Выравнивание статистических рядов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Выравнивание статистических рядов

Прибыльнова Е.С.



АННОТАЦИЯ

Объектом исследования является массив данных, содержащий время выполнения оперативных задач диспетчером. Курсовая работа содержит в себе описание расчётов статического распределения данных.

В ходе выполнения курсовой работы была использована программа Mathcad. Эта программа позволяет студентам выполнять расчёты данных и работать с большими массивами чисел за небольшое время.



ANNOTATION

The object of study is a data set that contains the run time operational tasks by manager. Coursework contains a description of static calculations of the distribution of the data.

During the execution of the coursework program Mathcad has been used. This program allows students to perform data calculations and work with large arrays of numbers in a short period.



Введение

Математические методы представляют совокупность алгоритмов, основанных на теоретических положениях и идеях определенного раздела математики и позволяющих осуществить комплексный анализ тех или иных закономерностей и отношений. Основными задачами математической обработки экспериментальных данных являются: определение характеристик случайных величин и событий, сравнение между собой их вычисленных значений, построение законов распределения случайных величин, установление зависимости между полученными случайными величинами, анализ случайных процессов.

Во всяком статистическом распределении присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено, что произведены именно те, а не другие опыты, давшие именно те, а не другие результаты. Только при очень большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и случайное явление обнаруживает в полной мере присущую ему закономерность.

На практике мы почти никогда не имеем дела с таким большим числом наблюдений и вынуждены считаться с тем, что любому статистическому распределению свойственны в большей или меньшей мере черты случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.

Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов. Главной целью курсовой работы является углубление знаний по математическому методу обработке данных, развитию и закреплению навыков в выравнивание статистических рядов.



1. Теоретическая часть

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Законом распределения случайной величины X называется любое правило, позволяющее находить вероятность Р всевозможных событий, связанных с этой случайной величиной. Например, вероятность того, что случайная величина X не примет какое-то значение или попадет в определенный интервал. В последнем случае обычно пользуются так называемой плотностью распределения непрерывной случайной величины . При этом вероятность попадания этой величины в интервал будет

(1)

а интеграл от плотности распределения в пределах равен единице.

Предположим, на основе эксперимента имеем n наблюдений случайной величины X, которые разделим на k интервалов . Подсчитаем количество значений этой величины mi, приходящихся на каждый интервал. Тогда частота появления X в интервале ?xi равна

(2)

Составим статистический ряд (таблица 1), в котором приведены интервалы в порядке их расположения по оси X, а также соответствующие им частоты.

Число интервалов, в которые, следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо). Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать порядка 10-20 интервалов.

Таблица 1. Статистический ряд.

			…		…
			…		…

Статистический ряд часто оформляется графически в виде гистограмм. Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна (рисунок 1). Таким образом, из условия построения следует, что площадь гистограммы равна единице.

Рисунок 1. Гистограмма распределения случайной величины

Имея гистограмму распределения, можно построить статистическую функцию распределения.

С помощью гистограммы распределения можно подобрать наиболее вероятную теоретическую кривую плотности распределения случайной величины X. Эта задача называется выравниванием статистических распределений. Наилучшее приближение статистической зависимости к имеющемуся статистическому материалу выбирается, исходя из соображений, связанных с физикой решаемой задачи или с внешним видом гистограммы.

Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины X. Для практики обычно достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек удобно взять границы интервалов , которые фигурируют в статистическом ряде. Тогда,

(3)

Соединяя полученные точки ломаной линией или плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения . Пример гистограммы распределения и статистической функции распределения приведены на рисунок 2 и 3 соответственно.

Рисунок 2. Гистограмма распределения величины X



Рисунок 3. Статистическая функция распределения

Во многих случаях при обработке экспериментальных данных предполагается, что распределение случайных величин подчиняется нормальному закону, или закону ошибок, введенному Гауссом. Следует отметить, что в большинстве случаев это предположение оправдано. Однако если априори закон распределения или его параметры неизвестны, то следует проверить правильность соответствующих гипотез.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

(4)

где и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х соответственно.

