Вероятностная модель точности формообразования в арифметическом пространстве трех измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вероятностная модель точности формообразования в арифметическом пространстве трех измерений

Синицын С.А., Васюнцов Ю.Д.

Рассматривается новый подход к формированию геометрических моделей объектов сложной формы и формализации исходных данных, обеспечивающих наперед заданную точность моделирования и гладкость обводов поверхностей.

Ключевые слова: вероятностная модель точности формообразования; формализация исходных данных; распределение точечных множеств;

Введение

Современный уровень развития автоматизированных систем геометрии и графики обусловлен наличием базового и программного математического обеспечения, оснащенностью техническими средствами интерактивной компьютерной графики. Библиотеки математического моделирования содержат комплексы моделей и методов геометрических расчетов и конструирования любых типов кривых, технических поверхностей, в том числе обводов сложных форм. Однако процесс математического моделирования не является полностью формализованным. Отсутствуют методы и алгоритмы, позволяющие формировать оптимальные расчетные модели с учетом требований технологической подготовки. Такая формализация представляется важной с точки зрения эффективности использования технических средств и достижения заданной точности формирования объекта.

Условная, идеальная геометрическая модель отражает все существенные и второстепенные геометрические свойства объекта. Стоимость ее разработки и реализации для решения инженерных задач, как правило, превышает допустимые пределы, поэтому разработчики стремятся создать модель максимально простую, но в то же время приемлемую по точности формообразования. Достигнутый компромисс между сложностью модели и ее точностью при удовлетворении ряда наперед заданных дифференциально-геометрических и технологических требований определяет свойство оптимальности расчетной математической модели.

В постановке задачи оптимального моделирования точность формообразования учитывается в качестве ограничения, функционально зависящего от множества дифференциально-геометрических параметров модели. Такая зависимость является определяющей, поэтому здесь мы уделяем особое внимание теоретическим основам точности формообразования и методам оценок погрешностей моделирования в компьютерной геометрии. До настоящего времени такие методы не были разработаны, поэтому точность геометрического моделирования могла оцениваться лишь на отдельных этапах производства, связанных с операциями макетирования и изготовления опытных образцов изделия.

В данной работе методы оценок погрешностей моделирования форм строятся на основе энтропийной теории, обобщающей наиболее существенные результаты в области моделирования геометрических форм. Основополагающий энтропийный подход не исключает возможности оценок отдельных составляющих погрешностей с помощью других методов, например, на основе СКО или квантильных интервалов, которые могут быть приведены к энтропийной погрешности.

Основой для разработки методов оценок погрешностей моделирования для объектов сложных форм явилась разработанная статистическая модель точности формообразования дискретных обводов с заданными дифференциальными свойствами, обладающая явными преимуществами перед детерминированными моделями.

Разработанные модели погрешностей являются обратимыми, поскольку их можно использовать не только для решения задачи оценки точности, но и обратной задачи - оценки параметров исходных данных, обеспечивающих моделирование форм с наперед заданной, требуемой точностью. Здесь же решается задача выбора предпочтительного метода математического моделирования объекта.

Теоретические основы точности формобразования

Традиционно будем рассматривать геометрический объект как упорядоченное множество точек в простом арифметическом пространстве [1].

Тогда геометрическую информацию об объекте можно представить тремя компонентами: ; ; , то есть

,...(1)

где - форма; - метрика; - положение.

Сравнение геометрического объекта и геометрической информации показывает, что всякая модель отличается от своего оригинала степенью полноты задания геометрической информации, которая оценивается количественными показателями. Поэтому качество моделирования может быть оценено информационными критериями, выражающими точность или погрешность представления объекта с помощью модели.

Моделирование геометрического объекта, даже в случае его описания точными аналитическими зависимостями, связано с погрешностями внутримашинного представления дискретной точечной модели, линейной аппроксимацией кривых, погрешностями технологических операций. В тех случаях, когда модель строиться на основе приближенных зависимостей, в систему вносится дополнительная неопределенность, связанная с погрешностью задания исходной информации, ее объемом и качеством, а также с погрешностью построения аппроксимирующих зависимостей.

Таким образом, суммарная погрешность задания или воспроизведения геометрической формы объединяет две основные погрешности [2]:

Обозначив погрешности: Д_м - математической модели; Д_р - представления модели в компьютере или технологическими средствами, плоучим зависимость

(2)

Погрешность математической модели в уравнении (2) содержит три основные составляющие:

- задания исходных данных по макету; - формы, связанной с объемом исходной информации; - аппроксимирующих зависимостей, так что

(3)

Составляющая в уравнении (3) содержит: погрешность измерения координат точек - ; погрешность округления :

(4)

При однократном измерении на макете в модель вносится систематическая погрешность:

, (5)

где - фактическая величина координаты; - измерения.

При вычислении повторных измерений различными приборами систематическая погрешность может быть сведена к минимуму или исключена вовсе.

(6)

Погрешность определяется дифференциально-геометрической информацией, заданной для построения интерпеллирующих дискетных обводов.

