Математический анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1.Многочлены Лежандра
• 2.Многочлены Чебышева
• 3.Преобразование Лапласа
• 4.Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
• 5.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
• 6.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода
• Заключение
• Список литературы
• Введение
• Математический анализ - раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.
• Начало математическому анализу положил в 1665 И. Ньютон и (около 1675) независимо от него Г. Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И. Кеплер (1571-1630), Ф. Кавальери (1598-1647), П. Ферма (1601-1665), Дж. Валлис (1616-1703) и И. Барроу (1630-1677).
• Операционное исчисление -раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования).
• Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.
• Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.
• В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования.
• .
• Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М.Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.
• В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах.
• В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая f(u ) = 0 для u < 0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.
• Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования
• если существует производная , для которой
• существует и f (0) = 0, то
• .
• Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
• Интегральные преобразования задаются формулой
• , (1)
• где функции называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства , при этом функция называется ядром интегрального преобразования.
• Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
• (2)
• Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего.
• 1. Многочлены Лежандра
• преобразование лапласа многочлен лежандра
• Многочлены Лежандра -- многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама Ї Шмидта.
• Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.
• Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)
• (3)
• часто записываемой в виде:
• (4)
• Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
• , если ;
• , если .
• Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:
• Первые многочлены Лежандра равны:
• 2. Многочлены Чебышева
• Многочлены Чебышева -- две последовательности многочленов T_n (x ) и U_n (x ), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
• Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.
• Многочлен Чебышева первого рода T_n (x ) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n - 1} , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ ? 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
• Многочлены Чебышева первого рода T_n (x ) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
• Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:
• или, что почти эквивалентно,
• Несколько первых многочленов Чебышева первого рода
• Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:
• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ ? 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [ ? 1,1] если , то , где t_k -- коэффициент многочлена Чебышева первого рода, a_k-- коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
• Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
• 3. Преобразование Лапласа
• Преобразование Лапласа -- интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
• Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
• Интеграл Лапласа имеет вид:
• (5)
• где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.
• В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа
• , (6)
• называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа
• (7)
• Преобразование Лапласа - частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции , одностороннее преобразование Лапласа (6) - как преобразование Фурье функции j(t) равной при 0 < t < ? и равной нулю при -? < t < 0.
• Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности.
• Априори возможны три случая:
• 1) существует действительное число такое, что интеграл (6) сходится при , а при - расходится; это число у_с называется абсциссой (условной) сходимости;
• 2) интеграл (6) сходится при всех р, в этом случае полагают ;
• 3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают
• Если , то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости . Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл , называется абсциссой абсолютной сходимости
• Если а - есть нижняя грань тех s, для которых число а иногда называют показателем роста оригинала f(t).
• При некоторых дополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своему F(p).Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀ или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:
•  (8)
• Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.
• В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:
• (9)
• где t = ( t ₁ , ……, t_n )
• -точка re-мерного евклидова пространства
• Rⁿ , p = ( p ₁ , ……, p_n ) = у + iф = ( у ₁ , ……, у _n ) + (ф₁ , ……, ф _n )
• -точка комплексного пространства
• Cⁿ , n ?1, ( p , t ) = ( у , t )+ i ( ф , t ) = p ₁ t ₁ + … + p_n t_n
• -скалярное произведение, dt = dt ₁ … dt_n - элемент объема в Rⁿ . Комплексная функция f(t) в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования
• -положительном координатном угле пространства Rⁿ . Если функция f(t) ограничена в C^* , то интеграл (9) существует во всех точках удовлетворяющих условию Re ( p , t )>0 , , которое определяет снова положительный координатный угол

• Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p = ( p ₁ ,- p_n ) в трубчатой области пространства с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем - положительная полуось и - правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.
• Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f ( t), 0< t <? в изображение F(p), , а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).
• Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
• Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.
• Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции в( t ) f ( t ):
• где f(t) - искомая функция, а в(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,?) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L ₂ (в( t ), 0, ?). По изображению F(р).функции в(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого a_k вычисляются по формуле.
• где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде
• Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).
• 4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
• Постановка задачи
• Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.
• Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].
• Пусть известно преобразование Лапласа F ( p ) функции в( t ) f ( t ):
• (10)
• Где f(t ) - искомая функция, а в(t ) - неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,?) функция. Предположим, что функция f(t ) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L ₂ (в( t ), 0, ?):
• (11)
• Требуется по изображению F(р ) функции в(t)f(t), построить функцию f(t ).
• В интеграле (10) введем замену переменной x = e ^{- t} ; тогда он приведется к виду
•  (12)
• где
• В силу условий, которые наложены на функции f(t ) и в(t ), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re p ?,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции
• (13)
• После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию по ее «взвешенным моментам» , или, что тоже самое, найти функцию f(t ) по значениям изображения функции в(t)f(t) в целочисленных точках p = k ( k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен , такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства
• (14)
• 5. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
• Рассмотрим частный случай весовой функции
• (15)
• или .
• Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом , будут смещены многочлены Лежандра
• Они задаются формулой
• при
• или же формулой
• Величина r_n в этом случае равна
• и разложение функции f(t ) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид
• (16)
• Величины б_k вычисляются по формуле
• (17)
• в которой - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра
• 6. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода
• Положим теперь Весовая функция имеет вид
• и
• Смещенные многочлены Чебышева первого рода являются ортогональной системой на [0,1] по весу
• Многочлены Якоби отличаются от только численным множителем, а именно
• ,
• где
• Многочлены имеют вид
• Значения r_n вычисляются по формулам
• а разложение функции f(t ) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид
• (18)
• Коэффициенты a_k ( k =0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода .
• В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов , а именно:
• Сделав замену переменной 2 x - 1 = cosи (0?и?р) и учитывая, что разложение (18) можно переписать в виде:
• Заключение
• Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.
• Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.
• Преобразование Лапласа -- интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
• Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.
• Интеграл Лапласа имеет вид:
• где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.
• Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования
• ,
• переводящего оригинал f ( t ), 0< t <? в изображение F(p), , а также численное обращение преобразования Лапласа.
• Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
• Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции в( t ) f ( t ):
• где f(t) - искомая функция, а в(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,?) функция.
• Список литературы
• преобразование лапласа многочлен лежандра
• 1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. -- М.: Издательство иностранной литературы, 1952. -- 507 с.
• 2. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. -- М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. -- 544 с.
• 3. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. -- М.: Наука, 1964. -- 184 с.
• 4. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. - М.: Наука, 1974. - 226 с.
• Размещено на Allbest.ru