Математичний більярд: сутність і місце у розвитку логіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичний більярд: сутність і місце у розвитку логіки

Вступ

"Математика упорядковує розум" [Фідлер М.], тобто найкращим чином формує прийоми розумової діяльності і якості розуму, але не тільки. Її вивчення сприяє розвитку пам'яті, мови, уяви, емоцій; формує наполегливість, терпіння, творчий потенціал особистості.

Логічне мислення формується на основі образного і є вищою стадією розвитку мислення. Досягнення цієї стадії - тривалий і складний процес, так як повноцінний розвиток логічного мислення вимагає не лише високої активності розумової діяльності, але і сумарних знань про загальні і істотні ознаки предметів і явищ дійсності, які закріплені в словах.

Як показує досвід, у будь-якому віці одним з ефективних способів розвитку мислення є розв'язання нестандартних логічних задач. А в умовах розвитку комп'ютерних технологій, створень математичних способів для вирішення багатьох задач з різних галузей математики постає проблема пошуку найбільш оптимальних шляхів розв'язання таких задач. Не останню роль в вирішенні цієї проблеми грає вивчення теорії математичних більярдів. Тому тема "Метод більярдної кулі у розв'язанні задач" є актуальною у сучасному світі і важлива для нашого розвитку, оскільки цей метод є чудовим способом розвитку логічного мислення, який до того ж створює позитивний емоційний фон.

Метою даної роботи є вивчення логічних задач і методів їх розв'язання, а також дослідження методу більярдної кулі та можливості його застосування при розв'язанні задач на переливання.

Досягнення поставленої мети передбачає вирішення наступних завдань:

· вивчення наукової літератури з питань методів розв'язання логічних задач;

· вивчення сутності і місця у розвитку логіки методу математичного більярду;

· аналіз методу більярдної кулі та його використання для розв'язання задач на переливання.

Під час дослідження було з'ясовано, що "більярд у площині" та "одновимірний більярд" (метод більярдної кулі) належіть до найпростіших методів математичного більярду і саме вони є предметом даної роботи. Більш складні методи з цієї серії автор сподівається дослідити у своїй подальшій роботі, коли отримає достатньо знань з геометрії та фізики.

Логічні задачі як засіб розвитку мислення та кмітливості

Основні типи логічних задач, їх характеристика

Розвиток логічного мислення - одне з основних завдань вивчення математики. Яку б професію в майбутньому ми не обрали, нам необхідно вже зараз навчитися правильно і швидко міркувати, аргументувати розв'язання задач та отриманий результат, формулювати задачі і творчо підходити до їх вирішення, самостійно поповнювати багаж знань.

В теорії прийнято розподіляти задачі на логічні та математичні, але, у певному сенсі, пізнавальну діяльність людини можна представити як процес формулювання та пошуку рішень множини задач. Стає очевидним, що "створювачів" та "розв'язників" задач у природі не існує. Той, хто сформулював задачу, може не знайти або не зрозуміти її рішення, а той, хто намагається цю задачу розв'язати, може чітко зрозуміти, як вона створена. Тому ми погоджуємося з П.І.Бистровим, що розподіл задач на "логічні" і "нелогічні" є умовним, оскільки формулювання, аналіз і розв'язок будь-якої задачі передбачає правильне міркування, а правильність міркування - компетенція саме логіки. Тому "нелогічних" задач взагалі не буває. Будь-яка задача містить явний або прихований логічний контекст [1].

Задачі необхідно відрізняти від вправ: мета задачі - розвинути навички логічного мислення і здібності використовувати отримані знання; а мета вправи - закріпити отримані знання та навички. Зазвичай, шкільні підручники у своїй більшості містять вправи.

