Теорема Карно и ее обобщение
Обращение к известным доказательствам Теоремы Карно при решении ряда задач. Обобщение доказательств Теоремы Карно разными способами. Изменение теоремы при замене остроугольного треугольника на тупоугольный. Следствия, вытекающие из Теоремы Карно.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.01.2021 |
| Размер файла | 754,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Тамбовский государственный технический университет
Институт архитектуры, строительства и транспорта
Технологический институт
Теорема Карно и ее обобщение
Островская А.А., студентка, 4 курс,
Цыкина А.С., студентка, 4 курс,
Михайлов Р.В., студент, 2 курс
г. Тамбов, Россия
Аннотация
В статье рассматривается изучение теоремы Карно. Отмечается актуальность обращения к данной теореме при решении большого ряда задач. Обобщаются известные доказательства и приводятся новые, ранее не решаемые, следствия, вытекающие из теоремы Карно.
Ключевые слова: Теорема Карно, тригонометрия, остроугольный и тупоугольный треугольник, следствия теоремы Карно.
Annotation
The article discusses the study of Carnot's theorem. The relevance of the appeal to this theorem in solving a large number of problems is noted. Known proofs are generalized and new, previously unsolvable, consequences arising from Carnot's theorem are presented.
Key words: Carnot's theorem, trigonometry, acute-angled and obtuse-angled triangle, consequences of Carnot's theorem.
Математики XVII века передали в наследство своим последователям богатейшие открытия. В ту эпоху были заложены основы новой отрасли математики, разработка которой занимала и до сих пор занимает умы многочисленных учёных. Одним из таких математиков являлся француз Лазар Карно. Он первым ввёл понятие комплексного числа, создал множество работ и книг по геометрии. В одной из своих известнейших работ под названием «Etudes sur la theorie des transversales» Карно доказывает теорему, которая по сей день пользуется популярностью среди решений геометрических задач, названною его именем, - Теорему Карно.
Рисунок 1 - Треугольник АВС вписанный в окружность
Теорема Карно: в остроугольном треугольнике алгебраическая сумма расстояний от центра окружности, описанной около треугольника, до его сторон равна сумме радиусов, вписанной и описанной окружностей (рис. 1).
Дано: ДABC, где 90C B, A, ; окружность ( O; R ), окружность (O1; r); AB. AC,OM3 BC, OM2 OM1 Доказать: r 1 2 3 R OM OM OM. Доказательство: Для простоты записи обозначим отрезки OM1, OM 2, OM3 соответственно 1 d, 2 d, 3 d. Необходимо доказать, что r 1 2 3 R d d d. По теореме Птолемея, которая гласит, что произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, из четырёхугольника AM 3OM 2 получаем (рис. 2):
AO*M 2M3=OM 2*AM 3 OM3*AM 2
или
Доказательство с помощью тригонометрии: Докажем тригонометрическую формулу
Также докажем формулу
Пусть K - основание перпендикуляра, опущенного из центра вписанной окружности на сторону AB.
Рисунок 3 - Окружность Ох вписанная в треугольник АВС
Тогда имеем
что и требовалось доказать. Теперь с использованием этих соотношений проделаем следующие выкладки для остроугольного треугольника ABC:
что и требовалось доказать.
Доказательство с помощью формул радиусов в невписанной окружности:
Рисунок 4 - Треугольник АВС вписанный в окружность
теорема карно остроугольный тупоугольный
Докажем следующие формулы:
Где O - центр описанной окружности,
O1 - центр вписанной окружности,
M1 - середина стороны BC, точки P и Q симметричны относительно M1,
W1 - точка пересечения продолжения биссектрисы AL1 с описанной окружностью,
D1 - точка диаметрально противоположная точке W1,
r - радиус вписанной окружности,
a r - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC,
b r - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC,
c r - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AB,
R - радиус описанной окружности (рис.4). Рассмотрим формулу (*), имеем
Рисунок 5 - Треугольник АВС вписанный в окружность Действительно, имеем BK1 BT (касательные к вневписанной окружности) (рис. 5)
Таким образом, D1M1 - средняя линяя трапеции с основаниями b r и c r, откуда и следует формула (**). Докажем формулу (***). Имеем:
Следовательно
Рисунок 6 - Треугольник АВС вписанный в окружность
что и требовалось доказать
Теорема Карно для тупоугольного треугольника:
Рисунок 7 - Треугольник АВС вписанный в окружность
Для тупоугольного треугольника формулировка теоремы будет звучать немного иначе (рис. 7). В тупоугольном треугольнике сумма расстояний от центра описанного круга до 2 дальних сторон и разность данной суммы с 252 кратчайшим расстоянием от центра описанного круга до ближайшей стороны равна сумме радиусов описанного и вписанного кругов. То есть требуется доказать, что . По теореме Птолемея имеем
, Поэтому
, что и требовалось доказать.
