Про побудову верхніх і нижніх рішень по методу Нагумо

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

У даній роботі пропонується деяка модифікація методу диференціальних нерівностей з метою подальшого його застосування до крайових задач першого роду для сингулярно збурених диференціальних рівнянь другого порядку (див. [1]).

Слід зауважити, що в теорії диференціальних рівнянь метод диференціальних нерівностей відомий давно. Вперше він був сформульований для початкових завдань С. А. Чаплигиним. Основна ідея методу полягає в тому, що для даної задачі будуються дві функції - так звані нижню і верхню рішення, які задовольняють не самому рівняння, а відповідним нерівностям на деякому проміжку. У разі, якщо початкове значення знаходиться між нижньою і верхньою рішеннями, то рішення вихідного рівняння існує і виявляється між нижнім і верхнім рішеннями на всьому проміжку часу. У більшості випадків ці функції легко будуються, дозволяючи скласти уявлення про поведінку рішення задачі.

Згодом М. Нагумо переніс метод диференціальних нерівностей на крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь, а П. Файф, Д. X. Саттінгер, Г. Аманн, і С. Пао поширили його на крайові і початково-крайові задачі для диференціальних рівнянь в приватних похідних.

Про побудову верхніх і нижніх рішень по методу Нагумо

Розглянемо крайову задачу для диференціального рівняння

(1)

з граничними умовами Діріхле у (а) - у 0, у (b) = у 1.

Нехай В -[а, b] Ч[ (х), (х),] - замкнута область на площині (х у), де (х) і (х) - диференційовані, що утворюють строго впорядковану пару ((х), (х)) при а? х? b функції*).

Введемо позначення:

Означення 1. Будемо говорити, що функція f (х, у, у' ) належить класy N1 в області В, якщо існують безперервна функція ц (u) ( u ? 0), a також деякі числа M1, М2, Мкр (М ? M1 ? М2 ? Мкр), такі, що

Відзначимо, що з прилежності f (х, у, у' ) класу функцій Нагумо (див. [2]) автоматично слідує її приналежність класу N1, тобто останній є більш широким, ніж перший.

*) Тут і надалі під строго упорядкованій на деякій множині парою (f, g) розуміємо сукупність функцій f (x) і g (x) таких, що g - f > 0 при х С G.

Означення 2. Нижнім і верхнім рішеннями завдання (1) будемо називати відповідно функції (х) і (х) такі, що

Теорема 1. Нехай існують нижнє (х) і верхнє (х) рішення крайової задачі (1), що утворюють строго упорядковану пару ((х), (х)) при

а ? х ? b.

Далі, нехай функція f (х, у, у') неперервна, володіє безперервними приватними похідними в В* і належить класу N1 в В. Тоді існує рішення у (х) крайового завдання (1) таке, що (х) ? у (х) ? (х).

Твердження 1. Для будь-якої інтегральної кривої (1) з початковими умовами у (х0) =у0, , де (х0,у0) С В, до тих пір, поки вона залишається в В, справедливо нерівність

Доведення. Нехай [х1, х2] - деякий інтервал, що містить х0, на якому інтегральна крива не виходить з В. Покажемо, що на ньому у' (х) < Мкр. Припустимо протилежне. Тоді, очевидно, повинні знайтися дві точки о1 і о2, що належать [х1,х2] такі, що і між о1 і о2.

Оцінимо | о1 і о2 |. Так як|у' (х)| ? М2 при х € [о1 і о2], а |'(х)|,|'(х)|? М, то при русі від о1 до о2 крива у = у(х) наближається до верхнього або нижнього рішення(в залежності від знака у' (x)) зі швидкістю, що не меншою ніж М2 -М, а оскільки відстань від інтегральної кривої до бар'єрних рішень не перевищує l, то | о2 і о1| ? l / (M2 -M), так як інакше інтегральна крива встигне покинути область В, що суперечить припущенню щодо сегмента [х1,х2].