Нормализованным нормальным распределением называется такое нормальное распределение, у которого и . Из нормализованного распределения можно получить любое другое нормальное распределение с заданными и по формуле: .



Рисунок 4. Графический вид нормального закона распределения случайной величины Х с параметрами и (распределение нормализовано)

График плотности нормального распределения имеет вид колокола. На рисунке 4 показано нормализованное нормальное распределение.

График (рисунок 4) показывает, что в области на графике сосредоточено 68 % площади распределения, в области - сосредоточено 95,4 % площади распределения, в области - сосредоточено 99,7 % площади распределения. Таким образом, практически все значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале . Это правило называется «правилом трех сигм». Другими словами, если отклонение случайной величины X превосходит , то это свидетельствует либо о грубой ошибке в опыте (так называемый «промах»), либо о том, что случайная величина распределена не в соответствии с нормальным законом распределения. И в том, и в другом случаях объем эксперимента следует увеличить.

свойства нормального распределения

Как видно из (4), нормальное распределение имеет два параметра: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение величины Х от этого математического ожидания .

Изменение параметра нормального распределения приводит к сдвигу кривой по оси x (рисунок 5).



Рисунок 5. Влияние параметра «математическое ожидание» на вид закона нормального распределения случайной величины Х

Изменение параметра нормального распределения приводит к масштабированию формы по оси x (рисунок 6). При этом в любом случае площадь под кривой плотности вероятности всегда неизменна и равна 1.

Рисунок 6. Влияние параметра «среднее квадратическое отклонение» на вид закона нормального распределения случайной величины Х

математический алгоритм гистограмма случайный

Рассмотрим подробнее функцию распределения случайной величины, распределенной по нормального закону. Данная функция носит название функции Лапласа (рисунок 7) и задается интегралом от плотности вероятности нормального распределения:

(5)



Рисунок 7. Функция Лапласа

Поскольку функция Лапласа является симметричной относительно точки , то . Поэтому в таблице содержится только одна из ее симметричных частей.

Если задается интервал интегрирования функции Лапласа , то:

(6)

ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ

Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую плавную кривую распределения, с той или иной точки зрения наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение (рисунок 8).



Рисунок 8. Гистограмма и теоретическая кривая

Предположим, что исследуемая величина X есть ошибка измерения, возникающая в результате суммирования воздействий множества независимых элементарных ошибок, тогда из теоретических соображений можно считать, что величина X подчиняется нормальному закону (4):

и задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе параметров и .

Таким образом, требуется подобрать параметры и так, чтобы функция наилучшим образом описывала данный статистический материал.

Один из методов, применяемых для решения этой задачи, является метод моментов. Согласно методу моментов, параметры и выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Таким образом, параметры и выбираются так, чтобы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками и . То есть, должны выполняться условия и .

Статистическое математическое ожидание находится по формуле:

(7)

где - среднее значение интервала, - частота появления величины появления X в i-том интервале.

Статистическое среднее квадратическое отклонение находится в соответствии с выражением:

(8)

где - дисперсия величины X, определяемая по формуле:

(9)

где - второй начальный момент, определяемый выражением:

(10)

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА

Предположим, что гистограмма может быть аппроксимирована аналитической функцией . Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения.

Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченный числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная нами кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение. Для ответа на этот вопрос может быть использован критерий согласия (читается «хи-квадрат»), предложенный Пирсоном.

Предположим, что произведено независимых опытов, в каждом из которых случайная величина приняла определенное значение. Результаты опытов сведены в статистический ряд (таблица 1).

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет данный закон распределения (заданный функцией распределения или плотностью распределения ). Назовем этот закон распределения «теоретическим».

Зная закон распределения, можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов: .

Проверяя согласованность теоретического и статистического распределений, будем исходить из расхождений между теоретическими вероятностями и наблюденными частотами .

В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями выбрана сумма квадратов отклонений между вероятностями, взятых с некоторыми «весами» :

(11)

Коэффициенты («веса» интервалов) вводятся потому, что в общем случае отклонения, относящиеся к различным разрядам, нельзя считать равноправными по значимости. Действительно, одно и то же по абсолютной величине отклонение , может быть мало значимым, если сама вероятность мала. Поэтому «веса» необходимо взять обратно пропорциональными вероятностям попадания случайной величины в каждый из интервалов.

