Развитие квадратных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» Соейр У.У. Прелюдия к математике: Рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей математики. Перевод с англ. М.Смолянского. Второе издание. Москва: Издательство «Просвещение»,1972. - У. Сойер.

Практически всё, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные способы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрал тему исследования, связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Различные способы решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 10-11 классах, и при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться применять их при решении и выбрать наиболее рациональный способ решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

- изучить историю развития квадратных уравнений;

- рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

- выявить наиболее рациональные способы решения квадратных уравнений;

- научиться решать квадратные уравнения различными способами;

- подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;

- разработать дидактический материал и провести его апробацию на коллективе в 9в классе.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Internet -информации.

Анализ: информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение: способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Опрос обучающихся школы.

Гипотеза: существуют различные способы решения квадратных уравнений, поэтому любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Ход работы над проектом:

1. Изучение литературы по истории вопроса

2. Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7. Анализ практической работы

Глава 1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: ; х² - х = 14,5.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х² = 96

х² - 4 = 0

Отсюда х = 2.

Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96, у² - 20у + 96 = 0. Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VIIв.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах² + bх = с, а> 0.(1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис.).

Соответствующее задаче уравнение:

, Бхаскара пишет под видом: х² - 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем: х² - 64х + 32² = -768 + 1024,(х - 32)² = 256, х - 32 = ± 16, х₁ = 16, х₂ = 48.

1.4 Квадратные уравнения ал - Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах² + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах² = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах² + с =bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах² +bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах².

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением.

Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х² + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 Теорема Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A², равно BD, то Aравно В и равно D». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х² = ab,т.е. х² - (а + b)х + аb = 0, то х₁ = а, х₂ = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Глава 2. Материалы и методы исследования

2.1 Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов - от элементарных частиц до звёзд.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. В математической литературе я нашел несколько способов решения квадратных уравнений и покажу решение одного из них.

2.1 Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение. Разложим левую часть на множители:

4х² - 16х + 15 = х² - 10х - 6х +15 = 2х(2х -5) - 3(2х - 5) = (2х - 5)(2х -3).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(2х - 5)(2х - 3) = 0

Произведение множителей равно нулю, если, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. 2х - 5= 0 или 2х -3=0

х=2,5 х=1,5

Ответ: 1,5; 2,5.

2.2 Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение. Разделим обе части на 2: х² - 4х + 3,75 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат:

х²- 4х + 3,75 = х² -2·2 х + 2² - 2² +3,75 = (х -2)²-0,25

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х -2)² -0,25 = 0, (х - 2)² = 0,25, х - 2= 0,5 х - 2= - 0,5

х = 2,5 х = 1,5

Ответ: 1,5; 2,5.

2.3 Решение квадратных уравнений по формулам

Умножим обе части уравнения ах² + bх + с = 0, а ? 0 на 4а, тогда

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,((2ах)² + 2ах·b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac, ,

, (1)

1. Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac>0, уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac <0, уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение. а = 4, b = - 16, с = 15, D = b² - 4ac = (-16)² - 4·4·15= 16, D> 0, уравнение имеет два различных корня;

;

Ответ: 1,5; 2,5.

Вывод. Формула (1) корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть).

2.4 Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида (1) где старший коэффициент равен единице. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:

.

Запомнить эту формулу можно заучив следующий стишок.

P со знаком взяв обратным

На 2 мы его разделим,

И от корня аккуратно знаком отделим,

А под корнем очень кстати

Половина в квадрате,

Минус и вот решение небольшого уравнения.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, тогда

Если обозначить , то мы получим уравнение вида . Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q> 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента:

-если р < 0, то оба корня положительные;

-если р > 0, то оба корня отрицательные.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен

(q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0, или отрицателен, если p> 0.

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение. Перейдем к приведенному квадратному уравнению: х² - 4х + 3,75 = 0, q=3,75 > 0, имеет два одинаковых по знаку корня p=-4< 0, оба корня положительные: х_{1 +} х₂ = 4, х_{1 ·} х₂ = 3,75; то х₁= 1,5,х₂= 2,5

Ответ: 1,5; 2,5.

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни -- и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а,А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда --В числителе Ь, в знаменателе а.

Вывод. Удобен этот способ тем, что можно решить уравнение устно. Сложность, в том, что не всегда можно подобрать корни уравнения, так как корни могут быть рациональными и иррациональными числами.