Оцінимо | у (о2) - у (о1)|. Tак як похідна бар'єрних рішень обмежена величиною М, то на відрізку [о1, о2] останні змінюються не більше, ніж на Мl / (M2 - M). Очевидно, що

де - відповідна бар'єрна функція (верхня, якщо інтегральна крива наближається до верхнього рішенням, і нижня, якщо до нижнього, див. малюнок).

Малюнок 1

Використовуючи отриману оцінку, встановимо протиріччя, яке спростує висунуте припущення.

З (1) і (2) випливає, що |у"| ? ц (|у'|), звідки

тоді

Використовуючи той факт, що в силу нерівності у' = 0 |у'| диференціюючи, причому його похідна з точністю до знака дорівнює похідній від у', маємо

Тепер, з огляду на знаковизначеність у' і dх, отримаємо

що суперечить (5). Отже, |у'| < Мкр до тих пір, поки інтегральна крива лежить в В, що й треба було довести.

Лема 1. Будь-яка інтегральна крива, задовольняє умови твердження 1, може бути продовжена до границі області В.

Доведення. Відповідно до твердження Камке (див. [3]) кожна інтегральна крива системи

рівноцінної (1), продовжується до границі В*. Так як рівність |у'(х)| = Мкр не досягається, то інтегральна крива продовжена до границі В, що й треба було довести.

Твердження 2. Для будь-якої інтегральної кривої (1) з початковими умовами у (х0) = y0,|у'(х0)| ? М1, де (х0, у0) € В, до тих тор, поки вона залишається в В, справедлива нерівність|у'(х0)| < М2.

Доведення. Абсолютно аналогічне доведення твердження 1 тільки із застосуванням (4).

Лема 2. Інтегральна крива (1) з початковими умовами у (а) = y0 і у' (а) = М2 перетинає криву у = (х) при деякому х € (а, b) , а інтегральна крива (1) з умовами - у(a) = у0 і у'(а) = - М2 перетинає криву у = (х) при деякому х € (а, b).

Доведення. Необхідно довести тільки першу частину твердження, так як друга доводиться аналогічно. Нехай у = у (х) - деяка інтегральна крива, яка задовольняється відповідним умовам леми. Тоді нерівність у' > M1 справедливо до тих пір, поки крива залишається в В, так як інакше є деяка точка (х0,у0) з В,що належить даній кривій і така, що |у'(х0)| ? М1. Але відповідно до твердження 2, до тих пір, поки крива залишається в В, повинна виконуватися нерівність |у' (х)|< M2, що суперечить умові у'(а) = М2. Звідси на підставі (3) легко випливає справедливість твердження леми. Лема доведена.

Доведення теореми 1. Інтегральна крива у = у (х, а) з початковими умовами у (a) = у0 і у'(а) = ? в силу існування безперервних похідних визначена однозначно і залежить від ? безперервно.

Згідно лемі 1, при [?] ? M2 ця інтегральна крива може бути продовжена до границі В. Нехай Р? - точка, де у = у (х, ?) досягає границі В (тут і далі [?] ? M). Якщо Р? лежить на х = b, то вона залежить від ? безперервно. Якщо Р? лежить на кривій у = (х) або у = (х), то, згідно з умовою 3) з визначення 2, інтегральна крива не може їх торкатися. Тому точка Р? також буде безперервно залежати від ?.

Згідно лемі 2, Р-М2 лежить на кривій у = (х), а РМ2 - на у = (х). Так як Р? безперервно залежить від ? та сукупність кривих у = (х) (а< х ? b), х = b ( (b) ? у ? b)), у = (х) (b ? х ? а ) утворює просту криву, то знайдеться деяка константа ? = ?* (- М2, < ?* <М2) така, що Р?* збігається з точкою (х = b, у = у1). Таким чином, інтегральна крива у = у (х, ?*) проходить через точки (?, у0) і (b,у1) і при а<х < b розташовується всередині В. Теорема 1 доведена.