К. Пирсон показал, что если положить

(12)

то при большом числе опытов закон распределения величины обладает простыми свойствами: он практически не зависит от функции распределения и от числа опытов , а именно, этот закон при увеличении приближается к так называемому «распределению ».

Таким образом, с учетом (12) выражение (11) примет вид:

(13)

Учитывая, что , где - число значений в i-том интервале, получим:

(14)

Распределение зависит от параметра , называемого числом «степеней свободы» распределения. Число «степеней свободы» равно числу интервалов за вычетом числа независимых условий («связей»), наложенных на частоты .

Обычно на накладывают следующие условия :



Сумма частот должна равняться единице.

Средние значения теоретического и статистического распределений должны совпадать.

Должны совпадать теоретическая и статистическая дисперсии.

Для распределения составлены таблица (Приложение 1). Пользуясь этой таблицей, можно для каждого значения и числа степеней свободы найти вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

Если найденное значение велико, то гипотезу о том, что функция пригодна для аппроксимации полученной гистограммы, можно признать не противоречащей опытным данным. Если же вероятность мала (менее 0,1), то эта гипотеза отбрасывается как неправдоподобная и следует либо выбрать другое распределение, либо провести дополнительные эксперименты.

Таким образом, схема применения критерия к оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

1) Определяется величина по формуле (14).

2) Определяется число степеней свободы .

3) По и с помощью таблиц определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение с степенями свободы, превзойдет данное значение . Если эта вероятность весьма мала (менее 0,1), то гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

2. Расчётная часть

УСЛОВИЕ ЗАДАНИЯ

В таблице приведены данные о пределе текучести (фунт/кв. дюйм) для 60 образцов из титанового сплава при 1000 єС.

Таблица 2. Массив данных о пределе текучести для образцов из титанового сплава

150	154	148	149	160	147	158	164	153	135
152	150	166	158	138	151	147	136	160	160
163	141	148	139	153	171	141	143	156	164
161	159	149	146	156	152	130	137	142	152
139	153	154	136	166	169	147	152	156	154
166	135	158	155	138	136	136	150	159	173

Составить статистический ряд. Проверить гипотезу о нормальном распределении по критерию Пирсона на основании заданного эмпирического распределения. Построить гистограмму распределения, статистическую плотность распределения и теоретическую нормальную кривую распределения.

РАСЧЁТЫ

Определим размах выборки с помощью команд max и min. Это нужно для вычисления размерности интервала гистограммы. Чтобы его узнать, надо разбить данные на равные интервалы. Так как общее количество опытов равно 60 (N=60), будет разумно разбить на 15 равных промежутков. Находим шаг интервала. С известными данными задаём интервалы для гистограммы. Минимальное значение - 130, максимальное - 173. Значит, гистограмма будет располагаться в интервале от 130 до 173 с шагом 2.86.

Рисунок 9. Чтение данных и первоначальные расчёты

С помощью команды hist находим математическое ожидание для каждого интервала, то есть сколько значений приходится на каждый промежуток. И найдя это, вычисляем статистическое распределение - вероятность попадания значения массива данных в определённый интервал. Таблица данных указана ниже.



Рисунок 10. Расчёт интервалов, математического ожидания и статистической вероятности

Таблица 3. Статистический ряд

?xi	[130; 132,867)	[132,867; 135.733)	[135.733; 138.6)	[138.6; 141.467)	[141.467; 144.333)	[144.333; 147.2)	[147.2; 150.067)	[150.067; 152.933)
mi	1	2	7	4	2	4	7	5
Pi*	0.017	0.033	0.117	0.67	0.33	0.67	0.117	0.083
f(x)	0,0058	0,0097	0,015	0,022	0,028	0,034	0.038	0.04
?xi	[150.067; 152.933)	[152.933; 155.8)	[155.8; 158.667)	[158.667; 161.533)	[161.533; 164.4)	[164.4; 167.627)	[167.627; 170.133)	[170.133; 173)
mi	5	7	6	6	3	3	1	2
Pi*	0.083	0.117	0.1	0.1	0.05	0.05	0.17	0.33
f(x)	0.04	0.038	0.033	0,027	0,02	0,014	0,0087	0,0051

Построим гистограмму распределения и статистическую плотность распределения, соединив отрезками точки с координатами , где - среднее значение интервала.