2.5 Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bх + с = 0,где а ? 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх +ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда у² + by + ас= 0.

Его корни у₁и у₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно: и.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 4 к свободному члену, в результате получим уравнение у² - 16у + 60 = 0.

Согласно теореме Виета: у₁ =6, х₁ = 6/4, x₁ = 1,5

у₂ =10; x₂ = 10/4; x₂ = 2,5.

Ответ: 1,5; 2,5.

Вывод. Метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

2.6 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

1. Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ? 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = с/а.

2) Если a - b + c=0, то х₂ =-1, х₂ = -с/а

Решим уравнение: 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение: а+ b + с = 0 4 + (-16) + 15 ? 0, а + с = b4 + 15 ? - 16 данный способ не подходит.

А теперь применим способ для решения квадратных уравнений с большими коэффициентами.

Решим уравнение 1) 132х² - 247х + 115 = 0.

Решение. Т.к. а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0), то х₁ = 1, х₂ = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

2) Решим уравнение 2х²+ 3х +1= 0. Так как 2 - 3+1=0, значит х₁ = -1, х₂ =-с/а= -1/2

Ответ: -1;-1/2.

Вывод. Данный способ удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами и можно решить только те уравнения, у которых сумма коэффициентов равна 0.

2.7 Графическое решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение можно решать и графическим способом. Используя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами. Решим графически уравнение ах² + bх + с = 0. Оно равносильно уравнению ах² = - (bх + с). Постоим графики функций y = ах² и y = - bх - с в одной системе координат (рис.1). В точках х₁ и х₂ значения обеих функций равна. Следовательно, х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах² = - (bх + с) и равносильного ему уравнения ах² + bх + с = 0. Если парабола и прямая пересекаются, то квадратное уравнение имеет два равных корня. Если же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение не имеет корней. Уравнение ах² + bх + с = 0 можно решить иначе, построив параболу y = ах² + bх + с = 0 и, найдя точки ее пересечения с осью Ох, если D?0 (рис. 2).

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 = 0.

Преобразуем уравнение к виду4х² = 16х - 15

Построим в одной системе координат графики функций y = 4х²- параболу и y = 16х - 15 - прямую (рис.3)



Ответ: 1,5; 2,5.

Вывод. Применяя графический метод не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

2.8 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.5).Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB·OD = OA·OC, откуда OC = OB ·OD/ OA= х₁х₂/ 1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому



Итак:

1) построим точки S - (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6а) В(х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.6б) в точке В (х₁; 0), где х₁ - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6в), в этом случае уравнение не имеет решения. (Рис.6):

Решим уравнение 4х² - 16х + 15 =0 (рис.7).

Решение.

Определим координаты точки центра окружности по формулам: (Рис.7) проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: 1,5; 2,5.

Вывод. С помощью этого способа решения квадратного уравнения легко провести исследование его корней на знак. Но, очевидно, что этот красивый способ практически не применяется из-за геометрических построений и последующей проверки результатов решения.

2.9 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Номограмма - это особый чертеж, рисунок, с помощью которого можно, не производя вычислений, получить решения вычислительных задач. Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений (Брадис В.М., с.83). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.8):



Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Решим уравнение: 4z² - 16z + 15 = 0, z² - 4z + 3,75 = 0,номограмма дает корни: z₁ = 1,5 и z₂ =2,5.

Ответ: 1,5; 2,5.

2.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

1) Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.10).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить, как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4· 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25· 4 = 25), т.е. S =х² + 10х + 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) Решим уравнение: 4х² - 16х + 15 = 0.

Решение. Разделим обе части на 2: х² - 4х + 3,75 = 0. Выделим в левой части полный квадрат: х²- 4х - 3,75 = х² + 2·2 х + 2² - 2² +3,75 = (х - 2)²- 0,25 тогда, данное уравнение можно записать так: (х - 2)² - 0,25 = 0 (х - 2)² = 0,25, х - 2= 0,5 или х - 2= - 0,5.

Невозможно решить данным способом.

х = 2,5 х = 1,5

2.11 Приведение к виду (f(x))²=(g(x))².

Путем преобразований уравнение приводится к виду (kx)²=(mx±n)².

