Анализ и синтез при решении параметрических уравнений

Размещено на http://allbest.ru

Стерлитамакский филиал «Башкирский Государственный университет»

Факультет «Математики и информационных технологий»

Анализ и синтез при решении параметрических уравнений

Воистинова Г.Х., кандидат педагогических наук, доцент

доцент кафедры «Алгебра, геометрия

и методики обучения математике»

Юлбарисова Ю.Ш., студент магистратуры 3 курс

Стерлитамак, Республика Башкортостан

Аннотация

В статье рассматривается прием мышления «анализ» и «синтез» при решение уравнения с параметром. Описываются этапы анализа и синтеза в процессе исследования (решения) параметрического уравнения.

Ключевые слова: Анализ, синтез, мышление, уравнение с параметром.

Abstract

The article deals with the method of thinking ”analysis” and ”synthesis ” in solving the equation with the parameter. The stages of analysis and synthesis in the process of research (solution) of the parametric equation are described.

Keywords: Analysis, synthesis, the equation with the parameter.

Мир, окружающий человека, многообразен и многолик. Он находится в процессе постоянного изменения, развития, совершенствования, трансформации. Выявить его сущность с помощью процессов чувственного познания - ощущений и восприятия не представляется возможности. Эту функцию берет на себя более сложный познавательный психический процесс как мышление - самый сложный из процессов познания, причем его сложность такова, что превосходит даже возможности языка в однозначном выражении сути мышления. В ощущениях и восприятиях мир предстает перед человеком в наглядной, чувственной форме. В отличие от них, мышление позволяет выявить сущность предметов и явлений, их свойства, связи и отношения с помощью различных опосредований.

Мышление позволяет человеку выйти за пределы чувственного познания, расширить его границы специфическим путем, опосредованно, с помощью умозаключений. Поэтому мышление позволяет глубже постичь суть явлений, вещей, их свойств. Своеобразным строительным материалом для мышления являются результаты ощущений и восприятий, которые не исчезают, а накапливаются и позволяют человеку сопоставлять, сравнивать, раскрывать новые свойства, не выделяемые с помощью органов чувств. Мышление сосредоточено на изучении и выявлении абстрактных свойств предметов и явлений и их взаимосвязей.

Мышление - это высшая форма воспроизведения нервной системой человека всего, что окружает его в среде обитания. Разные подходы к изучению развития мышления предпринимали такие ученые как К.А. Абульханова; Б.О. Есенгазиева; М.И. Воловикова; В.В. Селиванов; С.В. Радченко; Л.В. Темнова; Л.С. Выготский; И.А. Васильев, Ю.Е. Виноградов, О.К. Тихомиров; А.Н. Леонтьев; Г. Л. Ф. Гельмгольц; А. Пуанкаре; П. Я. Гальперин; Б. В. Зейгарник; С. Л. Рубинштейн; О. Кюльпе.

Термин «мышление» знаком каждому. Житейская мудрость отмечает, что каждый человек считает себя умным или достаточно умным. В психологии мышление определяют обычно как опосредствованное и обобщенное отражение человеком действительности в ее существенных связях и отношениях. Если на чувственной ступени познания внешнее воздействие непосредственно, прямо приводит к возникновению соответствующих образов в нашем сознании, то процесс мышления совершается сложнее. Понятием «мышление» обозначается одна из фундаментальных и исключительно значимых для человека психологических способностей. Фундаментальной эта способность является в силу того, что в мышлении человек проявляется как родовое существо, разум является его отличительной чертой. Этот факт обусловливает социальную и личностную значимость для человека мышления. [1, с. 58].

Мышление является предметом изучения не только психологии, но также - и даже, прежде всего, - диалектической логики. Каждая из этих научных дисциплин, изучая мышление, имеет, однако, свою отличную проблематику или сферу исследования. Проблемой логики является вопрос об истине, о познавательном отношении мышления к бытию. Проблемой психологии является протекание мыслительного процесса, мыслительная деятельность индивида, в конкретной взаимосвязи мышления с другими сторонами сознания. Психология, так же как и теория познания, рассматривает мышление не в отрыве от бытия. Она изучает его как специальный предмет своего исследования. При этом психологическую науку интересует не отношение мышления к бытию, а строение и закономерность протекания мыслительной деятельности индивида в специфическом отличии мышления от других форм психической деятельности и в его взаимосвязи с ними. Отличаясь, таким образом, друг от друга, психология мышления и логика, или теория познания, вместе с тем теснейшим образом связаны друг с другом. И действительно, психология мышления всегда исходит и неизбежно должна исходить из той или иной философской, логической, методологической концепции. Отражение окружающего мира в процессе мышления осуществляется с помощью таких мыслительных операций как: [2].