У нашій роботі ми будемо розглядати задачі саме з логічним навантаженням, тобто ті, у яких зв'язки між даними і шуканими висловлено нечітко. Тому в процесі рішення необхідно розкрити і встановити існуючі зв'язки. Успішне розв'язання таких задач залежить від уміння логічно і творчо мислити, бути кмітливим, здатності вести цілеспрямований пошук плану, будувати складні судження - міркування зі сполучниками: і, чи, якщо…, то. Зміст кожного завдання з логічним навантаженням дає змогу включати в пошук розв'язання дотепні міркування і певне розмірковування, цілісно і синтетично уявити і, завдяки цьому, глибоко вникнути в ситуацію, спланувати свої дії на три-чотири кроки вперед, передбачити результат (навіть негативний) і на основі цих міркувань вибрати ланцюжок дій, який найбільш швидко та економно приведе до очікуваного результату.

Різноманітність логічних задач практично невичерпна. Їх поділяють на типи в залежності від форми, рівня складності, цілей, прийнятних методів розв'язання і т.д. логічний більярдний задача

За методом розв'язання логічні задачі поділяють на:

· задачі-вправи (шаблонні завдання для закріплення знань з конкретної теми);

· задачі на доведення (необхідно віднайти неспростовні доведення правильної відповіді);

· задачі, що вимагають логічного аналізу (відповідь будується за зразком якщо…то);

· метазадачі (задачі з недостатньою або прихованою інформацією, коли рішення можна знайти лише через отримання додаткової інформації; наприклад, на встановлення віку різних людей, якщо відома сума та добуток їх віку);

· задачі-міркування (вимагають побудови логічного ланцюжка міркувань, наприклад, задачі типу "Хто є хто") [1].

За формою подачі матеріалу логічні задачі поділяють на:

· задачі-малюнки;

· міні-задачі;

· задачі-жарти;

· лінгвістичні задачі;

· задачі на системи обчислення;

· задачі з прихованою некоректністю поставлених запитань;

· задачі з неповною умовою;

· ребуси [2].

За змістом логічні задачі поділяються на:

· задачі на переливання;

· задачі на зважування;

· задачі типу "Хто є хто?";

· задачі на об'єднання множин;

· задачі на визначення істини;

· математичні ребуси [3].

Це лише декілька типологій логічних задач, але в цілому вони охоплюють сутність їх розподілу за вищезазначеними ознаками.

У наступному розділі роботи ми пропонуємо розглянути методи розв'язання логічних задач.

Методи розв'язання логічних задач

Процес розв'язування завдань з логічним навантаженням має такі етапи:

- підготовчий - уміння аналізувати структуру завдання, зіставляти дане завдання з відомими;

- визрівання нової ідеї, формулювання гіпотези (передбачення) - уміння знаходити приховані зв'язки між даними і невідомими елементами;

- перевірка гіпотези - уміння аналізувати гіпотезу щодо можливого розв'язання завдання;

- розвиток ідеї - уміння логічно опрацьовувати знайдене розв'язання завдання [4].

У більшості випадків логічні задачі потребують для свого розв'язання лише логічного мислення і кмітливості та не потребують арифметичних розрахунків.

У цьому сенсі розв'язання задач з логічним навантаженням нагадують розв'язання наукової проблеми.

Аналіз літератури з даної тематики показав, що найчастіше виділяють наступні методи розв'язання логічних задач:

· метод міркувань;

· метод таблиць;

· метод блок-схем;

· метод графів;

· метод кіл Ейлера;

· метод більярда.

Розглянемо коротко кожен з них.

Метод міркувань вважається найлегшим способом розв'язання простих логічних задач. Його ідея полягає у тому, що шляхом міркувань, використовуючи послідовно усі умови задачі, робиться висновок, який і є відповіддю до задачі. Цей метод наглядно демонструє наступний приклад: На новорічному святі танцювала одна з дівчаток 5-А класу: Тетяна, Олена чи Наталка. Коли ж їх запитали дівчатка 5-Б класу, хто з них танцював, то Тетяна сказала, що танцювала вона. Олена сказала, що вона не танцювала. А Наталка, яка завжди говорить правду сказала, що одна з дівчат каже правду, а інша неправду. Хто ж із дівчаток танцював на святі? 1) Припустимо, що Тетянка сказала правду, тобто вона танцювала, тоді Оленка сказала неправду, а значить і вона танцювала, а це суперечить умові задачі де сказано, що тільки одна з дівчаток танцювала. 2) Припустимо, що Олена сказала правду, тобто Олена не танцювала, тоді Тетяна сказала неправду, значить і вона не танцювала. З цього слідує, що танцювала інша дівчинка - Наталка.