Рисунок 11. Построение гистограммы

Теперь нам нужно выдвинуть теорию о нормальном распределении. Для этого необходимо найти статистические характеристики математического ожидания и среднеквадратичного отклонения. Для нахождения статистических математического ожидания и среднеквадратичного отклонения необходимо найти среднее значение каждого из 15 промежутков. Далее считаем сами статистические переменные. Результаты вычислений представлены ниже.

Рисунок 12. Расчёт средних значений интервалов



Рисунок 13. Расчёт математического ожидания, дисперсии отклонения и среднеквадратичного отклонения

Найдем значения теоретической функции плотности распределения f(x) для середин отрезков i -того интервала :

Рисунок 14. Теоретическая функция плотности распределения

Построим на одном графике гистограмму распределения, графики статистической и теоретической плотности распределения.

Рисунок 15. Общий график полученных зависимостей

Теперь необходимо найти теоретическую вероятность попадания в интервал. Вычисляется по формуле (6). Используем функцию pnorm для вычисления функции Лапласа.

Рисунок 16. Нахождение теоретической вероятности попадания в интервал

Вычислим меру расхождения между теоретическим и статистическим распределением по критерию Пирсона. Все переменные найдены, значит используем формулу (14). Дальше нам необходимо найти степени свободы. Для нормального распределения s всегда равно 3, значит число степеней свободы r равно 12.

Для распределения «хи-квадрат» составлена таблица (Приложение 1). Пользуясь этой таблицей, можно для каждого значения ч2 и числа степеней свободы r найти вероятность p того, что величина, распределенная по закону ч2, превзойдет это значение.

Рисунок 17. Расчёт критерия согласия (хи-квадрат)

Исходя из расчётов, значение ч2 больше 11,3 и меньше 16,8, значит значение величины, имеющей распределение ч2 с r степенями свободы, лежит в промежутке [0,5;0,2]. Значение больше 0,1, следовательно, гипотезу о том, что функция f(x) пригодна для аппроксимации полученной гистограммы, можно признать не противоречащей опытным данным.



Заключение

В ходе курсового проекта на основе экспериментальных данных была построена гистограмма распределения, и с помощью критерия Пирсона мы выяснили, что кривая нормального распределения достаточно точно описывает нашу диаграмму.

Из данной курсовой работы можно сделать следующие выводы: статистические ряды распределения являются базисным методом для любого статистического анализа - это результаты расчетов данных статистической информации, которые раскрывают причинные связи изучаемых явлений, влияние и взаимодействие различных факторов, из которых вытекают последствия принимаемых решений, а также осуществляется прогноз на будущие периоды.



Литература

1. Математические методы обработки данных: Методические указания к выполнению курсовой работы / Санкт-Петербургский горный университет; Сост. Васильева Н.В. СПб. 2019. 45 с.



Приложение 1

Таблица 4. Табличное значение распределения ч2

p/r	0,99	0,95	0,90	0,80	0,50	0,20	0,10	0,05	0,01
1	0,00	0,01	0,02	0,06	0,45	1,64	2,71	8,84	6,64
3	0,12	0,35	0,58	1,01	2,37	4,64	6,26	7,82	11,8
5	0,65	1,14	1,61	2,84	4,35	7,29	9,24	11,1	15,1
7	1,24	2,17	2,38	3,82	6,35	9,80	12,0	14,1	18,5
9	2,09	3,32	4,17	5,38	8,34	12,2	14,7	16,9	21,7
12	3,57	5,23	6,30	7,81	11,3	16,8	18,5	21,0	28,2
16	5,23	7,26	8,55	10,8	14,8	19,8	22,8	25,0	80,6
18	7,02	9,39	10,9	12,9	17,8	22,8	26,0	28,9	34,8

Размещено на Allbest.ru

...