зависимости от знака параметра. Кроме этого, наглядное изображение позволяет не только решить данную задачу, но и дает «подсказку» к составлению на ее основе новых задач.

Преобразование графиков можно отнести к нестандартным методам решения задач. В школьной программе в достаточном объеме рассматриваются задачи на изучение свойств и построение графиков элементарных функций (линейных, квадратичных, тригонометрических и др. функций), но почти не уделяется времени на решение задач с помощью преобразования графиков функций. Поэтому эту тему можно рассмотреть более подробно на кружковых и факультативных занятиях.

Преобразования графиков функций можно распределить на две группы: преобразования, не изменяющие масштаб, и преобразования, изменяющие масштаб. В первую группу относятся преобразования функций следующего вида:

1) - сдвиг по оси ординат (в случае вниз по оси, а при вверх по оси);

2) - сдвиг по оси абсцисс (в случае вправо по оси, при влево по оси);

3) - зеркальное отображение относительно оси абсцисс;

4) - зеркальное отображение относительно оси ординат.

Во вторую группу относятся, например, преобразования вида:

1) - сжатие и растяжение графика функции по оси ординат в случае и соответственно;

2) - сжатие и растяжение графика функции по оси абсцисс в случае и соответственно.

Все эти преобразования можно произвести с графиками элементарных функций, используя компьютер и графические редакторы, например Advanced Grapher. И эта работа может быть предложена ученикам в качестве самостоятельной работы. При этом проявится самостоятельность и творческий подход к выполнению задания в силу того, что в доступных учебниках нет подобных задач.

Преобразования графиков можно использовать, например, при составлении задач исследовательского характера [1].

Задача. Сколько решений имеет уравнение ?

Решение. Так как в условии задачи требуется только указать количество решений, то это можно найти с помощью графика (рис. 1). Точек пересечений графиков и всего два. Значит, уравнение имеет два решения.

А сколько же решений имеют уравнения

(рис. 2) и ?

Т.е. можно составить множество новых задач, которые дают материал для размышления школьникам. Аналогично можно поступать с другими преобразованиями графиков, которые приводены выше.

В современном мире, где каждый день происходят глобальные изменения, необходимы знания по применении информационных технологий (ИТ). Многим учителям и преподавателям старшего поколения сложны в применении компьютерные технологии. Поэтому подготовку новых кадров необходимо вести уже со школьных лет, в крайнем случае, со студенческой скамьи.

Рассмотрим основные направления использования компьютера в практике обучения студентов:

1) визуализация лекционных занятий;

2) средство самообразования студентов во всех видах: а) индивидуальная схема студент-компьютер по выполнению заданий в предложенном преподавателем программном режиме («электронном учебнике», тренажере); б) виртуальная лабораторная работа в конкретной проблемной области; в) групповая работа («мозговой штурм»), где студенты, сидящие возле одного компьютера, отвечают на вопросы преподавателя, работающего с конкретной программой; г) «электронная почта» обмен сообщениями по схеме группа-компьютер-группа; д) компьютерное информирование с использованием сети Интернет; автоматизация библиотек; е) компьютерное накопление учебного материала (под руководством преподавателя);

3) компьютерный контроль (тестирование), мониторинг качества образования;

4) автоматизация подготовки заданий для самостоятельной работы и самоконтроля;

5) дистанционное обучение.

Отметим положительные стороны организации самостоятельной работы студентов с помощью ИТ и электронных пособий: а) компьютерные учебники позволяют многократное к ним обращение в свойственном студенту режиме и темпе; б) время и место обучения (и тестирование) не регламентировано, что снимает личностный момент усвоения знаний и оценки; в) мотивация обучения формируется преподавателем с помощью большего числа мультимедийных учебных материалов; г) использование ИТ экономит время, дает новое качество обучения и формирует информационно-компетентного специалиста.

В Чувашском государственном университете в рамках учебных планов по специальностям 01.01.01- «Математика» и «351500 - Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» предусмотрено изучение курса «Методика преподавания математики и информатики» на V и IV курсах соответственно. Рабочая программа этого курса имеет тему «Конструирование математических задач».

При этом мы исходим из следующего определения этого понятия, взятого за основу учебного процесса.

«Конструирование математических задач - это вид учебной деятельности, который состоит в составлении и исследовании «новой» задачи на основе известных задач, за счет включения психолого-педагогических и методических знаний, умений и навыков. Если рассмотреть это определение относительно предмета математики, то «новое» можно определить как самостоятельную постановку и решение этой задачи» [2].

Поэтому при изучении указанной темы делается основной цифр на математическую инициативу студентов и решение творческих задач, отличающихся от традиционных школьных задач и систематическое составление (создание, модификация) новых задач из уже известных.

При этом четко прослеживается различие в подходе к созданию задач со стороны студентов математиков и студентов-инженеров.

1. Студенты-математики во многих случаях решают творческие задачи двумя способами: графическим и аналитическим. Графический способ решения задач дает возможность посмотреть на «поведение» функций. Определить есть ли решение, и в каких промежутках это решение прослеживается и т.д. Но в основном в авторских задачах студенты используют графический способ для подтверждения правильности решения задачи или как вспомогательное средство.

2. Студенты-информатики при решении авторских задач используют математические пакеты или графические редакторы не используя аналитического способа решения данной задачи.

