Задачи геометрии, приводящие к дифференциальным уравнениям
Анализ геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям: задача о нахождении кривой наискорейшего спуска и задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью. Решение дифференциального уравнения, описывающее эволюцию некоторого процесса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.01.2021 |
| Размер файла | 273,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задачи геометрии, приводящие к дифференциальным уравнениям
Хайбуллин Д.Р., студент 3 курс,
факультет Математики и информационных технологий Башкирский государственный университет Россия, г. Стерлитамак
Небеская Я.С., студент 3 курс,
факультет Математики и информационных технологий Башкирский государственный университет Россия, г. Стерлитамак
Научный руководитель: Беляева М.Б.
Аннотация
геометрическая задача дифференциальное уравнение
В данной статье рассматриваются геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, а именно задача о нахождении кривой наискорейшего спуска и задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью. Решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.
Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, кривая наискорейшего спуска, условие трансверсальности, функционал, экстремали.
Annotation
This article discusses geometric problems leading to differential equations, namely the problem of finding the curve of the fastest descent and the problem of a curvilinear trapezium with the largest area. Having solved a differential equation describing the evolution of a certain process, it is impossible to simultaneously find a relationship between the quantities characterizing this process. To select from the infinite set of dependencies the one that describes this particular process, one must have additional information, for example, know the initial state of the process. Without this additional condition, the task is undefined.
Key words: functions, differential equations, curve of the fastest descent, transversality condition, functional, extremal.
В ходе рассмотрения задач геометрии не всегда получается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, которые описывают тот или иной процесс эволюции. Несмотря на это, часто можно установить связь между величинами, т.е. функциями, и их изменения относительно других, т.е. независимых, переменных величин, иначе говоря, найти уравнения, неизвестные функции в которых вносятся под знак производной. Уравнения такого типа называют дифференциальными.
где f(x) - известная, а у = у(х) - искомая функции независимого переменного х. Решения данного уравнения называются первообразными функциями для функции f(x). К примеру, решениями дифференциального уравнения являются функции
Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение
где С - произвольная постоянная. Следует отметить, что других решений это уравнение не имеет.
Целью данной работы является рассмотрение геометрических задач и приведение их к дифференциальным уравнениям.
Рассмотрим несколько конкретных геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
Задача о нахождении кривой наискорейшего спуска. Среди гладких кривых, начинающихся в точке (а, А) = 0(0,0) и оканчивающихся на прямой х = Ь > 0, найти кривую наискорейшего спуска.
Решение
Время спуска Т(у) на кривой У = у(х) определяется интегралом
Лагранжевыми кривыми в данном случае являются циклоиды вида
Условие трансверсальности в данном случае принимает вид
Искомая циклоида должна пересекать прямую х = b ортогонально. Вершина циклоиды необходимо лежит на прямой х = Ь.
Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью. Среди кривых у, соединяющих точки (а, А) и (Ь,В), где А,В > 0, и имеющих заданную длину I, I2 > (Ь -- а)2 + (В -- А)2, найти такую, чтобы криволинейная трапеция, ограниченная сверху этой кривой, имела наибольшую площадь. Иначе говоря, найти максимум функционала
при граничных условиях
и изопериметрической связи
Решение
Вспомогательная функция F имеет в данном случае вид
Функционал Ja F**dx является специальным, т.к. F** не содержит х явно, поэтому вариационное уравнение Эйлера для данного функционала имеет первый интеграл
или
Для интегрирования последнего уравнения введем вспомогательный параметр Д полагая у' = Ј$Ј. Тогда
И поэтому dx = A cos t dt или x = A sin t + C2.
Таким образом,
или
Экстремалями являются окружности. Постоянные С±, С2 и А определяются из граничных условий и изопериметрической связи. Задача разрешима, если дуга окружности длины \, соединяющая точки (а, А) и (Ь, В), не выходит из полосы а < х < Ь.
В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений и геометрических задач, а также показана возможность взаимодействия этих двух областей. Были рассмотрены конкретные геометрические задачи, такие как «о нахождении кривой наискорейшего спуска» и «о криволинейной трапеции с наибольшей площадью», и их непосредственная связь с аппаратом дифференциальных уравнений. На основании всего двух рассмотренных примеров, которые показали каким образом можно использовать дифференциальные уравнения в геометрии, можно сделать вывод о том, что дифференциальные уравнения действительно используются при решении задач геометрии, и более того их применение достаточно удобно.
Использованные источники
1. В.М. Ипатова, О.А Пыркова, В.Н. Седов Дифференциальные уравнения. Методы решений. М.: МФТИ, 2012, 140 с.
2. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.: изд-во ЛКИ, 2008.
3. Г.Н. Берман, Циклоида. Об одной замечательной кривой и некоторых других, с ней связанных. М.: изд-во ЛКИ, 2007.
4. А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: изд-во ЛКИ, 2008.
5.Б.П. Демидович, В.П. Моденов. Дифференциальные уравнения, Лань,2008, 278 с
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Особенности нахождения связи между величинами (функциями). Понятие, сущность, свойства и характерные особенности дифференциальных уравнений, а также анализ их разрешимости. Характеристика и методика решения задачи Дидоны, ее графическое изображение.
курсовая работа [897,4 K], добавлен 02.04.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Нахождение матрицы. Исследование функции и построение ее графика. Определение площади фигуры, ограниченной прямой и параболой.
контрольная работа [209,0 K], добавлен 14.03.2017Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.
реферат [27,6 K], добавлен 11.09.2010Электрические цепи, описывающие их величины. Процесс распространения тепла. Построение ортогонального семейства кривых. Уравнение химической кинетики, скорость реакции. Закон реактивного движения. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде.
курсовая работа [951,1 K], добавлен 24.11.2014Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).
презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
контрольная работа [29,7 K], добавлен 24.09.2008Заслуга Романовского В.И. в деле постановки и развития высшего математического образования в республиках Средней Азии и в особенности в Узбекистане. Работы по дифференциальным уравнениям и теории чисел. Исследования в области математической статистики.
презентация [3,3 M], добавлен 24.11.2015Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011Содержание и методика преподавания математики в сельской школе. Факультатив, как одна из форм проведения внеклассной работы по геометрии. Факультативные занятия по теме "Решение задач на местности". Задачи на местности для учащихся сельской школы.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 01.12.2007Наличие некоторого динамического объекта, т.е. объекта, меняющегося во времени, характерного для задачи управления. Линейная задача быстродействия. Свойства экспоненциала матрицы. Линейные дифференциальные уравнения с управлением, пример интегрирования.
контрольная работа [547,7 K], добавлен 13.03.2015Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.
задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010Применение теоремы Лагранжа при решении задач. Ее использование при решении неравенств и уравнений, при нахождении числа корней некоторого уравнения. Решение задач с использованием условия монотонности. Связи между возрастанием или убыванием функции.
реферат [726,8 K], добавлен 14.03.2013Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013