• Анализ - это расчленение предмета, мысленное или практическое, на составляющие его элементы с последующим их сравнением.

• Синтез - есть построение целого из аналитически заданных частей. Анализ и синтез обычно осуществляются вместе, способствуют более глубокому познанию действительности. «Анализ и синтез, - писал С. Л. Рубинштейн, - «общие знаменатели» всего познавательного процесса. Они относятся не только к отвлеченному мышлению, но и к чувственному познанию и восприятию. В плане чувственного познания анализ выражается в выделении какого-нибудь чувственного свойства объекта, до того должным образом не выделявшегося. Познавательное значение анализа связано с тем, что он вычленяет и «подчеркивает», выделяет существенное сравнения.

• Абстракция - это выделение какой-либо стороны или аспекта явления, которые в действительности как самостоятельные не существуют. Абстрагирование выполняется для более тщательного их изучения и, как правило, на основе предварительно произведенного анализа и синтеза. Результатом всех этих операций нередко выступает формирование понятий. Абстрагированными могут стать не только свойства, но и действия, в частности способы решения задач. Их использование и перенос в другие условия возможны лишь тогда, когда выделенный способ решения осознан и осмыслен безотносительно к конкретной задаче.

• Обобщение - выступает как соединение существенного (абстрагирование) и связывание его с классом предметов и явлений. Понятие становится одной из форм мысленного обобщения.

• Конкретизация - выступает как операция, обратная обобщению. Она проявляется, например, в том, что из общего определения - понятия - выводится суждение о принадлежности единичных вещей и явлений определенному классу. [4, с. 9-22].

Кроме рассмотренных операций мышления имеются и процессы мышления. К этим процессам относятся:

• Суждение - это высказывание, содержащее в себе определенную мысль.

• Умозаключение - представляет собой серию логически связанных высказываний, из которых выводится новое знание.

• Определение понятий - рассматривается как суждение о некотором классе предметов (явлений), выделяющее из наиболее общие признаки.

* Индукция и дедукция - это способы производства умозаключений, отражающие направленность мысли от частного к общему и наоборот. Индукция предполагает вывод общего суждения из частных посылок, а дедукция - вывод частного суждения из общей посылки.

То, что мышление совершается посредством определенной системы операций, дает первое основание рассматривать этот процесс как опосредованное отражение действительности. Вторым основанием является то, что процесс в результате мышления взрослого нормального человека всегда и обязательно осуществляется с помощью словесного отображения. [3].

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.

Мышление человека всегда имеет целенаправленный, произвольный характер, так как любой акт мышления направлен на решение определенной мыслительной задачи, так или иначе возникшей в нашем сознании.

Приема мышления «анализ» и «синтез» хорошо демонстрируется при решение уравнений с параметрами. Для решений таких нестандартных уравнений нужно исследовать само уравнение и параметр, входящий в него (этап «анализ»). И только хорошо проведенный анализ позволяет решить это уравнение (этап «синтез»).

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

Особое значение: а = 0,5. Отсюда:

умозаключение иррациональный уравнение синтез

Проверка:

1) при подстановке в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (2) и уравнения (1).

2) при подстановке

в (2) получим:

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х₂ в уравнение (2):

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенством при условии, что

Это условие выполняется, если а >1.

Так как равенство истинно при а >1, а х₂ может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х₂- корень уравнения при а>1.

Библиографический список

1. Воистинова Г.Х. Задачи на построение как средство совершенствования приемов мышления студентов: Монография. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. - 176 с.

2. Воистинова Г.Х., Юлбарисова Ю.Ш. Материалы IX Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http: // www.scienceforum.ru (дата обращения: 02.12.2018).

3. Воистинова Г.Х., Юлбарисова Ю.Ш.Материалы X Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http: // www.scienceforum.ru (дата обращения: 02.12.2018).

4. Воистинова Г.Х. Приемы умственной деятельности и их использование при обучении студентов на занятиях по методике преподавания математики // Актуальные проблемы методической подготовки будущих учителей математики и физики: Депонир. сборник науч. трудов. - Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т, 2002. - С. 9-22.

Размещено на Allbest.ru