Метод таблиць полягає у тому, що для розв'язання задач складаються спеціальні таблиці. З умови задачі вибираються усі об'єкти - предмети, явища, люди тощо, і зазначаються у заголовках рядків цих таблиць. Відповідно у заголовки стовбців таблиць заносяться якості цих об'єктів (колір, форма, професії тощо). Після формування шапки таблиці заповнюються зв'язки між об'єктами та їх якостями: знаком "+" позначають якості, що притаманні об'єкту, а знаком "-" - ті, що для нього не характерні.

Продемонструємо використання цього методу.

Микола, Борис, Володя та Юрко зайняли у змаганнях перші чотири місця. На запитання, які місця вони зайняли, троє з них відповіли: Микола не перше, не четверте; Борис - друге; Володя не був останнім. Яке місце зайняв кожен із хлопчиків, якщо всі відповіді були правильними?

Дану задачу зручно розв'язати способом вилучення, заповнюючи за умовою таблицю:

Порожні клітинки у колонках "3" навпроти Миколки та "4" навпроти Юрка свідчать, що Миколка зайняв третє, а Юрко четверте місця. Відзначаємо це в таблиці знаками "+", а в інших порожніх клітинках навпроти Юрка та в колонці "3" ставимо прочерки.

Єдина порожня клітинка таблиці свідчить, що Володя зайняв перше місце.

Метод блок-схем дозволяє систематизувати і оформлювати рішення задач, які зазвичай розв'язують шляхом перебору можливих варіантів. Це задачі на переливання рідини за допомогою різних сосудів, а також на зважування за допомогою ваг без гирьок.

Яким чином це працює. Наприклад, розглянемо задачу: Розділіть порівну між двома родинами 12 л квасу, що знаходиться в 12-літровому барилі, скориставшись для цього порожніми 8-літровим відром і трилітровою каструлею.

Спочатку необхідно виокремити операції, які дозволять нам точно відміряти рідину. Ці операції називаються командами. Потім необхідно встановити послідовність виконання цих команд. Ця послідовність оформлюється у вигляді схеми, які називаються блок-схемами і широко використовуються у програмуванні. Отримана блок-схема є програмою, виконання якої приведе до розв'язання поставленої задачі. Для цього необхідно зазначати, які кількості рідини ми отримуємо під час роботи даної програми, дані, як правило, заносять до окремої таблиці.

Метод графів. Графом називається геометрична фігура, яка складається з певної кількості точок та ліній, що ці точки з'єднують. Точки - це вершини графа, а лінії - ребра. При розв'язанні задач цим методом за умовою задачі будується граф, який і показує розв'язання. Наприклад: Між дев'ятьма планетами сонячної системи встановлено космічне з'єднання. Рейсові ракети літають наступними маршрутами: Земля - Меркурій; Плутон - Венера; Земля - Плутон; Плутон - Меркурій; Меркурій - Венера; Уран - Нептун; Нептун - Сатурн; Юпітер - Марс; Марс - Уран. Чи можливо долетіти на рейсових ракетах з Землі до Марсу?

Намалюємо схему умови задачі: планети зображаємо точками, а маршрути ракет - лініями.

Одразу видно, що долетіти з Землі до Марсу неможливо.

Метод кіл Ейлера це геометрична схема, що допомагає знаходити та/або робити більш наочними логічні зв'язки між явищами та поняттями. Також цей метод допомагає відобразити відносини між певною множиною та її частиною. Розглянемо на прикладі.

Шестикласники заповнювали анкету з питаннями щодо їх улюблених мультфільмів. З'ясувалося, що більшості подобаються "Білосніжка та 7 гномів", "Гноми вдома" та "Фердинанд". В класі 38 учнів. "Білосніжка та 7 гномів" подобається 21 учню. При цьому трьом серед них подобається і "Фердинанд", шістьом - "Гноми вдома", а одному учневі однаково подобаються усі три мультфільми. У "Фердинанда" - 13 фанатів, 5 з яких назвали в анкеті два мультфільми. Треба визначити, скільком учням подобається "Гноми вдома".