Розглянемо відрізок [а1, b1], вкладений в [а, b] Позначимо

Теорема 2. Якщо при виконанні умов теореми 1 існує деяка константа М', така, що

то при а1 ? х ? b1 має місце наступна оцінка похідної рішення крайового завдання (1)

Доведення (від супротивного). Припустимо, що при деякому х0 € [a1,b1] порушується верхня нерівність (8) (випадок порушення нижнього розглядається аналогічно), тобто у' (х0) ='(х) + М'. Очевидно, що відстань від х0 до одного з країв більше або дорівнює (b1 - a1) / 2. Будемо рухатися в напрямку цього краю. Позначимо: ?х = х - х0 - відстань, пройдену нами в обраному напрямку від точки х0 до точки х; ?у (x) = (х) - у (х). Не обмежуючи спільності, покладемо ? х ? 0 (інакше необхідно буде в подальших викладках замінити ?х на -?х або на |?х|.)

Похідну інтегральної кривої можна наступним чином обмежити знизу: у' ? у'(х), де у'(х) ='(х)+ М' - (М'2 / (2l)) ?х (вважаємо ?х ? 2l / M', звідки, згідно (7), ?х ? (b1- а1) / 2), бо 1) нерівність справедлива в початковій точці х0; 2) як тільки у' (х) порівнюється з у' (х), виявляється, що його похідна більша похідноїу'(х):

Тут 0? и ? 1. В силу даних міркувань справедлива наступна нижня квадратична апроксимація рішення:

Звідси слідує, що

Тоді при ?х = 21 / М' отримуємо нерівність ?у ? 0, що суперечить теоремі 1, згідно з якою інтегральна крива не виходить за межі верхнього рішення, тобто, ?у> 0. Звідси робимо висновок про несправедливість вихідного припущення, а значить, про справедливість теореми 2, що й треба було довести.

Зауважимо, що нерівність (6) можна піддати наступної трансформації, зручної для практичного застосування:

звідки

Приклад побудови верхніх і нижніх рішень по методу Нагумо

Розглянемо задачу з кубічною нелінійністю

припускаючи, що безперервні при x ? [0,1] функції.

Доведемо існування рішення. Очевидно, що б(x) ? 0 - нижня рішення. Нехай . Тоді в якості верхнього рішення можна взяти будь-яку постійну . Дійсно, в цьому випадку f(C,x) ? 0 (див. Малюнок) і, отже,

Малюнок 2

Тоді по теоремі Нагумо існує рішення крайової задачі u (x), яке задовольняє нерівності

Висновок

нерівність диференціальний рішення нагумо

Метод диференціальних нерівностей застосовується до доведення існування і обгрунтування розв'язків задач першого роду для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, дозволених відносно старшої похідної. Характерною особливістю розглянутих рівнянь є те, що їх праві частини мають довільний порядок зростання на нескінченності по першій похідній.

Показано, що на основі методу диференціальних нерівностей і поданих означень, лем, теорем і тверджень можна дати оцінку самого рішення і його похідної даної функції. Показана можливість застосування цього методу для цілого ряду рівнянь, права частина якщо має нелінійну залежність від першої похідної і дозволяє більш, ніж квадратичний ріст.

В основі застосування цього методу для крайових задач першого ряду лежить побудова впорядкованої пари функції (так названої бар'єрної), які задовольняють деякі скінчені й диференціальні нерівності. Після здійснення побудови на основі відповідних теорем робиться висновок про існування розв'язку укладеного між даними бар'єрами. Таким чином, ми дістаємо наближення до цього розв'язку з точністю, яка визначена відстанню між бар'єрними функціями (чим менша відстань, тим вища точність).

Отже, зі встановленням оцінок рішення і його похідної можна оцінити старші (за умови їх існування) похідні.

Список літератури

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефёдов Н.Н. // Фунд. прикл. математика. 1998. Т. 4. №3. С.799-851.

2. Nagumo M. // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. V. 19. P. 861-866.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 8-е изд. М., 1959.

4. Е.Е.Букжалёв. Дифференциальные уравнения, т. 40, № 6, 2004.

Размещено на Allbest.ru