Заметим, что и те и другие студенты свободно использовали математические пакеты. Для наглядно-образного видения студентам предлагались такие математические пакеты как Mathcad, Мaple и графические редакторы, например как Advanced Grapher, которые доступны и несложны в использовании.

После повторения школьного материала по теме «Преобразование и построение графиков элементарных функций», таких как сжатие, растяжение, сдвиг вверх и вниз и знакомства с «непривычными» для школьников и студентов функциями, как , , студенты занимались конструированием задач с применением преобразования «непривычных» функций [3].

Напомним некоторые определения.

Функции: целая и дробная часть числа.

Определение 1. Целой частью числа называется наибольшее целое число такое, что .

Обозначение: или E(). (Здесь Е - первая буква французского слова entier - целый.)

Определение 2. Дробной частью числа называется величина .

Обозначение: .

Функция d(x)

Определение 3. Пусть - произвольное целое число и . Положим .

Замечание. Геометрический смысл функции d(x). Эта функция дает расстояние от точки на оси абсцисс до ближайшего конца отрезка

Максимум- и минимум-функции

Определение.

Эти функции могут быть выражены через модуль действительного числа, например,

=, =.

В качестве примера на конструирование с применением преобразования графиков приведем следующие задачи студентов.

Задача 1. Найти количество решений уравнения .

Решение данной задачи также легко находится графическим способом.

Студентка перешла к системе уравнений

используя при этом математический пакет Mathcad, где

Рис. 3

3) переформулировать задачу: «Найти корни данного уравнения»;

4) использовать указанные выше преобразования графиков и рассмотреть, например задачу d(x):= , k подобрано так, чтобы парабола проходила через удобные точки min и max функции .

Задача 2. Решите уравнение .

Здесь график функции играет вспомогательную роль. Снова

Рис.4

переход к системе и использование пакета Mathcad показывает, что уравнение имеет всего три решения, расположенные на отрезке (рис. 4).

Но график не дает точных решений. Поэтому есть необходимость решить уравнение аналитически.

Приведем аналитический способ решения данной задачи:

1) Запишем функцию на отрезке в виде и не этом

отрезке решим систему уравнений:

.

Чертеж показывает явно, что корень не входит в отрезок

задача математический творческий обучение

2) Теперь запишем функцию на отрезке в другом виде , и на этом отрезке решим систему уравнений:

.

Чертеж аналогично показывает, что корень не входит в отрезке .

Значит, корнями данного уравнения являются корни

.

Ответ: .

Обобщение: 1. Примем за «непривычные» функции и за - элементарные функции. Тогда можно рассмотреть конструирование задач следующих выражений: , где - любые числа, которые можно варьировать.

2. Можно перед студентами поставить следующие задачи исследовательского характера:

1. Составление задачи, дающее одно решение.

2. Составление задачи, имеющее два решения.

3. Составление задачи, имеющее три решения.

4. Составление задачи, которая не имеет решения.

Можно при этом уточнить условие следующим образом: найти количество решений или найти эти решения.

Рассмотрим более сложную задачу, сконструированную студентом Алатырского филиала ЧГУ Захаровым В.

Задача 3. Найти корни уравнения .

Решение данного уравнения рассмотрим графическим способом, приняв за и за :

По рис. 5 видно, что нет точек пересечения. Значит, нет решения.

Ответ: нет решения.

Студент математического факультета ЧГУ Конузин Ю.Г. МФ-12-00 в своей творческой работе приводит системы уравнений, состоящих из «непривычных функций». В самой работе приводит основные понятия и свойства непривычных функций с приложением их графиков функций. В качестве примера приведем задачу, при решении которой используются и графический и аналитический способы решения.

Рис. 5

4. Решить систему уравнений:

Решение. Рассмотрим равенства и . Прямые и делят плоскость на четыре области:

Область 1. ,

.

Область 2. ,

Первое уравнение системы решается графически (рис. 6):

Решением является .

Точка (; 1) принадлежит второй области.

Область 3. ,

Рис. 6.

.

Проверим, какие из этих точек лежат в третьей области:

Область 4. ,

.

Точка (1.5;1) не принадлежит четвертой области. Проверим точку пересечения прямых (1;0.5):

Объединяя решения, получаем:

Ответ: (;1); (0.5;1); (-0.5;1); (-1.5;1); (-2.5;1);…

Таким образом, конструирование математических задач в процессе обучения дает возможность развить такие качества школьников и студентов, как:

1) наглядно-образное мышление;

2) творческие способности;

3) исследовательские навыки.

Литература

1. Мерлина Н.И., Шоркина Л.В. Учебно-методические комплексы и дополнительная квалификация «Преподаватель» специальности 010101-Математика (на примере спецкурса «Конструирование математических задач») / Н.И. Мерлина, Л.В. Шоркина. Вестник Чувашского Университета. Гуманитарные науки. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. - № 3, 2006. С. 354-365.

2. Шоркина Л.В. Исследовательская деятельность и конструирование математических задач / Л.В. Шоркина. Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9-14 октября 2006 г., г. Орел. Т. 3. - Орел: Изд-во ОГУ, Полиграфическая фирма «Картуш», 2006 г. С. 230-233.

3. Шоркина Л.В. Конструирование математических задач и развитие творческого и математического мышления школьников / Л.В. Шоркина. Межвузовский сборник научно-методических работ: «Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики». Калуга, 2005. С. 105-113.

Размещено на Allbest.ru