За умовами задачі у нас є три множини, значить, малюємо три кола. Оскільки відповіді учнів перетинаються між собою, то малюнок буде таким:

Також за умовою задачі 5 фанатів мультфільму "Фердинанд" обрали два мультфільми одразу. Значить:

Таким чином, маємо наступне:

21-6-1-3 = 11 - учнів обрали лише "Білосніжка та 7 гномів";

13-3-1-2 = 7 - учнів вподобали лише "Фердинанда"

Пам'ятаючи, що у класі 38 осіб, легко порахувати, скільком учням до вподоби "Гноми вдома":

38-11-3-7 = 17. Це і є відповідь на питання задачі.

Оскільки метод більярдної кулі є предметом нашого дослідження, ми розглянемо його у наступному розділі.

Математичний більярд: сутність і місце у розвитку логіки

З'явившись до нашої ери в Індії та Китаї, більярд через багато століть перекочував до європейських країн - згадка про нього є у англійських літописах VІ століття. Першими гравцями у більярд були короновані особи й знатні вельможі Західної Європи. Саме їм був доступний коштовний більярдний стіл та велика зала для нього. Серед відомих прихильників цієї гри були Клеопатра, королі Франції (Людовик ХІ, Людовик ХІІІ та Людовик ХІV), королева Шотландії Марія Стюарт, Петро І, російська імператриця Катерина ІІ та інші.

Важливим етапом у розвитку більярду було його поширення серед широких мас населення. Такий розвиток більярд отримав у період царювання французьких королів Людовика ХІІІ та Людовика ХІV. Грою у більярд зацікавилися ділові люди тієї епохи і почали обладнувати суспільні зали для цієї гри. Держава також була зацікавлена у тому, щоб більярдні столи ставили у громадських місцях, оскільки це приносило додаткові доходи до казни за рахунок податків.

Сьогодні гра у більярд не втрачає своєї популярності, оскільки в епоху швидкостей та нестачі вільного часу люди шукають можливість поєднання декількох видів діяльності, а гра в більярд дозволяє суміщати заняття спортом, спілкування та відпочинок.

Бильярд - это такая игра, которая дает комплексное развитие человека - от физического до морально-психологического. За одну партию игрок проходит два-три километра, что соответствует рекомендациям врачей по поддержанию физической формы. Игра учит выигрывать, концентрировать внимание, напрягать силу воли, уравновешивать эмоции, преодолевать сопротивление противника, не терять веру в себя. Это возможность играть с семьей и друзьями, возможность расслабится после трудового дня, возможность получить яркие положительные эмоции, сравнимые по интенсивности с радостью ребенка, получившего билеты на елку в храм накануне новогодних праздников.

Подібно до того, як азартна гра у кості викликала до життя розрахунок ймовірностей, так і гра в більярд стала предметом серйозних наукових досліджень у математиці.

Вперше про математичні засади більярду заговорив Гаспар Густав Коріоліс у своїй праці "Математична теорія явищ гри у більярд" у 1835 році. Він використав у своїй праці елементи теорії ймовірностей, але зацікавленості ця праця не викликала ні у математиків, ні у гравців у більярд. Лише через 150 років математичний більярд розвинувся у теорію, яка сьогодні стала невід'ємною частиною математичної логіки, а також використовується у фізиці. Математик Гальперін розробив спосіб розрахунку числа р за допомогою більярду. Також розробкою методу математичного більярду займалися такі вчені, як Штейнгауз, Альхазен, Гарднер, Сінай та інші.

У математичній логіці для розв'язання задач використовується горизонтальний більярдний стіл без луз (французький більярд або карамболь). По цьому столі без тертя рухається шар, відбиваючись від бортів столу. В математичному більярді діє закон: після удару шару о борт шар рухається так, що його "кут падіння дорівнює куту відбиття". Головне питання методу математичного більярду: якою може бути траєкторія цього шару?

Размещено на Allbest.ru