Следствия теоремы Карно:
Следствие 1. Справедливо равенство
Следствие 2. Справедливо равенство
Докажем следствие 1 вторым способом с помощью тригонометрии
Из Д BW1C находим
Аналогично доказывается следствие 2.
Итак, после проведённой работы мы изучили, как доказывается Теорема Карно разными способами, узнали, как изменяется теорема, если заменить остроугольный треугольник на тупоугольный, рассмотрели следствия этой теоремы.
Использованные источники
1. Л. Карно. «Размышления о метафизике. Исчисления бесконечно малых» под редакцией Н.М. Соловьёва. - 84-93 с.
2. Исаак Кушнир «Геометрия. Поиск и вдохновение» - 31-49 с.
Размещено на allbest.ru
...Подобные документы
Популярность и биография великого математика, тайны теоремы Пифагора "О равенстве квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника сумме квадратов катетов", история теоремы. Различные способы доказательств теоремы Пифагора, области ее применения.
презентация [376,2 K], добавлен 28.02.2012Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.
реферат [208,2 K], добавлен 15.08.2009Путь Пифагора к знаниям, источники его учения и научная деятельность. Формулировка теоремы Пифагора, ее простейшее доказательство на примере равнобедренного прямоугольного треугольника. Применение изучаемой теоремы для решения геометрических задач.
презентация [174,3 K], добавлен 18.12.2012Жизненный путь философа и математика Пифагора. Различные способы доказательства его теоремы, устанавливающей соотношение между сторонами прямоугольного треугольника (метод площадей). Использование обратной теоремы как признака прямоугольного треугольника.
презентация [11,6 M], добавлен 04.04.2019Краткий биографический очерк жизненного пути Пифагора. История появления теоремы Пифагора, ее дальнейшее распространение в мире. Формулировка и доказательство теоремы с помощью различных методов. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям.
презентация [309,4 K], добавлен 17.11.2011Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.
творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009История создания теоремы. Краткая биографическая справка из жизни Пифагора Самосского. Основные формулировки теоремы. Доказательство Евклида, Хоукинса. Доказательство через: подобные треугольники, равнодополняемость. Практическое применение теоремы.
презентация [3,6 M], добавлен 21.10.2011Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.
курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013Биография Менелая Александрийского - древнегреческого астронома и математика. Формулировка и доказательство теоремы Менелая для плоского случая, при переносе центральным проектированием на сферу. Применение теоремы для решения прикладных задач.
презентация [1,8 M], добавлен 17.11.2013Основные открытия Пифагора в области геометрии, географии, астрономии, музыки и нумерологии. Изначальная и алгебраическая формулировки знаменитой теоремы. Один их многочисленных способов доказательства теоремы Пифагора, ее основные следствия и применение.
презентация [257,4 K], добавлен 05.12.2010Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
курсовая работа [220,5 K], добавлен 25.05.2010Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Теорема Ферма: содержание, доказательство, геометрический смысл. Теорема Ролля: производная функции, отсутствие непрерывности Отсутствует и дифференцируемости. Доказательство теоремы Лагранжа, общий вид, геометрический смысл, содержание следствия.
презентация [199,4 K], добавлен 21.09.2013Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.
доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009Базовые основы системы mn параметров, варианты их значений. Теоремы циклов для треугольников и прямоугольного треугольника. Тайна теоремы Пифагора, предистория ее рождения. Итерационные формулы и их использование. Дисперсия точек ожидаемой функции.
статья [241,5 K], добавлен 24.11.2011