Пример: , |:7

,

,

,

,

,

,

|5x|=|2x-7|,

1)5x=2x-7, 2)5x=7-2x,

5x-2x=-7, 5x+2x=7,

3x=-7, 7x=7,

x=, x=1.

2.12 Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу). Данный способ широко применяется при решении алгебраических уравнений высших степеней

Теорема Безу. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a.

Следствие из теоремы Безу. Если уравнение а₀хⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x+a_n = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример:,

,

,

,

,

,

.

2.13 Разложение на множители способом группировки

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Пример:,

,

,

,

Исследование.

Решение квадратных уравнений учащимися 9В класса.

Для выявления актуальности моей темы я провел исследование. Выступил перед своими одноклассниками, учащимися 9в класса с основными положениями своей работы, а затем предложил решить несколько квадратных уравнений любым способом. В исследовании приняло участие 24 учащихся.

Таблица 1

Способы решения квадратного уравнения	Количество учащихся
Метод выделения квадрата двучлена	0	0 %
Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки	2	3 %
Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения	64	84 %
Решение уравнения, используя теорему Виета.	9	12%
Решение уравнения графическим способом.	1	1 %

квадратный уравнение математика теорема

Вывод: учащиеся при решении квадратного уравнения использовали только стандартные способы, изученные по школьной программе.

Глава 3. Результаты и их обсуждения

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Также не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.

Нужно отметить, что не все способы удобны для решения, но каждый из них по-своему уникален, имеет свои «плюсы» и «минусы».

Таблица 2

Название способа решения квадратных уравнений	плюсы	минусы
Разложение левой части уравнения на множители	Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	Нужно правильно подобрать слагаемые для группировки
2. Метод выделения полного квадрата	За минимальное количество действий можно найти корни уравнений	Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле	Можно применить ко всем квадратным уравнениям.	Нужно выучить формулы.
4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета	Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	легко находятся только целые корни.
5. Решение уравнений способом переброски	За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.	легко найти только целые корни.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения	Не требует особых усилий	Подходит только к некоторым уравнениям
7. Графическое решение квадратного уравнения	Наглядный способ	Могут быть неточности при составлении графиков
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки	Наглядный способ	Могут быть неточности
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы	Наглядный способ	Не всегда под рукой имеется номограмма, сложен в применении.
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений	Наглядный способ.	похож на способ выделения полного квадрата
11. Приведение к виду (f(x))2=(g(x))2.	Можно применить ко всем квадратным уравнениям.	Сложность в вычислении
12. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу).	Можно применить ко всем квадратным уравнениям.	Нужно выучить теоремы и следствия.
13. Разложение на множители способом группировки	Наглядный способ, прост в применении.	Могут быть неточности

Результаты исследования решения квадратных уравнений учащимися 9в классов выявили, что учащиеся при решении квадратного уравнения использовали только стандартные способы, изученные по школьной программе. На уроках математики я рассказал своим одноклассникам нестандартные способы решения №5 и №12, им понравились, они сами решили несколько уравнений. Я думаю, что эти способы помогут им научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к экзаменам.

Выводы

Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным. В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов. Данный материал можно рекомендовать для внеклассных, элективных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся. Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Решая одно и то же квадратное уравнение разными способами, я понял, что любое квадратное уравнение невозможно решить с помощью всех способов. Более рациональный способ для рассматриваемого мною квадратного уравнения - способ № 5 «переброски» старшего коэффициента. Но я выяснил, что самый удобный способ нахождения корней для большинства учащихся это метод № 3, т.е. решение квадратных уравнений по формуле. Только этот способ дает возможность решить любое квадратное уравнение, но он не всегда рационален. Некоторые способы решения такие, как применение теоремы Виета и свойство коэффициентов помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.

Список используемой литературы

1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990 - 95с.

2. Ван дер Варден Б.А. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. [Текст] Б.А. Ван дер Варден - М., ГИФМЛ, 1959. - 462 с.

3. Гельфман Э.Г. Квадратные уравнения. [Текст] Э.Г. Гельфман - Москва, 1997. 273с.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер-М.: Просвещение, 1982- 340с.

5. Гусев В.А. Математика. Справочные материалы/В.А.Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.

6. Мордкович А. Г. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина 2011.-260с.

7. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина 2011.-270с.

8. Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений// Математика в школе. -2000.-№40

Размещено на Allbest.ru

...