Построение законов распределения вероятностей, вычисление их приближенных оценок: математического ожидания, дисперсии, СКО - позволяют с достаточной степенью точности производить суммирование погрешностей различных типов [3].

Распределение точечных множеств геометрических форм

Числовые оценки погрешностей основаны на вероятностных распределениях точечных множеств геометрической формы [4]. Для построения таких распределений примем в пространстве единый масштаб измерения координат - . Зададим в декартовой системе отсчета кривую (рисунок 1). В каждой точке кривой может быть построена сфера рассеяния точечных множеств радиуса . Тогда существует некоторая огибающая трубчатая поверхность с образующей окружностью постоянного радиуса .

На кривой , как линии центров трубчатой поверхности, задается произвольная точка , в которой строятся: касательная к кривой , нормаль и бинормаль , образующие триедр кривой. В силу независимости выбора главного направления сферы рассеяния, на диаметре, соответствующем направлению бинормали , строится распределение погрешностей в плоскости сечения трубчатой фигуры . Нормальное распределение характеризует на бесконечности все возможные значения погрешности точки кривой с вероятностью . Нормальному распределению нельзя поставить в соответствие какую-либо ограниченную поверхность погрешностей типа .

Рис. 1. Распределение вероятностей погрешности задания кривой

С такой точки зрения очевидными преимуществами обладает равновероятное распределение с выраженными границами. Если бесконечное нормальное распределение заменить равномерным , то вопрос выбора параметра погрешности формы можно считать решенным с вероятностью [5].

Аналогичные рассуждения могут быть применены для куска произвольной гладкой поверхности , заданной в декартовой системе отсчета (рис. 2).

На поверхности определено два множества правильных однопараметрических линий , . Каждая точка поверхности может быть определена инциденцией: , где , - начальные значения некоторых независимых величин. Поскольку каждая из кривых обладает в точке сферическим распределением с ненормированными параметрами, то правильно выбрать общее главное направление рассеяния для точек линий , , соответствующее нормали , построенной к поверхности в точке .

Рис. 2. Распределение вероятностей погрешности задания поверхности

Ограничение распределений и диапазонами вдоль выбранного направления позволяет утверждать, что в соответствующих диапазонах содержится множество случайных реализаций параметрических кривых , . Каждая из которых реализуется с заданной вероятностью , . Таким, образом в реальных условиях моделирования формы определена не ее номинальная точка , а некоторая случайная, соответствующая инциденции случайных реализаций параметрических линий:

.

Система нормальных распределений образует новое нормальное распределение погрешностей формы , параметры которого определяют суммарную сферу рассеяния радиуса .

Под задачей оценки погрешностей моделирования формы будем понимать задачу выбора параметра системы случайных нормально распределенных параметрических линий , . Если предположить существование равновеликих сфер рассеяния в каждой точке поверхности, то можно построить две огибающие поверхности , , в диапазоне которых содержатся все вероятные реализации точек поверхности [6].

Рассмотрим некоторую цилиндрическую поверхность с направляющей и образующей, заданной нормалью в точке . Тогда на поверхности можно выделить срединную линию и случайную линию , где - срединная поверхность; - случайная. В точке построим касательную и плоскость нормальную .

В плоскости существует бесконечное нормальное распределение , характеризующее вероятность пересечения случайной кривой и нормали в точке . Задача оценки погрешности формы поверхности заключается в установлении эффективных границ бесконечного нормального распределения и может быть решена методами оценок: СКО; квантильных интервалов; энропийными преобразованиями бесконечного распределения к равномерному с фиксированными границами.

геометрический обвод точность гладкость

Заключение

Статистическая модель точности формообразования дискретных обводов является основой для любых методов оценки погрешностей моделирования объектов сложной формы. Разработанная модель является обратимой, поскольку используется не только для оценки точности формообразования, но и для решения обратной задачи - выбора параметров исходных данных для математического моделирования с требуемой точностью.

Модель также позволяет выбрать предпочтительный метод математического моделирования, который обеспечит наперед заданные условия формообразования.

Данная модель применена в задачах моделирования технических форм в авиастроении, автомобиле- и судостроении.

Библиографический список

1. Синицын С.А., Осипов В.А. Теоретические основы методологий формирования информационного монитора автоматизированной системы геометрии и графики // УС и М ИК АН Украина, № 3, 1999.

2. Денискина А.Р. Метод аппроксимации дискретных обводов в задачах твердотельного моделирования. М.: Дата + , 1999.

3. Карпова Т.С. Базы данных: модели, разработка, реализация. СПб.: Питер, 2001.

4. Кнут Д.Э. Искусство программирования: Получисленные методы /пер. с англ./ - 3-е изд. М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.

5. Мураховский В.И. Компьютерная графика. Под ред. В.С. Симоновича. М.: АСТ-Пресс СКД, 2002.

6. Осипов В.А. Теоретические основы автоматизации геометрических расчетов и машинной графики. М.: Воениздат, 1985.

Размещено на Allbest.ru